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1. 关于$x$的一元二次方程$5x^{2}+(\dfrac{1}{3}k+1)x-6=0$的一个根是$3$，则它的另一个根是（
A.$-2$
B.$1$
C.$-\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{2}{5}$
C
）A.$-2$
B.$1$
C.$-\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{2}{5}$
答案
由题意,设另一个根是$x_1$.$\because$ 方程$5x^{2}+(\dfrac{1}{3}k+1)x-6=0$的一个根是$3$,$\therefore 3x_1=-\dfrac{6}{5}$.$\therefore x_1=-\dfrac{2}{5}$.
解析
【分析】
这道题已知含参数的一元二次方程的一个根，求另一个根，常规思路可以先把已知根x=3代入方程求出参数k，再解完整的方程得到另一个根，但这样计算量稍大。更简便的思路是利用一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：对于ax²+bx+c=0，两根之积为c/a，我们不需要求解参数k，直接代入已知根，通过两根乘积的等式就能直接算出未知的另一个根，大幅简化计算步骤。
【解析】
设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），由韦达定理可知，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$5x^{2}+(\dfrac{1}{3}k+1)x-6=0$，对应二次项系数$a=5$，常数项$c=-6$，已知其中一个根是3，代入两根乘积关系可得：
$3· x_1 = \frac{-6}{5}$
解得：$x_1=-\frac{2}{5}$。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程韦达定理
【点评】
本题是韦达定理的基础应用，解题时无需代入已知根求解参数k，直接利用两根乘积的关系即可快速得到结果，有效避免了不必要的参数运算，帮助学生体会根与系数关系在简化计算中的作用。
【难度系数】
0.8
这道题已知含参数的一元二次方程的一个根，求另一个根，常规思路可以先把已知根x=3代入方程求出参数k，再解完整的方程得到另一个根，但这样计算量稍大。更简便的思路是利用一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：对于ax²+bx+c=0，两根之积为c/a，我们不需要求解参数k，直接代入已知根，通过两根乘积的等式就能直接算出未知的另一个根，大幅简化计算步骤。
【解析】
设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），由韦达定理可知，两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$5x^{2}+(\dfrac{1}{3}k+1)x-6=0$，对应二次项系数$a=5$，常数项$c=-6$，已知其中一个根是3，代入两根乘积关系可得：
$3· x_1 = \frac{-6}{5}$
解得：$x_1=-\frac{2}{5}$。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程韦达定理
【点评】
本题是韦达定理的基础应用，解题时无需代入已知根求解参数k，直接利用两根乘积的关系即可快速得到结果，有效避免了不必要的参数运算，帮助学生体会根与系数关系在简化计算中的作用。
【难度系数】
0.8
2. 易错题 小影与小冬一起写作业,在解同一个一元二次方程的过程中,小影写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬写错了一次项系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.原来的方程是（
A.$x^{2}+6x+5=0$
B.$x^{2}-7x+10=0$
C.$x^{2}-5x+2=0$
D.$x^{2}-6x-10=0$
B
）A.$x^{2}+6x+5=0$
B.$x^{2}-7x+10=0$
C.$x^{2}-5x+2=0$
D.$x^{2}-6x-10=0$
答案
设原来的方程为$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$. 由题意知,$-\dfrac{b}{a}=6+1=7$,$\dfrac{c}{a}=-2×(-5)=10$,$\therefore b=-7a$,$c=10a$.$\therefore$ 原来的方程为$ax^{2}-7ax+10a=0$. 当$a=1$时,$x^{2}-7x+10=0$.
