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1. 已知互不相等的实数 $a , b , c$ 满足 $a b+a^{2}=c^{2}, a b+b^{2}=c^{2}, a b ≠ 0 ,$ 则关于 $x$ 的一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$ 根的情况为（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定根的存在情况
C
）A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定根的存在情况
答案
记 $ab+a^{2}=c^{2}①,ab+b^{2}=c^{2}②.$ 由①$-$②,得 $a^{2}-b^{2}=0. \therefore (a+b)(a-b)=0. \because a,b$ 互不相等, $\therefore a+b=0. \therefore b=-a③.$ 把③代入①,得 $-a^{2}+a^{2}=c^{2}, \therefore c^{2}=0. \therefore c=0. \because ax^{2}+bx+c=0,ab≠0, \therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-a)^{2}-4a×0=a^{2}. \because ab≠0, \therefore a≠0. \therefore \Delta＞0. \therefore$ 原方程有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心思路是计算根的判别式Δ=b²-4ac的正负性，因此需要先从题目给出的已知等式和限定条件推导出a、b、c三者的关系：
1. 首先观察到两个已知等式的右侧都等于c²，将两式相减即可消去ab和c²项，得到a²-b²=0，用平方差公式因式分解得到(a+b)(a-b)=0；
2. 结合题目给出的a、b互不相等的条件，可知a-b≠0，因此只能得到a+b=0，即b=-a；
3. 将b=-a代回任意一个原等式，即可求出c=0；
4. 最后把b=-a、c=0代入判别式，结合ab≠0推出a≠0，即可判断Δ＞0，得到根的情况。
【解析】
解：将题中两个已知等式分别记为：
$ab+a^{2}=c^{2} \quad ①$
$ab+b^{2}=c^{2} \quad ②$
1. 用①式减去②式，可得：
$a^2 - b^2 = 0$
对左侧因式分解得：$(a+b)(a-b)=0$
2. 由题可知a、b是互不相等的实数，因此$a-b≠0$，可得$a+b=0$，即$b=-a$；
3. 将$b=-a$代入①式：
$a·(-a) + a^2 = c^2$，化简得$c^2=0$，即$c=0$；
4. 计算一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac$，将$b=-a$、$c=0$代入得：
$\Delta = (-a)^2 - 4a· 0 = a^2$
又已知$ab≠0$，因此$a≠0$，可得$a^2＞0$，即$\Delta＞0$，因此该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方差因式分解；等式的性质
【点评】
本题的核心突破口是对两个结构相似的已知等式作差快速推导a、b的关系，避免了复杂的代数变形，解题时要注意利用题目给出的“互不相等”“ab≠0”这类限定条件排除特殊情况，避免误判判别式的取值。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程根的情况，核心思路是计算根的判别式Δ=b²-4ac的正负性，因此需要先从题目给出的已知等式和限定条件推导出a、b、c三者的关系：
1. 首先观察到两个已知等式的右侧都等于c²，将两式相减即可消去ab和c²项，得到a²-b²=0，用平方差公式因式分解得到(a+b)(a-b)=0；
2. 结合题目给出的a、b互不相等的条件，可知a-b≠0，因此只能得到a+b=0，即b=-a；
3. 将b=-a代回任意一个原等式，即可求出c=0；
4. 最后把b=-a、c=0代入判别式，结合ab≠0推出a≠0，即可判断Δ＞0，得到根的情况。
【解析】
解：将题中两个已知等式分别记为：
$ab+a^{2}=c^{2} \quad ①$
$ab+b^{2}=c^{2} \quad ②$
1. 用①式减去②式，可得：
$a^2 - b^2 = 0$
对左侧因式分解得：$(a+b)(a-b)=0$
2. 由题可知a、b是互不相等的实数，因此$a-b≠0$，可得$a+b=0$，即$b=-a$；
3. 将$b=-a$代入①式：
$a·(-a) + a^2 = c^2$，化简得$c^2=0$，即$c=0$；
4. 计算一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac$，将$b=-a$、$c=0$代入得：
$\Delta = (-a)^2 - 4a· 0 = a^2$
又已知$ab≠0$，因此$a≠0$，可得$a^2＞0$，即$\Delta＞0$，因此该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；平方差因式分解；等式的性质
【点评】
本题的核心突破口是对两个结构相似的已知等式作差快速推导a、b的关系，避免了复杂的代数变形，解题时要注意利用题目给出的“互不相等”“ab≠0”这类限定条件排除特殊情况，避免误判判别式的取值。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+mx+2n=0$,其中 $m,n$ 是常数.
