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(2) 已知方程$x^{2}-2026x+1=0$的两根分别为$x_{1},x_{2}$,则$x^{2}_{1}-\dfrac{2026}{x_{2}}$的值为
$-1$
.答案
$\because$ 方程$x^2-2026x+1=0$的两根分别为$x_1,x_2$,$\therefore x_1^2-2026x_1+1=0$,$x_1· x_2=1$.$\therefore x_1^2=2026x_1-1$.$\therefore x_1^2-\dfrac{2026}{x_2}=2026x_1-1-\dfrac{2026}{x_2}=\dfrac{2026x_1· x_2 -x_2}{x_2}-\dfrac{2026}{x_2}=\dfrac{2026×1 -x_2 -2026}{x_2}=\dfrac{-x_2}{x_2}=-1$.
解析
【分析】
这道题不需要直接求解出方程的两个根，核心思路是通过降次和整体代换简化计算：
1. 首先观察所求代数式中存在$x_1^2$的二次项，直接代入根的数值计算会非常繁琐，因此先利用「方程的根满足原方程」的性质，将$x_1$代入原方程，变形后把二次项$x_1^2$替换为一次式，实现降次。
2. 再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两根之积$x_1x_2=1$，利用这个关系对降次后的代数式进行整体代换，消去所有含未知数的项，最终直接算出结果。
【解析】
解：
∵ $x_1$、$x_2$是方程$x^2-2026x+1=0$的两个根，
∴ 把$x_1$代入原方程可得：$x_1^2 - 2026x_1 + 1 = 0$，
移项变形得：$x_1^2 = 2026x_1 - 1$，
根据韦达定理，该方程两根之积满足：$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = 1$。
将$x_1^2 = 2026x_1 - 1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1^2 - \frac{2026}{x_2} &= 2026x_1 - 1 - \frac{2026}{x_2}\\&= \frac{2026x_1 · x_2}{x_2} - \frac{x_2}{x_2} - \frac{2026}{x_2}\\&= \frac{2026 × 1 - x_2 - 2026}{x_2}\\&= \frac{-x_2}{x_2}\\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式整体代换
【点评】
本题属于一元二次方程的典型代换求值题，刻意设置了较大的系数2026，引导学生避免直接求解根的复杂运算，核心考察降次思维和整体代换的技巧，是韦达定理应用类的高频题型，掌握这类代换方法可以大幅简化同类题目的计算过程。
【难度系数】
0.6
这道题不需要直接求解出方程的两个根，核心思路是通过降次和整体代换简化计算：
1. 首先观察所求代数式中存在$x_1^2$的二次项，直接代入根的数值计算会非常繁琐，因此先利用「方程的根满足原方程」的性质，将$x_1$代入原方程，变形后把二次项$x_1^2$替换为一次式，实现降次。
2. 再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两根之积$x_1x_2=1$，利用这个关系对降次后的代数式进行整体代换，消去所有含未知数的项，最终直接算出结果。
【解析】
解：
∵ $x_1$、$x_2$是方程$x^2-2026x+1=0$的两个根，
∴ 把$x_1$代入原方程可得：$x_1^2 - 2026x_1 + 1 = 0$，
移项变形得：$x_1^2 = 2026x_1 - 1$，
根据韦达定理，该方程两根之积满足：$x_1 · x_2 = \frac{c}{a} = 1$。
将$x_1^2 = 2026x_1 - 1$代入所求代数式：
$\begin{aligned}x_1^2 - \frac{2026}{x_2} &= 2026x_1 - 1 - \frac{2026}{x_2}\\&= \frac{2026x_1 · x_2}{x_2} - \frac{x_2}{x_2} - \frac{2026}{x_2}\\&= \frac{2026 × 1 - x_2 - 2026}{x_2}\\&= \frac{-x_2}{x_2}\\&= -1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，代数式整体代换
【点评】
本题属于一元二次方程的典型代换求值题，刻意设置了较大的系数2026，引导学生避免直接求解根的复杂运算，核心考察降次思维和整体代换的技巧，是韦达定理应用类的高频题型，掌握这类代换方法可以大幅简化同类题目的计算过程。
【难度系数】
0.6
9. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+2m=0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，如果$x_{1}-2x_{2}=6$，那么实数$m$的值为
$-2$
.答案
由题意知,$x_1+x_2=3$. $\because x_1-2x_2=6$,即$x_1+x_2-3x_2=6$,$\therefore 3-3x_2=6$,解得$x_2=-1$. 代入方程,得$1+3+2m=0$,解得$m=-2$.