解析
【分析】
这道题可以借助一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来推导正确方程：首先，小影只写错了常数项，她使用的二次项系数、一次项系数都是原方程的正确值，而两根之和的计算结果和常数项完全无关，因此用她得到的两个根相加，就能算出原方程正确的两根之和；其次，小冬只写错了一次项系数，他使用的二次项系数、常数项都是原方程的正确值，而两根之积的计算结果和一次项系数完全无关，因此用他得到的两个根相乘，就能算出原方程正确的两根之积；最后把得到的系数关系代入原方程，取二次项系数为1的最简形式，就能得到原方程。
【解析】
解：设原一元二次方程为$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$
1. 提取小影计算中的正确关系：小影仅写错常数项，一次项、二次项系数正确，因此她得到的两根之和符合原方程的韦达定理：
$-\dfrac{b}{a}=6+1=7$，整理得 $b=-7a$
2. 提取小冬计算中的正确关系：小冬仅写错一次项系数，常数项、二次项系数正确，因此他得到的两根之积符合原方程的韦达定理：
$\dfrac{c}{a}=-2×(-5)=10$，整理得 $c=10a$
3. 将$b=-7a$、$c=10a$代回原方程，可得：
$ax^{2}-7ax+10a=0$，取一元二次方程最简形式，令二次项系数$a=1$，最终得到原方程为$x^{2}-7x+10=0$。
【答案】B.$x^{2}-7x+10=0$
【知识点】韦达定理，一元二次方程一般形式
【点评】本题是典型的易错题，很多同学容易混淆不同错误对应的有效计算部分，不需要反向推导两人写错的错误方程，直接利用“错常数项不影响两根之和、错一次项不影响两根之积”的规律，提取两人结果里的正确韦达关系即可快速求解，大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】0.6
这道题可以借助一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来推导正确方程：首先，小影只写错了常数项，她使用的二次项系数、一次项系数都是原方程的正确值，而两根之和的计算结果和常数项完全无关，因此用她得到的两个根相加，就能算出原方程正确的两根之和；其次，小冬只写错了一次项系数，他使用的二次项系数、常数项都是原方程的正确值，而两根之积的计算结果和一次项系数完全无关，因此用他得到的两个根相乘，就能算出原方程正确的两根之积；最后把得到的系数关系代入原方程，取二次项系数为1的最简形式，就能得到原方程。
【解析】
解：设原一元二次方程为$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$
1. 提取小影计算中的正确关系：小影仅写错常数项，一次项、二次项系数正确，因此她得到的两根之和符合原方程的韦达定理：
$-\dfrac{b}{a}=6+1=7$，整理得 $b=-7a$
2. 提取小冬计算中的正确关系：小冬仅写错一次项系数，常数项、二次项系数正确，因此他得到的两根之积符合原方程的韦达定理：
$\dfrac{c}{a}=-2×(-5)=10$，整理得 $c=10a$
3. 将$b=-7a$、$c=10a$代回原方程，可得：
$ax^{2}-7ax+10a=0$，取一元二次方程最简形式，令二次项系数$a=1$，最终得到原方程为$x^{2}-7x+10=0$。
【答案】B.$x^{2}-7x+10=0$
【知识点】韦达定理，一元二次方程一般形式
【点评】本题是典型的易错题，很多同学容易混淆不同错误对应的有效计算部分，不需要反向推导两人写错的错误方程，直接利用“错常数项不影响两根之和、错一次项不影响两根之积”的规律，提取两人结果里的正确韦达关系即可快速求解，大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】0.6
3. (1) [2025 攀枝花中考]已知 $a,b$ 是方程 $x^2+2x-3=0$ 的两根,则 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的值为
(2) [2025 眉山中考]已知方程 $x^2-2x-5=0$ 的两根分别为 $x_1,x_2$,则 $(x_1+1)(x_2+1)$ 的值为
$\dfrac{2}{3}$
.(2) [2025 眉山中考]已知方程 $x^2-2x-5=0$ 的两根分别为 $x_1,x_2$,则 $(x_1+1)(x_2+1)$ 的值为
$-2$
.答案
(1) $\because a,b$ 是方程 $x^2+2x-3=0$ 的两根,$\therefore a+b=-2$,$ab=-3$. $\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}$.
(2) $\because$ 方程$x^2-2x-5=0$的两根分别为$x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=2$,$x_1x_2=-5$.$\therefore (x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5+2+1=-2$.