（1）若 $m=n+3$,试判断该一元二次方程根的情况.
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根,请写出一组 $m,n$ 的值,并求此时方程的根.
（1）若 $m=n+3$,试判断该一元二次方程根的情况.
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根,请写出一组 $m,n$ 的值,并求此时方程的根.
答案
（1）根据题意,得 $\Delta=m^{2}-4×2n=m^{2}-8n. \because m=n+3, \therefore \Delta=(n+3)^{2}-8n=n^{2}-2n+9=(n-1)^{2}+8＞0.$
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根.
（2）根据题意,得 $\Delta=m^{2}-8n=0, \therefore m^{2}=8n.$ 令 $n=0,$ 则 $m=0(m,n$ 的取值不唯一$)$,此时方程变形为 $x^{2}=0, \therefore x_{1}=x_{2}=0.$
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根.
（2）根据题意,得 $\Delta=m^{2}-8n=0, \therefore m^{2}=8n.$ 令 $n=0,$ 则 $m=0(m,n$ 的取值不唯一$)$,此时方程变形为 $x^{2}=0, \therefore x_{1}=x_{2}=0.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要判断一元二次方程根的情况，首先要明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$和0的大小关系决定，$\Delta＞0$对应两个不等实根，$\Delta=0$对应两个相等实根，$\Delta＜0$对应无实根。我们先写出本题对应的判别式，再把已知条件$m=n+3$代入判别式，将得到的关于n的代数式配方，利用平方的非负性判断$\Delta$恒大于0，就能得到根的情况。第二问已知方程有两个相等实根，说明$\Delta=0$，由此得到m和n满足的关系式，选取一组计算简便的符合条件的m、n值，代入原方程即可求出对应的根，取值不唯一。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2+mx+2n=0$，其判别式为：
$\Delta = m^2 - 4×1×2n = m^2 - 8n$
将$m = n+3$代入判别式得：
$\Delta = (n+3)^2 - 8n$
展开整理得：
$\Delta = n^2 +6n +9 -8n = n^2 -2n +9$
对代数式配方：
$\Delta = (n-1)^2 + 8$
由于任意实数的平方都非负，即$(n-1)^2 ≥ 0$，因此$\Delta=(n-1)^2 +8 ≥8 ＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
（2）因为方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$，即：
$m^2 -8n = 0$，也就是$m^2 = 8n$
取一组满足该式的简单数值，例如令$n=0$，则$m^2=0$，即$m=0$（m、n的取值不唯一）
将$m=0$，$n=0$代入原方程得：
$x^2 = 0$
解得$x_1=x_2=0$
【答案】
（1）该一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）示例：取$m=0,n=0$，此时方程的根为$x_1=x_2=0$（答案不唯一）
【知识点】
根的判别式，配方法，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常规题型，核心考察根的判别式和根的对应关系，第一问通过代入消元结合完全平方非负性判断判别式符号，第二问设置开放赋值的小问，降低计算门槛，帮助学生巩固判别式的应用逻辑，没有复杂变形，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，第一问要判断一元二次方程根的情况，首先要明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$和0的大小关系决定，$\Delta＞0$对应两个不等实根，$\Delta=0$对应两个相等实根，$\Delta＜0$对应无实根。我们先写出本题对应的判别式，再把已知条件$m=n+3$代入判别式，将得到的关于n的代数式配方，利用平方的非负性判断$\Delta$恒大于0，就能得到根的情况。第二问已知方程有两个相等实根，说明$\Delta=0$，由此得到m和n满足的关系式，选取一组计算简便的符合条件的m、n值，代入原方程即可求出对应的根，取值不唯一。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2+mx+2n=0$，其判别式为：