解析
【分析】
这道题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系简化计算，首先我们不需要直接推导根的通用表达式，先根据韦达定理直接得到该方程两根之和$x_1+x_2$的固定值，题目额外给出了$x_1$和$x_2$的线性关系$x_1-2x_2=6$，联立这两个关于$x_1$、$x_2$的一次方程，就可以快速解出其中一个根的具体数值，再把这个根代回原一元二次方程，就能直接求出参数$m$的值，最后验证判别式确认结果符合“两个不相等实数根”的要求即可。
【解析】
1. 由一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2-3x+2m=0$，可得两根之和：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$
2. 结合已知条件$x_1-2x_2=6$，将$x_1=3-x_2$代入该式：
$3 - x_2 - 2x_2 = 6$
整理得$3-3x_2=6$，解得$x_2=-1$。
3. 将$x_2=-1$代入原方程$x^2-3x+2m=0$：
$(-1)^2 - 3×(-1) + 2m = 0$
即$1+3+2m=0$，解得$m=-2$。
4. 验证判别式：$\Delta=(-3)^2-4×1×2m=9+16=25＞0$，满足方程有两个不相等实数根的条件，结果符合题意。
【答案】
$-2$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程根的定义
【点评】
本题没有直接要求计算两根，而是给出两根的线性关系求参数，巧妙利用韦达定理先得到两根之和，联立条件快速求出单个根再代入求参，避免了直接使用求根公式的复杂运算，解题过程简洁高效，解题时要注意最终得到的参数需要满足题目给出的根的判别式要求，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
这道题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系简化计算，首先我们不需要直接推导根的通用表达式，先根据韦达定理直接得到该方程两根之和$x_1+x_2$的固定值，题目额外给出了$x_1$和$x_2$的线性关系$x_1-2x_2=6$，联立这两个关于$x_1$、$x_2$的一次方程，就可以快速解出其中一个根的具体数值，再把这个根代回原一元二次方程，就能直接求出参数$m$的值，最后验证判别式确认结果符合“两个不相等实数根”的要求即可。
【解析】
1. 由一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2-3x+2m=0$，可得两根之和：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 3$
2. 结合已知条件$x_1-2x_2=6$，将$x_1=3-x_2$代入该式：
$3 - x_2 - 2x_2 = 6$
整理得$3-3x_2=6$，解得$x_2=-1$。
3. 将$x_2=-1$代入原方程$x^2-3x+2m=0$：
$(-1)^2 - 3×(-1) + 2m = 0$
即$1+3+2m=0$，解得$m=-2$。
4. 验证判别式：$\Delta=(-3)^2-4×1×2m=9+16=25＞0$，满足方程有两个不相等实数根的条件，结果符合题意。
【答案】
$-2$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程根的定义
【点评】
本题没有直接要求计算两根，而是给出两根的线性关系求参数，巧妙利用韦达定理先得到两根之和，联立条件快速求出单个根再代入求参，避免了直接使用求根公式的复杂运算，解题过程简洁高效，解题时要注意最终得到的参数需要满足题目给出的根的判别式要求，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
10. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2kx+k^{2}-k=0$ 的两个实数根分别是 $x_{1},x_{2}$ ,且 $x^{2}_{1}+x^{2}_{2}=4$,那么 $x^{2}_{1}-x_{1}x_{2}+x^{2}_{2}$ 的值是
$4$
。答案
由方程有两个实数根$x_1,x_2$,得$\Delta=(-2k)^2-4(k^2-k)≥0$,即$k≥0$,且$x_1+x_2=2k$,$x_1x_2=k^2-k$.$\because x_1^2+x_2^2=4$,$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4$. 即$(2k)^2-2(k^2-k)=4$. 整理,得$k^2+k-2=0$,解得$k_1=1$,$k_2=-2$(不合题意,舍去). $\therefore x_1^2-x_1x_2+x_2^2=4-(k^2-k)=4-k^2+k=4-1+1=4$.