(2) $\because$ 方程$x^2-2x-5=0$的两根分别为$x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=2$,$x_1x_2=-5$.$\therefore (x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5+2+1=-2$.
解析
【分析】
这两道小题都是一元二次方程根与系数关系的典型考题，解题时不需要直接解出方程的两个根：第一步先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的韦达定理，直接得到对应方程的两根之和、两根之积的数值；第二步对要求的代数式做恒等变形：第(1)题的两个分式相加先通分，就能得到分子为$a+b$、分母为$ab$的形式，刚好是两根和除以两根积；第(2)题把括号展开整理，就能得到只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的式子，最后把之前得到的两根和、积的数值代入计算，就能快速得到结果，计算量小且不容易出错。
【解析】
(1) 已知$a,b$是方程$x^2+2x-3=0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$
对所求代数式通分变形：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}$
代入数值计算得：$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}$
(2) 已知方程$x^2-2x-5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$
对所求代数式展开去括号整理变形：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$
代入数值计算得：$(x_1+1)(x_2+1)=-5+2+1=-2$
【答案】
(1) $\dfrac{2}{3}$；(2) $-2$
【知识点】
韦达定理，代数式恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，核心考察韦达定理的基础应用，通过对所求代数式做简单的通分、展开变形，将未知代数式转化为已知的两根和、两根积的组合形式，无需解方程即可快速得到结果，是中考中非常典型的基础送分题型，需要学生熟练掌握这类常见的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.8
这两道小题都是一元二次方程根与系数关系的典型考题，解题时不需要直接解出方程的两个根：第一步先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的韦达定理，直接得到对应方程的两根之和、两根之积的数值；第二步对要求的代数式做恒等变形：第(1)题的两个分式相加先通分，就能得到分子为$a+b$、分母为$ab$的形式，刚好是两根和除以两根积；第(2)题把括号展开整理，就能得到只含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的式子，最后把之前得到的两根和、积的数值代入计算，就能快速得到结果，计算量小且不容易出错。
【解析】
(1) 已知$a,b$是方程$x^2+2x-3=0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$
对所求代数式通分变形：
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}$
代入数值计算得：$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}$
(2) 已知方程$x^2-2x-5=0$的两根分别为$x_1,x_2$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$，$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$
对所求代数式展开去括号整理变形：
$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$
代入数值计算得：$(x_1+1)(x_2+1)=-5+2+1=-2$
【答案】
(1) $\dfrac{2}{3}$；(2) $-2$
【知识点】
韦达定理，代数式恒等变形
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常考题，核心考察韦达定理的基础应用，通过对所求代数式做简单的通分、展开变形，将未知代数式转化为已知的两根和、两根积的组合形式，无需解方程即可快速得到结果，是中考中非常典型的基础送分题型，需要学生熟练掌握这类常见的代数式变形技巧。
【难度系数】
0.8
4. (1) [2025 苏州中考]已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+2x-m=0$ 的两个实数根, 其中$x_1=1$, 则 $x_2=$
(2) 设 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2+mx-2=0$ 的两个根, 且 $x_1+x_2=2x_1x_2$, 则 $m=$
$-3$
.(2) 设 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2+mx-2=0$ 的两个根, 且 $x_1+x_2=2x_1x_2$, 则 $m=$
$4$
.答案
(1) $\because x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-2$. 又$\because x_1=1$,$\therefore x_2=-2-x_1=-2-1=-3$.
(2) $\because x_1,x_2$ 是方程$x^2+mx-2=0$的两个根,$\therefore x_1+x_2=-m$,$x_1x_2=-2$.$\because x_1+x_2=2x_1x_2$,$\therefore -m=2×(-2)$,解得$m=4$.
(2) $\because x_1,x_2$ 是方程$x^2+mx-2=0$的两个根,$\therefore x_1+x_2=-m$,$x_1x_2=-2$.$\because x_1+x_2=2x_1x_2$,$\therefore -m=2×(-2)$,解得$m=4$.