$\Delta = m^2 - 4×1×2n = m^2 - 8n$
将$m = n+3$代入判别式得：
$\Delta = (n+3)^2 - 8n$
展开整理得：
$\Delta = n^2 +6n +9 -8n = n^2 -2n +9$
对代数式配方：
$\Delta = (n-1)^2 + 8$
由于任意实数的平方都非负，即$(n-1)^2 ≥ 0$，因此$\Delta=(n-1)^2 +8 ≥8 ＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
（2）因为方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$，即：
$m^2 -8n = 0$，也就是$m^2 = 8n$
取一组满足该式的简单数值，例如令$n=0$，则$m^2=0$，即$m=0$（m、n的取值不唯一）
将$m=0$，$n=0$代入原方程得：
$x^2 = 0$
解得$x_1=x_2=0$
【答案】
（1）该一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）示例：取$m=0,n=0$，此时方程的根为$x_1=x_2=0$（答案不唯一）
【知识点】
根的判别式，配方法，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常规题型，核心考察根的判别式和根的对应关系，第一问通过代入消元结合完全平方非负性判断判别式符号，第二问设置开放赋值的小问，降低计算门槛，帮助学生巩固判别式的应用逻辑，没有复杂变形，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
3. [2024 宿迁中考]规定:对于任意实数 $a , b , c$ ,有 $[a,b] \bigstar c=ac+b$ ,其中等式右边是常规的乘法和加法运算,如 $[2,3] \bigstar 1=2 × 1+3=5$ . 若关于 $x$ 的方程 $[x,x+1] \bigstar (mx)=0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是（
A.$m＜\dfrac{1}{4}$
B.$m＞\dfrac{1}{4}$
C.$m＞\dfrac{1}{4}$ 且 $m ≠ 0$
D.$m＜\dfrac{1}{4}$ 且 $m ≠ 0$
D
）A.$m＜\dfrac{1}{4}$
B.$m＞\dfrac{1}{4}$
C.$m＞\dfrac{1}{4}$ 且 $m ≠ 0$
D.$m＜\dfrac{1}{4}$ 且 $m ≠ 0$
答案
根据题意,得 $x×mx+x+1=0,$ 整理,得 $mx^{2}+x+1=0. \because$ 关于 $x$ 的方程$[x,\ x+1] \bigstar (mx)=0$有两个不相等的实数根, $\therefore b^{2}-4ac=1^{2}-4m·1＞0$ 且 $m≠0.$ 解得 $m＜\dfrac{1}{4}$ 且 $m≠0.$
解析
【分析】
这是一道新定义结合一元二次方程根的性质的题型，解题思路非常清晰：第一步先读懂题目给出的自定义运算规则$[a,b] \bigstar c=ac+b$，把题目里对应的参数$a=x$、$b=x+1$、$c=mx$代入规则，将陌生的新运算方程转化为常规整式方程；第二步，题目明确说明方程有两个不相等的实数根，说明这个方程首先必须是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；第三步结合一元二次方程根的判别式大于0的条件，列出不等式求解，就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
1. 代入新运算规则：
根据规定$[a,b] \bigstar c=ac+b$，将$a=x$，$b=x+1$，$c=mx$代入，原方程可转化为：
$x· mx + (x+1) = 0$
2. 整理整式方程：
化简后得到标准形式：$mx^2 + x + 1 = 0$
3. 根据根的性质列不等式：
因为方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，同时判别式大于0：
① 一元二次方程二次项系数不为0，即$m≠0$；
② 由根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，代入参数得$1^2 - 4× m ×1 ＞ 0$，解得$m＜\frac{1}{4}$
4. 综合两个条件，得到m的取值范围是$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，一元二次方程定义，根的判别式
【点评】