解析
【分析】
这道题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系结合完全平方公式变形求解。解题思路可以按四步走：第一步，题目明确方程有两个实数根，因此首先要通过根的判别式得到参数k的取值范围，避免后续求出不符合实根条件的无效k值；第二步，根据韦达定理写出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$关于k的表达式；第三步，利用完全平方公式将已知条件$x_1^2+x_2^2=4$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4$，把韦达得到的和与积代入，得到关于k的方程，解出k后结合之前的取值范围舍去不符合的解；第四步，观察要求的式子$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2$，它可以直接转化为已知的$x_1^2+x_2^2$减去$x_1x_2$，代入符合条件的k值就能算出最终结果。
【解析】
解：
1. 确定方程有实根的前提条件
∵ 方程$x^2 - 2kx + k^2 - k = 0$是一元二次方程且有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-2k)^2 - 4×1×(k^2 - k) ≥ 0$，
化简计算得：$4k ≥ 0$，即$k≥0$。
2. 由韦达定理（根与系数的关系）得：
两根之和$x_1 + x_2 = 2k$，两根之积$x_1x_2 = k^2 -k$。
3. 结合已知条件求解k值
由完全平方公式变形可得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入$x_1^2+x_2^2=4$得：
$(2k)^2 - 2(k^2 -k) =4$
整理得$k^2 +k -2=0$，解得$k_1=1$，$k_2=-2$，
结合$k≥0$的取值范围，舍去不符合条件的$k_2=-2$，得有效解$k=1$。
4. 计算目标式子的值
对所求式子变形：$x_1^2 -x_1x_2 +x_2^2 = (x_1^2 +x_2^2) -x_1x_2$，
代入已知$x_1^2+x_2^2=4$，以及$k=1$时$x_1x_2=1^2-1=0$，得：
原式$=4 - 0 =4$。
【答案】4
【知识点】一元二次方程判别式，韦达定理，完全平方公式变形
【点评】本题属于一元二次方程的基础综合题，最典型的易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，不对求出的k值进行检验，误将k=-2代入计算得到错误结果。同学们使用韦达定理解题时，一定要优先确认方程存在实根的条件，对参数的取值做合理性筛选。
【难度系数】0.6
这道题的核心是利用一元二次方程根与系数的关系结合完全平方公式变形求解。解题思路可以按四步走：第一步，题目明确方程有两个实数根，因此首先要通过根的判别式得到参数k的取值范围，避免后续求出不符合实根条件的无效k值；第二步，根据韦达定理写出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$关于k的表达式；第三步，利用完全平方公式将已知条件$x_1^2+x_2^2=4$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4$，把韦达得到的和与积代入，得到关于k的方程，解出k后结合之前的取值范围舍去不符合的解；第四步，观察要求的式子$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2$，它可以直接转化为已知的$x_1^2+x_2^2$减去$x_1x_2$，代入符合条件的k值就能算出最终结果。
【解析】
解：
1. 确定方程有实根的前提条件
∵ 方程$x^2 - 2kx + k^2 - k = 0$是一元二次方程且有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta = (-2k)^2 - 4×1×(k^2 - k) ≥ 0$，
化简计算得：$4k ≥ 0$，即$k≥0$。
2. 由韦达定理（根与系数的关系）得：
两根之和$x_1 + x_2 = 2k$，两根之积$x_1x_2 = k^2 -k$。
3. 结合已知条件求解k值
由完全平方公式变形可得$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入$x_1^2+x_2^2=4$得：
$(2k)^2 - 2(k^2 -k) =4$
整理得$k^2 +k -2=0$，解得$k_1=1$，$k_2=-2$，
结合$k≥0$的取值范围，舍去不符合条件的$k_2=-2$，得有效解$k=1$。
4. 计算目标式子的值
对所求式子变形：$x_1^2 -x_1x_2 +x_2^2 = (x_1^2 +x_2^2) -x_1x_2$，
代入已知$x_1^2+x_2^2=4$，以及$k=1$时$x_1x_2=1^2-1=0$，得：
原式$=4 - 0 =4$。
【答案】4
【知识点】一元二次方程判别式，韦达定理，完全平方公式变形
【点评】本题属于一元二次方程的基础综合题，最典型的易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，不对求出的k值进行检验，误将k=-2代入计算得到错误结果。同学们使用韦达定理解题时，一定要优先确认方程存在实根的条件，对参数的取值做合理性筛选。
【难度系数】0.6
11. 整体思想 [2025 闵行期中]已知 $x_1,x_2$ 是方程 $(a-1)x^2-3(2-a)x+1=0$ 的两个实数根.
(1) 若 $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6$,求 $a$ 的值.
(2) 在(1)的条件下,求 $\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}$ 的值.
(1) 若 $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6$,求 $a$ 的值.
(2) 在(1)的条件下,求 $\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}$ 的值.