解析
【分析】
这道题的两个小问都可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解，不需要额外解方程求参数。第(1)问，首先回忆对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题方程二次项系数是1，一次项系数是2，因此直接得到两根之和为-2，已知其中一个根$x_1=1$，代入就可以直接算出另一个根$x_2$。第(2)问，同样先用韦达定理分别写出两根之和、两根之积关于参数$m$的表达式，再把这两个表达式代入题目给出的等量关系$x_1+x_2=2x_1x_2$，就能得到关于$m$的一元一次方程，解这个方程即可得到$m$的取值，全程不需要求解方程的根，计算量很小。
【解析】
解：
(1) 对于一元二次方程$x^2+2x-m=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
由根与系数的关系可得两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$，
已知$x_1=1$，代入得：$x_2=-2 - x_1 = -2 - 1 = -3$。
(2) 对于方程$x^2+mx-2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-2$，
由根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$，
将上述两个式子代入已知条件$x_1+x_2=2x_1x_2$，得：
$-m = 2×(-2)$，
解得$m=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系，一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，无需求解方程的根即可快速得到结果，解题时需要注意不要记错韦达定理中两根和的负号规则，避免符号错误丢分，是中考中常见的基础送分题。
【难度系数】
0.8
这道题的两个小问都可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解，不需要额外解方程求参数。第(1)问，首先回忆对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，本题方程二次项系数是1，一次项系数是2，因此直接得到两根之和为-2，已知其中一个根$x_1=1$，代入就可以直接算出另一个根$x_2$。第(2)问，同样先用韦达定理分别写出两根之和、两根之积关于参数$m$的表达式，再把这两个表达式代入题目给出的等量关系$x_1+x_2=2x_1x_2$，就能得到关于$m$的一元一次方程，解这个方程即可得到$m$的取值，全程不需要求解方程的根，计算量很小。
【解析】
解：
(1) 对于一元二次方程$x^2+2x-m=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
由根与系数的关系可得两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-2$，
已知$x_1=1$，代入得：$x_2=-2 - x_1 = -2 - 1 = -3$。
(2) 对于方程$x^2+mx-2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=-2$，
由根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$，
将上述两个式子代入已知条件$x_1+x_2=2x_1x_2$，得：
$-m = 2×(-2)$，
解得$m=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数关系，一元一次方程求解
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，无需求解方程的根即可快速得到结果，解题时需要注意不要记错韦达定理中两根和的负号规则，避免符号错误丢分，是中考中常见的基础送分题。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+m+1=0$有两个不相等的实数根.
(1) 求$m$的取值范围.
(2) 若该方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=-4$,求$m$的值.
(1) 求$m$的取值范围.
(2) 若该方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=-4$,求$m$的值.
答案
(1) $\because$ 方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=(-4)^2-4(m+1)=16-4m-4=12-4m＞0$.$\therefore m＜3$.
(2) 由根与系数的关系,得$x_1+x_2=4$,$x_1x_2=m+1$.$\because (x_1-1)(x_2-1)=-4$,$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1=-4$.$\therefore m+1-4+1=-4$.$\therefore m=-2$.
(2) 由根与系数的关系,得$x_1+x_2=4$,$x_1x_2=m+1$.$\because (x_1-1)(x_2-1)=-4$,$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1=-4$.$\therefore m+1-4+1=-4$.$\therefore m=-2$.