本题以新定义运算为载体考察一元二次方程根的判别式的应用，最容易出错的点是很多同学只记得“两个不相等实数根对应判别式大于0”，忽略了“只有一元二次方程才存在两个实数根”的隐含前提，漏掉二次项系数$m≠0$的限制错选A，解题时要注意审题，明确有两个不等实根的方程首先必须是一元二次方程。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义结合一元二次方程根的性质的题型，解题思路非常清晰：第一步先读懂题目给出的自定义运算规则$[a,b] \bigstar c=ac+b$，把题目里对应的参数$a=x$、$b=x+1$、$c=mx$代入规则，将陌生的新运算方程转化为常规整式方程；第二步，题目明确说明方程有两个不相等的实数根，说明这个方程首先必须是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；第三步结合一元二次方程根的判别式大于0的条件，列出不等式求解，就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
1. 代入新运算规则：
根据规定$[a,b] \bigstar c=ac+b$，将$a=x$，$b=x+1$，$c=mx$代入，原方程可转化为：
$x· mx + (x+1) = 0$
2. 整理整式方程：
化简后得到标准形式：$mx^2 + x + 1 = 0$
3. 根据根的性质列不等式：
因为方程有两个不相等的实数根，说明该方程是一元二次方程，同时判别式大于0：
① 一元二次方程二次项系数不为0，即$m≠0$；
② 由根的判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，代入参数得$1^2 - 4× m ×1 ＞ 0$，解得$m＜\frac{1}{4}$
4. 综合两个条件，得到m的取值范围是$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，一元二次方程定义，根的判别式
【点评】
本题以新定义运算为载体考察一元二次方程根的判别式的应用，最容易出错的点是很多同学只记得“两个不相等实数根对应判别式大于0”，忽略了“只有一元二次方程才存在两个实数根”的隐含前提，漏掉二次项系数$m≠0$的限制错选A，解题时要注意审题，明确有两个不等实根的方程首先必须是一元二次方程。
【难度系数】
0.6
4. 易错题 若方程$x^{2}+3x+1=0$的两个根为$α,β$，则$\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}$的值为
3
.答案
$\because$ 方程 $x^{2}+3x+1=0$ 的两个根为 $α,β, \therefore α+β=-3,αβ=1. \therefore (α+β)^{2}=9,$ 即 $α^{2}+2αβ+β^{2}=9.$
$\therefore \dfrac{α^{2}+2αβ+β^{2}}{αβ}=9,$即$\dfrac{α}{β}+2+\dfrac{β}{α}=9. \because αβ＞0, \therefore \dfrac{α}{β}＞0,\dfrac{β}{α}＞0. \therefore (\sqrt{\dfrac{α}{β}})^{2}+2\sqrt{\dfrac{α}{β}}·\sqrt{\dfrac{β}{α}}+(\sqrt{\dfrac{β}{α}})^{2}=9.$
$\therefore (\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}})^{2}=9. \therefore \sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}=3.$
$\therefore \dfrac{α^{2}+2αβ+β^{2}}{αβ}=9,$即$\dfrac{α}{β}+2+\dfrac{β}{α}=9. \because αβ＞0, \therefore \dfrac{α}{β}＞0,\dfrac{β}{α}＞0. \therefore (\sqrt{\dfrac{α}{β}})^{2}+2\sqrt{\dfrac{α}{β}}·\sqrt{\dfrac{β}{α}}+(\sqrt{\dfrac{β}{α}})^{2}=9.$
$\therefore (\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}})^{2}=9. \therefore \sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}=3.$
解析
【分析】
这是一道结合一元二次方程根的性质和二次根式运算的易错题，解题思路可以按三步推进：第一步，先利用韦达定理，直接从已知方程得到两根之和α+β、两根之积αβ的数值；第二步，先判断两根的符号：由αβ=1＞0可知α和β同号，再结合α+β=-3＜0，就能确定α、β都是负数，由此可得根号下的α/β、β/α都是正数，所求的两个算术平方根相加的结果必然为正；第三步，利用完全平方公式把要求的式子整体平方，展开后就可以代入已经得到的α+β和αβ的数值计算，最后对平方结果开方时只取正的算术平方根，就能避免符号错误得到正确答案。