答案
(1) $\because$ 方程$(a-1)x^2-3(2-a)x+1=0$的两个实数根是$x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=\dfrac{3(2-a)}{a-1}$,$x_1x_2=\dfrac{1}{a-1}$. $\because \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6$,$\therefore \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=6$. $\therefore \dfrac{\dfrac{3(2-a)}{a-1}}{\dfrac{1}{a-1}}=6$,解得$a=0$. 经检验,$a=0$是方程的解. $\therefore a$的值为0.
(2) 由(1),得$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6$,$a=0$,则$x_1x_2=-1$,$\therefore (\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2})^2=(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2})^2-\dfrac{4}{x_1x_2}=6^2-\dfrac{4}{-1}=40$. $\therefore \dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}=\pm\sqrt{40}=\pm2\sqrt{10}$.
(2) 由(1),得$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=6$,$a=0$,则$x_1x_2=-1$,$\therefore (\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2})^2=(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2})^2-\dfrac{4}{x_1x_2}=6^2-\dfrac{4}{-1}=40$. $\therefore \dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}=\pm\sqrt{40}=\pm2\sqrt{10}$.
解析
【分析】
这道题可以用整体思想结合一元二次方程根与系数的关系求解：
1. 第(1)问：先对已知条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，将其转化为用两根和、两根积表示的形式$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，再根据韦达定理写出该方程的两根和与两根积的含a表达式，代入后可约掉分母的$a-1$，快速得到关于a的方程，求解后还要验证二次项系数不为0、判别式非负，确认a符合方程有两个实根的前提。
2. 第(2)问：不需要单独求出$x_1$、$x_2$的具体值，利用完全平方公式的变形，将待求式$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$先平方，转化为已知的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$和$\frac{1}{x_1x_2}$的组合形式，整体代入计算出平方值后再开方，注意开方后有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
(1) 已知$x_1,x_2$是方程$(a-1)x^2-3(2-a)x+1=0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$x_1+x_2=\frac{3(2-a)}{a-1}, \quad x_1x_2=\frac{1}{a-1}$
对条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=6$通分变形，得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=6$
将两根和、两根积的表达式代入上式：
$\frac{\frac{3(2-a)}{a-1}}{\frac{1}{a-1}}=6$
约去不为0的分母$a-1$，化简得$3(2-a)=6$，解得$a=0$。
检验：当$a=0$时，二次项系数$a-1=-1≠0$，方程变为$-x^2 -6x +1=0$，判别式$\Delta=(-6)^2 -4×(-1)×1=40＞0$，有两个不相等的实数根，符合题意。
(2) 由(1)得$a=0$，代入两根积的表达式得$x_1x_2=\frac{1}{0-1}=-1$，且已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=6$。
利用完全平方公式变形：
$(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})^2 = (\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})^2 - \frac{4}{x_1x_2}$
代入已知数值计算：
$(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})^2 = 6^2 - \frac{4}{-1}=36+4=40$
对等式两边开平方，得：
$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\pm\sqrt{40}=\pm2\sqrt{10}$
【答案】
(1) $a$的值为$0$；(2) $\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}$的值为$\pm2\sqrt{10}$
【知识点】
韦达定理、完全平方公式变形、整体代入
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型习题，核心考察整体代换的解题思路，不需要单独求解两个根的具体值就能完成计算，大幅降低了运算量；易错点有两个，一是求解a之后忘记验证方程为一元二次方程、有实根的前提，二是第二问开平方时容易遗漏负的结果，需要注意完全平方开方后有正负两种可能。
【难度系数】
0.6
这道题可以用整体思想结合一元二次方程根与系数的关系求解：
1. 第(1)问：先对已知条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，将其转化为用两根和、两根积表示的形式$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，再根据韦达定理写出该方程的两根和与两根积的含a表达式，代入后可约掉分母的$a-1$，快速得到关于a的方程，求解后还要验证二次项系数不为0、判别式非负，确认a符合方程有两个实根的前提。
2. 第(2)问：不需要单独求出$x_1$、$x_2$的具体值，利用完全平方公式的变形，将待求式$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$先平方，转化为已知的$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$和$\frac{1}{x_1x_2}$的组合形式，整体代入计算出平方值后再开方，注意开方后有正负两个结果，不要漏解。
【解析】