解析
【分析】
这道题分两小问求解，第一问已知一元二次方程有两个不相等的实数根，我们可以直接利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时方程有两个不等实根，代入方程对应系数构造关于m的不等式，解不等式就能得到m的取值范围。第二问给出了关于两根的代数式的值，首先回忆根与系数的关系（韦达定理），先把给定的$(x_1-1)(x_2-1)$展开变形为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再代入韦达定理得到的两根之和、两根之积的表达式，就能得到关于m的方程，求解后验证该m值满足第一问得到的取值范围即可得到最终结果。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^{2}-4x+m+1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=m+1$。
因为方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-4)^2 - 4×1×(m+1)\\&=16 - 4m -4\\&=12-4m＞0\end{aligned}$
解不等式得$4m＜12$，即$m＜3$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，该方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=4$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=m+1$。
将等式$(x_1-1)(x_2-1)=-4$的左边展开变形：
$x_1x_2 -x_1 -x_2 +1 = -4$
整理得：
$x_1x_2 -(x_1+x_2) +1 = -4$
把$x_1+x_2=4$、$x_1x_2=m+1$代入上式：
$(m+1) -4 +1 = -4$
化简计算得$m-2=-4$，即$m=-2$，验证可知$m=-2＜3$，满足第一问的取值范围，符合要求。
【答案】
(1) $m＜3$；(2) $m=-2$
【知识点】
一元二次方程判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程章节的常规基础题型，重点考察根的判别式和韦达定理的基础应用，解题时第二问求出参数后需要主动验证参数满足判别式的前提要求，避免出现不符合题意的增根，整体思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
这道题分两小问求解，第一问已知一元二次方程有两个不相等的实数根，我们可以直接利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ＞0时方程有两个不等实根，代入方程对应系数构造关于m的不等式，解不等式就能得到m的取值范围。第二问给出了关于两根的代数式的值，首先回忆根与系数的关系（韦达定理），先把给定的$(x_1-1)(x_2-1)$展开变形为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再代入韦达定理得到的两根之和、两根之积的表达式，就能得到关于m的方程，求解后验证该m值满足第一问得到的取值范围即可得到最终结果。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^{2}-4x+m+1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=m+1$。
因为方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta&=b^2-4ac\\&=(-4)^2 - 4×1×(m+1)\\&=16 - 4m -4\\&=12-4m＞0\end{aligned}$
解不等式得$4m＜12$，即$m＜3$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，该方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}=4$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=m+1$。
将等式$(x_1-1)(x_2-1)=-4$的左边展开变形：
$x_1x_2 -x_1 -x_2 +1 = -4$
整理得：
$x_1x_2 -(x_1+x_2) +1 = -4$
把$x_1+x_2=4$、$x_1x_2=m+1$代入上式：
$(m+1) -4 +1 = -4$
化简计算得$m-2=-4$，即$m=-2$，验证可知$m=-2＜3$，满足第一问的取值范围，符合要求。
【答案】
(1) $m＜3$；(2) $m=-2$
【知识点】
一元二次方程判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程章节的常规基础题型，重点考察根的判别式和韦达定理的基础应用，解题时第二问求出参数后需要主动验证参数满足判别式的前提要求，避免出现不符合题意的增根，整体思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
6. $[2025$ 东营中考$]$若 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-25x-1=0$ 的两个实数根, 则代数式$x_1^2-24x_1+x_2$ 的值为（
A.$0$
B.$25$
C.$26$
D.$-1$
C
）A.$0$
B.$25$
C.$26$
D.$-1$
答案
$\because x_1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程$x^2-25x-1=0$的实数根,$\therefore x_1^2-25x_1-1=0$.$\therefore x_1^2=25x_1+1$.$\therefore x_1^2-24x_1+x_2=25x_1+1-24x_1+x_2=x_1+x_2+1$.$\because x_1$,$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2-25x-1=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=25$.$\therefore x_1^2-24x_1+x_2=25+1=26$.
