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8. 如图,下列条件中能判定$AD// BC$的是(
①$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$;②$∠ BAC = ∠ ACD$;③$∠ 1 = ∠ 2$;④$∠ 3 = ∠ 4$.
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
C
).①$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$;②$∠ BAC = ∠ ACD$;③$∠ 1 = ∠ 2$;④$∠ 3 = ∠ 4$.
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
8. C 【点拨】本题考查平行线的判定定理,掌握平行线的判定定理是解题的关键.
【解析】由$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$,可得$AD// BC$;由$∠ BAC = ∠ ACD$,可得$AB// CD$;由$∠ 1 = ∠ 2$,可得$AD// BC$;由$∠ 3 = ∠ 4$,可得$AD// BC$. 故选C.
【解析】由$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$,可得$AD// BC$;由$∠ BAC = ∠ ACD$,可得$AB// CD$;由$∠ 1 = ∠ 2$,可得$AD// BC$;由$∠ 3 = ∠ 4$,可得$AD// BC$. 故选C.
9. 请同学们观察表格：
已知$\sqrt{2.061}\approx1.436$，$\sqrt{20.61}\approx4.540$，则$\sqrt{20\ 610}\approx(\quad\quad)$.
A.$14.36$
B.$143.6$
C.$45.40$
D.$454.0$
已知$\sqrt{2.061}\approx1.436$，$\sqrt{20.61}\approx4.540$，则$\sqrt{20\ 610}\approx(\quad\quad)$.
A.$14.36$
B.$143.6$
C.$45.40$
D.$454.0$
答案
9. B 【点拨】本题考查数字的变化规律.
【解析】由题中表格数据可知,被开方数每扩大为原来的100倍,其算术平方根相应的扩大为原来的10倍,$\because \sqrt{2.061}\approx1.436$,$\therefore \sqrt{20610}\approx143.6$. 故选B.
【解析】由题中表格数据可知,被开方数每扩大为原来的100倍,其算术平方根相应的扩大为原来的10倍,$\because \sqrt{2.061}\approx1.436$,$\therefore \sqrt{20610}\approx143.6$. 故选B.
10. 如图,动点 $ P $ 从$(0,3)$出发,沿箭头所示方向运动,每当碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角$(∠ BQM = ∠ AQM)$,当点 $ P $ 第 $ 2\,025 $ 次碰到长方形的边时,点 $ P $ 的坐标为$(\quad)$.
A.$(0,3)$
B.$(5,0)$
C.$(7,4)$
D.$(8,3)$
A.$(0,3)$
B.$(5,0)$
C.$(7,4)$
D.$(8,3)$
答案
10. D 【点拨】本题考查点的坐标,图形找规律.
【解析】如图,$\because$第6次反弹时回到出发点,$\therefore$每6次碰到长方形的边为一个循环.$\because 2025÷6=337······3$,$\therefore$点P第2025次碰到长方形的边时,点P的坐标为$(8,3)$. 故选D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11. $\sqrt{2}$的相反数是________;$3 - π$的绝对值是________;$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}} = \_\_\_\_\_\_$.
11. $\sqrt{2}$的相反数是________;$3 - π$的绝对值是________;$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
11. $-\sqrt{2}\quadπ-3\quad-\frac{1}{3}$ 【点拨】本题考查相反数的定义,绝对值的性质及立方根的定义,掌握以上知识点是解题的关键.
【解析】$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$;$3-π$的绝对值是$π-3$;$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}$. 故答案为$-\sqrt{2},π-3,-\frac{1}{3}$.
【解析】$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$;$3-π$的绝对值是$π-3$;$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}$. 故答案为$-\sqrt{2},π-3,-\frac{1}{3}$.
12. 比较大小：$-5$ ______ $-2\sqrt{7}$.（填“$＞$”“$=$”或“$＜$”）
答案
12. $＞$ 【点拨】本题考查负数的大小比较,二次根式的估算,掌握负数比较大小的方法及二次根式的估算是解题的关键.
【解析】$\because |-5|=5,|-2\sqrt{7}|=2\sqrt{7},5＜2\sqrt{7},\therefore -5＞-2\sqrt{7}$. 故答案为$＞$.
【解析】$\because |-5|=5,|-2\sqrt{7}|=2\sqrt{7},5＜2\sqrt{7},\therefore -5＞-2\sqrt{7}$. 故答案为$＞$.
13. 一个正数的两个平方根分别为 $a - 7$ 和 $2a + 1$，则这个数为
25
.答案
13. 25 【点拨】本题考查平方根的性质及相反数的性质,掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键.
【解析】一个正数的两个平方根分别为$a-7$和$2a+1$,$\therefore a-7+2a+1=0$,解得$a=2$,$\therefore a-7=2-7=-5$,$\therefore$这个数为25. 故答案为25.
【解析】一个正数的两个平方根分别为$a-7$和$2a+1$,$\therefore a-7+2a+1=0$,解得$a=2$,$\therefore a-7=2-7=-5$,$\therefore$这个数为25. 故答案为25.
14. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,∠AOD=140°,OM平分∠BOE,则∠MOD=
65
°.答案
14. 65 【点拨】本题考查垂线的定义,邻补角的性质及角平分线的定义,掌握邻补角的性质及角平分线的定义是解题的关键.