(1) 已知$x_1,x_2$是方程$(a-1)x^2-3(2-a)x+1=0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$x_1+x_2=\frac{3(2-a)}{a-1}, \quad x_1x_2=\frac{1}{a-1}$
对条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=6$通分变形，得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=6$
将两根和、两根积的表达式代入上式：
$\frac{\frac{3(2-a)}{a-1}}{\frac{1}{a-1}}=6$
约去不为0的分母$a-1$，化简得$3(2-a)=6$，解得$a=0$。
检验：当$a=0$时，二次项系数$a-1=-1≠0$，方程变为$-x^2 -6x +1=0$，判别式$\Delta=(-6)^2 -4×(-1)×1=40＞0$，有两个不相等的实数根，符合题意。
(2) 由(1)得$a=0$，代入两根积的表达式得$x_1x_2=\frac{1}{0-1}=-1$，且已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=6$。
利用完全平方公式变形：
$(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})^2 = (\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})^2 - \frac{4}{x_1x_2}$
代入已知数值计算：
$(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2})^2 = 6^2 - \frac{4}{-1}=36+4=40$
对等式两边开平方，得：
$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\pm\sqrt{40}=\pm2\sqrt{10}$
【答案】
(1) $a$的值为$0$；(2) $\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}$的值为$\pm2\sqrt{10}$
【知识点】
韦达定理、完全平方公式变形、整体代入
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型习题，核心考察整体代换的解题思路，不需要单独求解两个根的具体值就能完成计算，大幅降低了运算量；易错点有两个，一是求解a之后忘记验证方程为一元二次方程、有实根的前提，二是第二问开平方时容易遗漏负的结果，需要注意完全平方开方后有正负两种可能。
【难度系数】
0.6
12. 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，则方程可写成$a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$，即$ax^{2}-ax(x_{1}+x_{2})+ax_{1}x_{2}=0$，容易发现根与系数的关系：$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$。设一元三次方程$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a≠0)$三个非零实数根分别$x_{1},x_{2},x_{3}$，现给出以下结论：①$x_{1}+x_{2}+x_{3}=\dfrac{b}{a}$；②$x_{1}x_{2}x_{3}=-\dfrac{d}{a}$；③$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}=-\dfrac{c}{a}$；④$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\dfrac{1}{x_{3}}=-\dfrac{c}{d}$。其中，正确的是
②④
（填序号）。答案
$\because$ 一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的三个非零实数根分别$x_1,x_2,x_3$,$\therefore a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$. $\therefore a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3)=0$,即$ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-ax_1x_2x_3=0$. $\therefore -a(x_1+x_2+x_3)=b$,$a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=c$,$-ax_1x_2x_3=d$. $\therefore x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a}$,$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\dfrac{c}{a}$,$x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a}$. $\therefore$ ②正确. $\because \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}=\dfrac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{x_1x_2x_3}=\dfrac{\dfrac{c}{a}}{-\dfrac{d}{a}}=-\dfrac{c}{d}$,$\therefore$ ④正确.
解析
【分析】
这是一道类比探究类题目，解题思路非常清晰：首先顺着题目给出的一元二次方程韦达定理的推导逻辑，类比迁移到一元三次方程上。第一步，根据多项式根的性质，把三次方程写成$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$的形式；第二步，逐步展开这个因式乘积，整理成按x降幂排列的标准三次多项式；第三步，将展开后的多项式和原三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比，利用多项式恒等时对应系数相等的性质，直接得到三次方程根与系数的三个基础关系，就能逐一验证前三个结论的正误；第四步，对第四个结论的分式和做通分变形，把它转化为用根的两两乘积和、三个根的乘积表示的形式，代入前面得到的根与系数的关系化简，就能判断④是否正确。
【解析】
已知一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的三个非零实数根为$x_1,x_2,x_3$，根据多项式根的因式分解性质，方程可写为：
$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$
先展开前两个因式：
$a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3)=0$
继续乘开整理得到标准三次多项式：
$ax^3 - a(x_1+x_2+x_3)x^2 + a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x - ax_1x_2x_3 = 0$
将该式和原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比，两个多项式恒等则对应次数的项系数相等：