解析
【分析】
这道题的核心思路是“降次+整体代入”，首先观察待求代数式里含有$x_1$的二次项，如果直接解出方程的根代入计算会非常繁琐。第一步先利用一元二次方程根的定义：因为$x_1$是方程的根，把$x_1$代入原方程就能得到$x_1^2$和一次项的等量关系，把二次的$x_1^2$替换为一次表达式实现降次；化简代数式后剩余部分刚好是两根之和的形式，此时直接用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到$x_1+x_2$的值，整体代入就能快速算出结果，完全不需要求解两个根的具体数值。
【解析】
1. 利用方程根的定义转化二次项
因为$x_1$是一元二次方程$x^2-25x-1=0$的实数根，将$x=x_1$代入原方程可得：
$x_1^2 -25x_1 -1 = 0$，整理得$x_1^2 = 25x_1 +1$。
2. 代入待求式降次化简
把$x_1^2 = 25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$：
原式$= 25x_1 +1 -24x_1 +x_2 = x_1 +x_2 +1$。
3. 用韦达定理求两根之和
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-25$，因此：
$x_1 +x_2 = 25$。
4. 整体代入计算最终结果
将$x_1+x_2=25$代入化简后的式子：
原式$=25 +1 =26$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理（根与系数关系）
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的经典中考题型，规避了直接求解无理数根的复杂运算，通过降次思想将二次代数式转化为一次式，再结合整体代入的方法快速得到结果，是考察韦达定理应用的常见考法，需要学生熟练掌握“降次+整体代换”的解题技巧。
【难度系数】
0.7
这道题的核心思路是“降次+整体代入”，首先观察待求代数式里含有$x_1$的二次项，如果直接解出方程的根代入计算会非常繁琐。第一步先利用一元二次方程根的定义：因为$x_1$是方程的根，把$x_1$代入原方程就能得到$x_1^2$和一次项的等量关系，把二次的$x_1^2$替换为一次表达式实现降次；化简代数式后剩余部分刚好是两根之和的形式，此时直接用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到$x_1+x_2$的值，整体代入就能快速算出结果，完全不需要求解两个根的具体数值。
【解析】
1. 利用方程根的定义转化二次项
因为$x_1$是一元二次方程$x^2-25x-1=0$的实数根，将$x=x_1$代入原方程可得：
$x_1^2 -25x_1 -1 = 0$，整理得$x_1^2 = 25x_1 +1$。
2. 代入待求式降次化简
把$x_1^2 = 25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$：
原式$= 25x_1 +1 -24x_1 +x_2 = x_1 +x_2 +1$。
3. 用韦达定理求两根之和
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，本题中$a=1$，$b=-25$，因此：
$x_1 +x_2 = 25$。
4. 整体代入计算最终结果
将$x_1+x_2=25$代入化简后的式子：
原式$=25 +1 =26$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理（根与系数关系）
【点评】
本题是一元二次方程代数式求值的经典中考题型，规避了直接求解无理数根的复杂运算，通过降次思想将二次代数式转化为一次式，再结合整体代入的方法快速得到结果，是考察韦达定理应用的常见考法，需要学生熟练掌握“降次+整体代换”的解题技巧。
【难度系数】
0.7
7. 已知菱形$ABCD$的边长是5,两条对角线交于点$O$,且$AO,BO$的长分别是关于$x$的方程$x^{2}+$$(2m - 1)x + m^{2}+3 = 0$的两个根,则$m$的值为（
A.$-3$
B.$5$
C.$5$或$-3$
D.$-5$或$3$
A
）A.$-3$
B.$5$
C.$5$或$-3$
D.$-5$或$3$
答案
由勾股定理,可得$AO^2+BO^2=25$. 由根与系数的关系,得$AO+BO=-2m+1$,$AO· BO=m^2+3$.$\therefore AO^2+BO^2=(AO+BO)^2-2AO· BO=(-2m+1)^2-2(m^2+3)=25$. 整理,得$m^2-2m-15=0$,解得$m_1=-3$,$m_2=5$. 又$\because b^2-4ac＞0$,$\therefore (2m-1)^2-4(m^2+3)＞0$,解得$m＜-\dfrac{11}{4}$.$\therefore m=-3$.