【解析】$\because ∠ AOD=140°$,$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-140°=40°$.$\because OE⊥ CD$,$\therefore ∠ DOE=90°$,$\therefore ∠ BOE=∠ DOE-∠ BOD=90°-40°=50°$.$\because OM$平分$∠ BOE$,$\therefore ∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}×50°=25°$,$\therefore ∠ MOD=∠ BOD+∠ BOM=40°+25°=65°$. 故答案为65.
【解析】$\because ∠ AOD=140°$,$\therefore ∠ BOD=180°-∠ AOD=180°-140°=40°$.$\because OE⊥ CD$,$\therefore ∠ DOE=90°$,$\therefore ∠ BOE=∠ DOE-∠ BOD=90°-40°=50°$.$\because OM$平分$∠ BOE$,$\therefore ∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BOE=\frac{1}{2}×50°=25°$,$\therefore ∠ MOD=∠ BOD+∠ BOM=40°+25°=65°$. 故答案为65.
15. 如图,在平面直角坐标系中,$A(m, -4)$,$B(m+2, -4)$,且$m＞0$,$P$为$y$轴上一动点.连接$AB$,将线段$AB$先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到线段$CD$,则下列结论:①$CD=2$;②$∠ OBA + ∠ OCD = ∠ BOC + 180°$;③若$△ PCD$的面积为3,则$P$点的坐标为$(0,1)$或$(0, -5)$;④若$P$点不在直线$AB,CD$上,$△ PCD$的面积为$x$,$△ PAB$的面积为$y$,四边形$ABDC$的面积为$z$,则$|x - y| = \frac{1}{2}z$.其中正确的是________(填写序号).
答案
15. ①②③ 【点拨】本题考查坐标与图形变化——平移,平行线的性质及三角形的面积公式,掌握平移的性质是解题的关键.
【解析】$\because A(m,-4),B(m+2,-4)$,且$m＞0$,$\therefore AB=m+2-m=2$.$\because CD=AB$,$\therefore CD=2$,故①正确. 如题图,延长$DC$交$OB$于点$F$,$\because CD// AB$,$\therefore ∠ OBA=∠ CFB$.$\because ∠ OCD=∠ BOC+∠ CFO$,$\therefore ∠ OCD=∠ BOC+180°-∠ OBA$,$\therefore ∠ OBA+∠ OCD=∠ BOC+180°$,故②正确. 设$P(0,n)$,则有$\frac{1}{2}×2×|n+2|=3$,解得$n=1$或$-5$,$\therefore P(0,1)$或$(0,-5)$,故③正确. 结论④错误,理由:如题图,连接$AC,BD$,当点$P$在$CD$的上方或$AB$的下方时,结论成立;当点$P$在直线$AB$与$CD$之间时,则有$x+y=\frac{1}{2}z$. 故答案为①②③.
【解析】$\because A(m,-4),B(m+2,-4)$,且$m＞0$,$\therefore AB=m+2-m=2$.$\because CD=AB$,$\therefore CD=2$,故①正确. 如题图,延长$DC$交$OB$于点$F$,$\because CD// AB$,$\therefore ∠ OBA=∠ CFB$.$\because ∠ OCD=∠ BOC+∠ CFO$,$\therefore ∠ OCD=∠ BOC+180°-∠ OBA$,$\therefore ∠ OBA+∠ OCD=∠ BOC+180°$,故②正确. 设$P(0,n)$,则有$\frac{1}{2}×2×|n+2|=3$,解得$n=1$或$-5$,$\therefore P(0,1)$或$(0,-5)$,故③正确. 结论④错误,理由:如题图,连接$AC,BD$,当点$P$在$CD$的上方或$AB$的下方时,结论成立;当点$P$在直线$AB$与$CD$之间时,则有$x+y=\frac{1}{2}z$. 故答案为①②③.
16. 如图,直线AB经过原点O,点C在y轴上,D为线段AB上的一点,若$A(t-2,m),B(t+2,n)$,$C(0,3)$,$AB=9$,则CD长度的最小值是
$\frac{4}{3}$
.答案
16. $\frac{4}{3}$ 【点拨】本题考查三角形的面积,坐标与图形的性质,垂线段最短,正确添加辅助线是解题的关键.
【解析】如题图,过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$,过点$A$作$AM⊥ y$轴于$M$,过点$B$作$BN⊥ y$轴于$N$,$\because A(t-2,m),B(t+2,n),C(0,3)$,$\therefore AM=2-t,BN=t+2,CO=3$.$\because △ ABC$的面积$=△ AOC$的面积$+△ BOC$的面积,$\therefore \frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}CO· AM+\frac{1}{2}CO· BN$,$\therefore AB· CH=CO·(AM+BN)$,$\therefore 9CH=3×(2-t+t+2)$,解得$CH=\frac{4}{3}$.$\because CD≥ CH$,$\therefore CD$长度的最小值是$\frac{4}{3}$. 故答案为$\frac{4}{3}$.
【解析】如题图,过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$,过点$A$作$AM⊥ y$轴于$M$,过点$B$作$BN⊥ y$轴于$N$,$\because A(t-2,m),B(t+2,n),C(0,3)$,$\therefore AM=2-t,BN=t+2,CO=3$.$\because △ ABC$的面积$=△ AOC$的面积$+△ BOC$的面积,$\therefore \frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}CO· AM+\frac{1}{2}CO· BN$,$\therefore AB· CH=CO·(AM+BN)$,$\therefore 9CH=3×(2-t+t+2)$,解得$CH=\frac{4}{3}$.$\because CD≥ CH$,$\therefore CD$长度的最小值是$\frac{4}{3}$. 故答案为$\frac{4}{3}$.