1. 对比$x^2$项系数：$-a(x_1+x_2+x_3)=b$，整理得$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，因此结论①错误；
2. 对比$x$项系数：$a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=c$，整理得$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$，因此结论③错误；
3. 对比常数项：$-ax_1x_2x_3=d$，整理得$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$，因此结论②正确。
验证结论④：因为三个根均为非零实数，通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{x_1x_2x_3}$
代入前面得到的根与系数的关系：
$\frac{\frac{c}{a}}{-\frac{d}{a}}=-\frac{c}{d}$
因此结论④正确。
【答案】
②④
【知识点】
韦达定理推广，多项式恒等性质，分式通分化简
【点评】
本题重点考察知识类比迁移能力，不需要提前记忆一元三次方程的根与系数关系，顺着题目给出的二次韦达推导思路就能自主完成推导，易错点是展开多项式乘积时容易搞错符号，同时题目明确三个根非零，保证了分式运算的分母不为零，降低了额外的陷阱难度。
【难度系数】
0.5
这是一道类比探究类题目，解题思路非常清晰：首先顺着题目给出的一元二次方程韦达定理的推导逻辑，类比迁移到一元三次方程上。第一步，根据多项式根的性质，把三次方程写成$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$的形式；第二步，逐步展开这个因式乘积，整理成按x降幂排列的标准三次多项式；第三步，将展开后的多项式和原三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比，利用多项式恒等时对应系数相等的性质，直接得到三次方程根与系数的三个基础关系，就能逐一验证前三个结论的正误；第四步，对第四个结论的分式和做通分变形，把它转化为用根的两两乘积和、三个根的乘积表示的形式，代入前面得到的根与系数的关系化简，就能判断④是否正确。
【解析】
已知一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$的三个非零实数根为$x_1,x_2,x_3$，根据多项式根的因式分解性质，方程可写为：
$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$
先展开前两个因式：
$a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2](x-x_3)=0$
继续乘开整理得到标准三次多项式：
$ax^3 - a(x_1+x_2+x_3)x^2 + a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x - ax_1x_2x_3 = 0$
将该式和原方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$对比，两个多项式恒等则对应次数的项系数相等：
1. 对比$x^2$项系数：$-a(x_1+x_2+x_3)=b$，整理得$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$，因此结论①错误；
2. 对比$x$项系数：$a(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=c$，整理得$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a}$，因此结论③错误；
3. 对比常数项：$-ax_1x_2x_3=d$，整理得$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$，因此结论②正确。
验证结论④：因为三个根均为非零实数，通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{x_1x_2x_3}$
代入前面得到的根与系数的关系：
$\frac{\frac{c}{a}}{-\frac{d}{a}}=-\frac{c}{d}$
因此结论④正确。
【答案】
②④
【知识点】
韦达定理推广，多项式恒等性质，分式通分化简
【点评】
本题重点考察知识类比迁移能力，不需要提前记忆一元三次方程的根与系数关系，顺着题目给出的二次韦达推导思路就能自主完成推导，易错点是展开多项式乘积时容易搞错符号，同时题目明确三个根非零，保证了分式运算的分母不为零，降低了额外的陷阱难度。
【难度系数】
0.5
13. 在关于 $x$ 的分式方程 $\dfrac{k-1}{x-1}=2$①和一元二次方程 $(2-k)x^2+3mx+(3-k)n=0$②中，$k,m,n$均为实数，方程①的根为非负数.
(1) 求 $k$ 的取值范围.
(2) 若方程②有两个实数根 $x_1,x_2$，且满足 $x_1(x_1-k)+x_2(x_2-k)=(x_1-k)(x_2-k)$，当 $k$为负整数时，试判断 $m^2≤ 4$ 是否成立，并说明理由.
(1) 求 $k$ 的取值范围.
(2) 若方程②有两个实数根 $x_1,x_2$，且满足 $x_1(x_1-k)+x_2(x_2-k)=(x_1-k)(x_2-k)$，当 $k$为负整数时，试判断 $m^2≤ 4$ 是否成立，并说明理由.
答案
(1) $\because$ 关于$x$的分式方程$\dfrac{k-1}{x-1}=2$的根为非负数,$\therefore x≥0$,且$x≠1$. 解这个分式方程,得$x=\dfrac{k+1}{2}$. $\therefore \dfrac{k+1}{2}≥0$,且$\dfrac{k+1}{2}≠1$,解得$k≥-1$,且$k≠1$. 又$\because (2-k)x^2+3mx+(3-k)n=0$为一元二次方程,$\therefore 2-k≠0$. $\therefore k≠2$. 综上所述,$k≥-1$,且$k≠1$,$k≠2$.
(2) 成立. 理由:由(1)知,$k≥-1$,且$k≠1$,$k≠2$. $\because k$为负整数,$\therefore k=-1$. $\therefore$ 原一元二次方程可化为$3x^2+3mx+4n=0$. $\therefore x_1+x_2=-m$,$x_1x_2=\dfrac{4}{3}n$. $\because x_1(x_1-k)+x_2(x_2-k)=(x_1-k)(x_2-k)$,即$x_1(x_1+1)+x_2(x_2+1)=(x_1+1)(x_2+1)$,$\therefore x_1^2+x_2^2+(x_1+x_2)=x_1x_2+(x_1+x_2)+1$. 即$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=1$. $\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2=1$. $\therefore (-m)^2-3×\dfrac{4}{3}n=1$,即$m^2-4n=1$. $\therefore n=\dfrac{m^2-1}{3}$③. 又$\because b^2-4ac=(3m)^2-4×3×4n=9m^2-48n≥0$④. $\therefore$ 把③代入④,得$9m^2-48×\dfrac{m^2-1}{4}≥0$. 整理,得$m^2≤4$.