解析
【分析】
这道题是菱形性质与一元二次方程根的相关性质的综合题，解题思路如下：1. 首先利用菱形对角线互相垂直的性质，得到Rt△AOB，结合菱形边长为5，由勾股定理可得AO²+BO²=AB²=25；2. 已知AO、BO是给定一元二次方程的两个根，联想到韦达定理（根与系数的关系），可以直接写出两根之和AO+BO、两根之积AO·BO关于m的表达式；3. 利用完全平方公式的变形，将AO²+BO²转化为(AO+BO)²-2AO·BO的形式，代入后得到关于m的一元二次方程，求解得到m的两个候选值；4. 最后要注意AO、BO是线段长度，必然为正实数，因此对应的一元二次方程必须有两个正实根，需要通过判别式大于0筛选出符合条件的m值，舍去不符合的解。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直，
∴ AC⊥BD，即△AOB为直角三角形，
又
∵ 菱形边长AB=5，由勾股定理得：
$AO^2 + BO^2 = AB^2 = 25$
已知AO、BO是方程$x^2+(2m-1)x+m^2+3=0$的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$AO + BO = -(2m-1) = -2m + 1$
$AO · BO = m^2 + 3$
将$AO^2 + BO^2$变形为完全平方形式：
$AO^2 + BO^2 = (AO+BO)^2 - 2AO· BO$
代入上述表达式和$AO^2+BO^2=25$得：
$(-2m+1)^2 - 2(m^2+3) = 25$
展开并整理：
$4m^2 -4m +1 -2m^2 -6 = 25$
$2m^2 -4m -30 = 0$
化简得：
$m^2 -2m -15 = 0$
因式分解求解得：$(m-5)(m+3)=0$，即$m_1=5$，$m_2=-3$。
由于AO、BO是线段长度，均为正实数，因此该一元二次方程必须有两个不相等的正实根，首先判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = (2m-1)^2 - 4×1×(m^2+3) ＞ 0$
计算得：
$4m^2 -4m +1 -4m^2 -12 ＞0$
$-4m -11 ＞0$
解得：$m ＜ -\frac{11}{4}$。
对比两个候选值：m=5不满足$m ＜ -\frac{11}{4}$，舍去；m=-3满足条件。
因此m的值为-3。
【答案】A
【知识点】
菱形对角线性质，韦达定理，一元二次方程判别式
【点评】
本题的核心陷阱是很多同学求出m的两个解后，忽略了AO、BO作为线段长度必须为正，对应的一元二次方程要有两个正实根的隐含条件，容易错选C选项。解题时要注意代数方程的解需要符合几何场景的实际意义，不能直接保留所有求出来的候选解。
【难度系数】
0.4
这道题是菱形性质与一元二次方程根的相关性质的综合题，解题思路如下：1. 首先利用菱形对角线互相垂直的性质，得到Rt△AOB，结合菱形边长为5，由勾股定理可得AO²+BO²=AB²=25；2. 已知AO、BO是给定一元二次方程的两个根，联想到韦达定理（根与系数的关系），可以直接写出两根之和AO+BO、两根之积AO·BO关于m的表达式；3. 利用完全平方公式的变形，将AO²+BO²转化为(AO+BO)²-2AO·BO的形式，代入后得到关于m的一元二次方程，求解得到m的两个候选值；4. 最后要注意AO、BO是线段长度，必然为正实数，因此对应的一元二次方程必须有两个正实根，需要通过判别式大于0筛选出符合条件的m值，舍去不符合的解。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，菱形的对角线互相垂直，
∴ AC⊥BD，即△AOB为直角三角形，
又
∵ 菱形边长AB=5，由勾股定理得：
$AO^2 + BO^2 = AB^2 = 25$
已知AO、BO是方程$x^2+(2m-1)x+m^2+3=0$的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$AO + BO = -(2m-1) = -2m + 1$
$AO · BO = m^2 + 3$
将$AO^2 + BO^2$变形为完全平方形式：
$AO^2 + BO^2 = (AO+BO)^2 - 2AO· BO$
代入上述表达式和$AO^2+BO^2=25$得：
$(-2m+1)^2 - 2(m^2+3) = 25$
展开并整理：