【解析】
解：
∵ 方程$x^{2}+3x+1=0$的两个根为$α,β$，
∴ 由韦达定理可得：$α+β=-3$，$αβ=1$。
∵ $αβ=1＞0$，说明α、β同号，又$α+β=-3＜0$，因此$α＜0$，$β＜0$，
∴ $\dfrac{α}{β}＞0$，$\dfrac{β}{α}＞0$，可得$\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}＞0$。
对所求式子整体平方：
$(\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}})^2 = (\sqrt{\dfrac{α}{β}})^2 + 2·\sqrt{\dfrac{α}{β}}·\sqrt{\dfrac{β}{α}} + (\sqrt{\dfrac{β}{α}})^2$
$=\dfrac{α}{β} + 2 + \dfrac{β}{α}$
$=\dfrac{α^2 + 2αβ + β^2}{αβ}$
$=\dfrac{(α+β)^2}{αβ}$
将$α+β=-3$，$αβ=1$代入上式：
$(\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}})^2=\dfrac{(-3)^2}{1}=9$
结合$\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}＞0$，可得$\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}=3$。
【答案】
3
【知识点】
韦达定理、二次根式非负性、完全平方公式
【点评】
本题是非常典型的易错题，最常见的错误是忽略α、β均为负数的隐含条件，直接拆分根号后代入α+β=-3得到错误结果-3，违背了算术平方根的非负性规则。解题时要注意先判断目标代数式的符号，用整体平方的技巧简化运算，避免直接对负数做无意义的开根号操作。
【难度系数】
0.3
这是一道结合一元二次方程根的性质和二次根式运算的易错题，解题思路可以按三步推进：第一步，先利用韦达定理，直接从已知方程得到两根之和α+β、两根之积αβ的数值；第二步，先判断两根的符号：由αβ=1＞0可知α和β同号，再结合α+β=-3＜0，就能确定α、β都是负数，由此可得根号下的α/β、β/α都是正数，所求的两个算术平方根相加的结果必然为正；第三步，利用完全平方公式把要求的式子整体平方，展开后就可以代入已经得到的α+β和αβ的数值计算，最后对平方结果开方时只取正的算术平方根，就能避免符号错误得到正确答案。
【解析】
解：
∵ 方程$x^{2}+3x+1=0$的两个根为$α,β$，
∴ 由韦达定理可得：$α+β=-3$，$αβ=1$。
∵ $αβ=1＞0$，说明α、β同号，又$α+β=-3＜0$，因此$α＜0$，$β＜0$，
∴ $\dfrac{α}{β}＞0$，$\dfrac{β}{α}＞0$，可得$\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}＞0$。
对所求式子整体平方：
$(\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}})^2 = (\sqrt{\dfrac{α}{β}})^2 + 2·\sqrt{\dfrac{α}{β}}·\sqrt{\dfrac{β}{α}} + (\sqrt{\dfrac{β}{α}})^2$
$=\dfrac{α}{β} + 2 + \dfrac{β}{α}$
$=\dfrac{α^2 + 2αβ + β^2}{αβ}$
$=\dfrac{(α+β)^2}{αβ}$
将$α+β=-3$，$αβ=1$代入上式：
$(\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}})^2=\dfrac{(-3)^2}{1}=9$
结合$\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}＞0$，可得$\sqrt{\dfrac{α}{β}}+\sqrt{\dfrac{β}{α}}=3$。
【答案】
3
【知识点】
韦达定理、二次根式非负性、完全平方公式
【点评】
本题是非常典型的易错题，最常见的错误是忽略α、β均为负数的隐含条件，直接拆分根号后代入α+β=-3得到错误结果-3，违背了算术平方根的非负性规则。解题时要注意先判断目标代数式的符号，用整体平方的技巧简化运算，避免直接对负数做无意义的开根号操作。
【难度系数】
0.3
5. 在关于 $x$ 的一元二次方程 $a(1-x^2)-2\sqrt{2}bx+c(1+x^2)=0$ 中, $a,b,c$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的三边长,其中 $c$ 为斜边长.