(2) 成立. 理由:由(1)知,$k≥-1$,且$k≠1$,$k≠2$. $\because k$为负整数,$\therefore k=-1$. $\therefore$ 原一元二次方程可化为$3x^2+3mx+4n=0$. $\therefore x_1+x_2=-m$,$x_1x_2=\dfrac{4}{3}n$. $\because x_1(x_1-k)+x_2(x_2-k)=(x_1-k)(x_2-k)$,即$x_1(x_1+1)+x_2(x_2+1)=(x_1+1)(x_2+1)$,$\therefore x_1^2+x_2^2+(x_1+x_2)=x_1x_2+(x_1+x_2)+1$. 即$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=1$. $\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2=1$. $\therefore (-m)^2-3×\dfrac{4}{3}n=1$,即$m^2-4n=1$. $\therefore n=\dfrac{m^2-1}{3}$③. 又$\because b^2-4ac=(3m)^2-4×3×4n=9m^2-48n≥0$④. $\therefore$ 把③代入④,得$9m^2-48×\dfrac{m^2-1}{4}≥0$. 整理,得$m^2≤4$.
解析
【分析】
这是一道分式方程与一元二次方程的综合题型，解题思路分两部分推进：
(1) 求k的取值范围时，首先先解给定的分式方程，得到用k表示的x的表达式，结合“分式方程的根为非负数”得到x≥0的基础限制，同时不能忽略分式方程的隐含条件：分母不为0即x≠1，另外题目明确方程②是一元二次方程，因此它的二次项系数不能为0，联立三个条件就能得到k的完整取值范围。
(2) 判断m²≤4是否成立时，先结合第一问得到的k的范围，以及k是负整数的限定，直接确定k的具体取值，代入方程②得到简化后的一元二次方程；再对题目给出的关于x₁、x₂的等式做展开化简，变形为可以用根与系数关系（韦达定理）代入的形式，得到m和n的关系式，最后结合一元二次方程有两个实数根的隐含条件：判别式Δ≥0，把m、n的关系式代入判别式，即可直接推导出结论。
【解析】
(1) 解分式方程$\dfrac{k-1}{x-1}=2$：
两边同乘$(x-1)$去分母得：$k-1=2(x-1)$，整理得$x=\dfrac{k+1}{2}$。
根据题意，分式方程的根为非负数，因此满足：
① $x≥0$，即$\dfrac{k+1}{2}≥0$，解得$k≥-1$；
② 分式分母不为0，即$x-1≠0$，也就是$x≠1$，即$\dfrac{k+1}{2}≠1$，解得$k≠1$。
又因为方程$(2-k)x^2+3mx+(3-k)n=0$是一元二次方程，二次项系数不能为0：$2-k≠0$，解得$k≠2$。
综上可得k的取值范围是$k≥-1$且$k≠1$，$k≠2$。
(2) $m^2≤4$成立，理由如下：
由(1)的k的取值范围，结合k为负整数，可得唯一符合条件的k值为$k=-1$。
将$k=-1$代入方程②，原方程化简为：$3x^2+3mx+4n=0$。
因为该方程有两个实数根$x_1,x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{3m}{3}=-m$，$x_1x_2=\dfrac{4n}{3}$。
对给定等式$x_1(x_1-k)+x_2(x_2-k)=(x_1-k)(x_2-k)$，代入$k=-1$得：
$x_1(x_1+1)+x_2(x_2+1)=(x_1+1)(x_2+1)$
展开左右两边：
左边$=x_1^2+x_1+x_2^2+x_2$，右边$=x_1x_2+x_1+x_2+1$
消去两边相同项$x_1+x_2$，整理得：$x_1^2+x_2^2 - x_1x_2=1$
利用完全平方公式变形得：$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2=1$
将韦达定理的结果代入上式：
$(-m)^2 - 3×\dfrac{4n}{3}=1$，化简得$m^2 -4n=1$，即$n=\dfrac{m^2-1}{4}$。
又因为一元二次方程有两个实数根，判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(3m)^2 -4×3×4n=9m^2 -48n≥0$
将$n=\dfrac{m^2-1}{4}$代入上式：
$9m^2 -48×\dfrac{m^2-1}{4}≥0$，整理得$9m^2 -12m^2 +12≥0$，即$-3m^2≥-12$，最终得$m^2≤4$。