$4m^2 -4m +1 -2m^2 -6 = 25$
$2m^2 -4m -30 = 0$
化简得：
$m^2 -2m -15 = 0$
因式分解求解得：$(m-5)(m+3)=0$，即$m_1=5$，$m_2=-3$。
由于AO、BO是线段长度，均为正实数，因此该一元二次方程必须有两个不相等的正实根，首先判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = (2m-1)^2 - 4×1×(m^2+3) ＞ 0$
计算得：
$4m^2 -4m +1 -4m^2 -12 ＞0$
$-4m -11 ＞0$
解得：$m ＜ -\frac{11}{4}$。
对比两个候选值：m=5不满足$m ＜ -\frac{11}{4}$，舍去；m=-3满足条件。
因此m的值为-3。
【答案】A
【知识点】
菱形对角线性质，韦达定理，一元二次方程判别式
【点评】
本题的核心陷阱是很多同学求出m的两个解后，忽略了AO、BO作为线段长度必须为正，对应的一元二次方程要有两个正实根的隐含条件，容易错选C选项。解题时要注意代数方程的解需要符合几何场景的实际意义，不能直接保留所有求出来的候选解。
【难度系数】
0.4
8. (1) [2024 成都中考] 若 m,n 是一元二次方程 $x^{2}-5x+2=0$ 的两个实数根, 则 $m+(n-2)^{2}$ 的值为
$7$
.答案
$\because m,n$ 是一元二次方程$x^2-5x+2=0$的两个实数根,$\therefore m^2-5m+2=0$,$m+n=5$.$\therefore m^2-5m=-2$,$n=5-m$.$\therefore m+(n-2)^2=m+(3-m)^2=m^2-5m+9=-2+9=7$.
解析
【分析】
我们不需要直接求解出m、n的具体带根号的数值，可按如下思路解题：
1. 首先利用一元二次方程根的基本性质：方程的实数根代入原方程，等式必然成立，由此可以将含n的二次项降为一次项，简化代数式；
2. 再结合韦达定理（根与系数的关系）直接得到两根之和m+n的值，最后通过整体代入的方式，就能快速算出待求式的结果，全程避免复杂的无理数运算。
【解析】
解：
∵ m,n是一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的两个实数根
∴ 由根的定义可得：$n^2 -5n +2=0$，即$n^2=5n-2$
由韦达定理（根与系数的关系）可得：$m+n=5$
先展开待求代数式：
$m+(n-2)^2 = m + n^2 -4n +4$
将$n^2=5n-2$代入上式化简：
原式$=m + 5n -2 -4n +4 = m +n +2$
将$m+n=5$整体代入化简后的式子：
原式$=5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典求值题型，不需要计算出两个无理根的具体数值，通过降次处理和整体代换的思想就能快速得到结果，有效规避了繁琐的根式运算，重点考察学生对根的性质、韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
我们不需要直接求解出m、n的具体带根号的数值，可按如下思路解题：
1. 首先利用一元二次方程根的基本性质：方程的实数根代入原方程，等式必然成立，由此可以将含n的二次项降为一次项，简化代数式；
2. 再结合韦达定理（根与系数的关系）直接得到两根之和m+n的值，最后通过整体代入的方式，就能快速算出待求式的结果，全程避免复杂的无理数运算。
【解析】
解：
∵ m,n是一元二次方程$x^{2}-5x+2=0$的两个实数根
∴ 由根的定义可得：$n^2 -5n +2=0$，即$n^2=5n-2$
由韦达定理（根与系数的关系）可得：$m+n=5$
先展开待求代数式：
$m+(n-2)^2 = m + n^2 -4n +4$
将$n^2=5n-2$代入上式化简：
原式$=m + 5n -2 -4n +4 = m +n +2$
将$m+n=5$整体代入化简后的式子：
原式$=5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典求值题型，不需要计算出两个无理根的具体数值，通过降次处理和整体代换的思想就能快速得到结果，有效规避了繁琐的根式运算，重点考察学生对根的性质、韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