【答案】
(1) $k$的取值范围为$k≥-1$，且$k≠1$，$k≠2$；
(2) $m^2≤ 4$成立，理由如上。
【知识点】
1. 分式方程的解
2. 一元二次方程根与系数关系
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题属于代数中档综合题，重点考察学生对隐含条件的挖掘能力，很多同学容易遗漏分式分母不为0、一元二次方程二次项系数不为0的隐藏限制，第二问需要对给定的陌生代数式做恒等变形，转化为韦达定理可代入的形式，再结合判别式推导结论，整体对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
这是一道分式方程与一元二次方程的综合题型，解题思路分两部分推进：
(1) 求k的取值范围时，首先先解给定的分式方程，得到用k表示的x的表达式，结合“分式方程的根为非负数”得到x≥0的基础限制，同时不能忽略分式方程的隐含条件：分母不为0即x≠1，另外题目明确方程②是一元二次方程，因此它的二次项系数不能为0，联立三个条件就能得到k的完整取值范围。
(2) 判断m²≤4是否成立时，先结合第一问得到的k的范围，以及k是负整数的限定，直接确定k的具体取值，代入方程②得到简化后的一元二次方程；再对题目给出的关于x₁、x₂的等式做展开化简，变形为可以用根与系数关系（韦达定理）代入的形式，得到m和n的关系式，最后结合一元二次方程有两个实数根的隐含条件：判别式Δ≥0，把m、n的关系式代入判别式，即可直接推导出结论。
【解析】
(1) 解分式方程$\dfrac{k-1}{x-1}=2$：
两边同乘$(x-1)$去分母得：$k-1=2(x-1)$，整理得$x=\dfrac{k+1}{2}$。
根据题意，分式方程的根为非负数，因此满足：
① $x≥0$，即$\dfrac{k+1}{2}≥0$，解得$k≥-1$；
② 分式分母不为0，即$x-1≠0$，也就是$x≠1$，即$\dfrac{k+1}{2}≠1$，解得$k≠1$。
又因为方程$(2-k)x^2+3mx+(3-k)n=0$是一元二次方程，二次项系数不能为0：$2-k≠0$，解得$k≠2$。
综上可得k的取值范围是$k≥-1$且$k≠1$，$k≠2$。
(2) $m^2≤4$成立，理由如下：
由(1)的k的取值范围，结合k为负整数，可得唯一符合条件的k值为$k=-1$。
将$k=-1$代入方程②，原方程化简为：$3x^2+3mx+4n=0$。
因为该方程有两个实数根$x_1,x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{3m}{3}=-m$，$x_1x_2=\dfrac{4n}{3}$。
对给定等式$x_1(x_1-k)+x_2(x_2-k)=(x_1-k)(x_2-k)$，代入$k=-1$得：
$x_1(x_1+1)+x_2(x_2+1)=(x_1+1)(x_2+1)$
展开左右两边：
左边$=x_1^2+x_1+x_2^2+x_2$，右边$=x_1x_2+x_1+x_2+1$
消去两边相同项$x_1+x_2$，整理得：$x_1^2+x_2^2 - x_1x_2=1$
利用完全平方公式变形得：$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2=1$
将韦达定理的结果代入上式：
$(-m)^2 - 3×\dfrac{4n}{3}=1$，化简得$m^2 -4n=1$，即$n=\dfrac{m^2-1}{4}$。
又因为一元二次方程有两个实数根，判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(3m)^2 -4×3×4n=9m^2 -48n≥0$
将$n=\dfrac{m^2-1}{4}$代入上式：
$9m^2 -48×\dfrac{m^2-1}{4}≥0$，整理得$9m^2 -12m^2 +12≥0$，即$-3m^2≥-12$，最终得$m^2≤4$。
【答案】
(1) $k$的取值范围为$k≥-1$，且$k≠1$，$k≠2$；
(2) $m^2≤ 4$成立，理由如上。
【知识点】
1. 分式方程的解
2. 一元二次方程根与系数关系
3. 一元二次方程判别式
【点评】
本题属于代数中档综合题，重点考察学生对隐含条件的挖掘能力，很多同学容易遗漏分式分母不为0、一元二次方程二次项系数不为0的隐藏限制，第二问需要对给定的陌生代数式做恒等变形，转化为韦达定理可代入的形式，再结合判别式推导结论，整体对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