(1) 求证:此方程有两个不相等的实数根.
(2) 若方程的两个根是 $x_1,x_2$,且 $x_1^2+x_2^2=12$,求 $a:b:c$.
(1) 求证:此方程有两个不相等的实数根.
(2) 若方程的两个根是 $x_1,x_2$,且 $x_1^2+x_2^2=12$,求 $a:b:c$.
答案
(1) 证明：将方程整理为一般形式为$(c-a)x^{2}-2\sqrt{2}bx+a+c=0, \therefore \Delta=(-2\sqrt{2}b)^{2}-4(a+c)(c-a)=4(2b^{2}+a^{2}-c^{2}). \because a,b,c$ 是$\mathrm{Rt}△ ABC$ 的三边长,其中 $c$ 为斜边长, $\therefore b^{2}+a^{2}-c^{2}=0. \therefore 2b^{2}+a^{2}-c^{2}＞0. \therefore 4(2b^{2}+a^{2}-c^{2})＞0. \therefore$ 此方程有两个不相等的实数根.
(2) $\because$ 方程的两个根是 $x_1,x_2, \therefore x_1+x_2=\dfrac{2\sqrt{2}b}{c-a},x_1x_2=\dfrac{a+c}{c-a}. \because x_1^2+x_2^2=12, \therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12,$ 即 $\dfrac{8b^{2}}{(c-a)^{2}}-\dfrac{2a+2c}{c-a}=12. \because$ 易得 $b^{2}=c^{2}-a^{2}, \therefore \dfrac{8(c^{2}-a^{2})}{(c-a)^{2}}-\dfrac{2a+2c}{c-a}=12. \therefore \dfrac{8(c+a)}{c-a}-\dfrac{2a+2c}{c-a}=12. \therefore \dfrac{6(c+a)}{c-a}=12. \therefore c+a=2c-2a. \therefore 3a=c. \therefore b^{2}=8a^{2}. \therefore b=2\sqrt{2}a. \therefore a:b:c=1:2\sqrt{2}:3.$
(2) $\because$ 方程的两个根是 $x_1,x_2, \therefore x_1+x_2=\dfrac{2\sqrt{2}b}{c-a},x_1x_2=\dfrac{a+c}{c-a}. \because x_1^2+x_2^2=12, \therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12,$ 即 $\dfrac{8b^{2}}{(c-a)^{2}}-\dfrac{2a+2c}{c-a}=12. \because$ 易得 $b^{2}=c^{2}-a^{2}, \therefore \dfrac{8(c^{2}-a^{2})}{(c-a)^{2}}-\dfrac{2a+2c}{c-a}=12. \therefore \dfrac{8(c+a)}{c-a}-\dfrac{2a+2c}{c-a}=12. \therefore \dfrac{6(c+a)}{c-a}=12. \therefore c+a=2c-2a. \therefore 3a=c. \therefore b^{2}=8a^{2}. \therefore b=2\sqrt{2}a. \therefore a:b:c=1:2\sqrt{2}:3.$
解析
【分析】
这是一道一元二次方程和直角三角形性质结合的综合题，解题思路可以分两小问逐步梳理：
1. 第(1)问要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，首先需要先把给定的原方程整理成一元二次方程的标准一般形式$Ax^2+Bx+C=0$，接下来只需要计算根的判别式$\Delta=B^2-4AC$，证明$\Delta＞0$即可。题目给出a、b、c是$Rt△ ABC$的三边且c为斜边，直接可以用勾股定理得到$a^2+b^2=c^2$，把这个关系代入判别式的表达式，就能推导出$\Delta$恒大于0，完成证明。
2. 第(2)问已知两根的平方和，首先回忆根与系数的关系（韦达定理），把$x_1^2+x_2^2$变形为完全平方形式：$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再把从一般式得到的两根之和、两根之积代入这个等式，之后再利用勾股定理把$b^2$替换成$c^2-a^2$，对分式进行约分化简，就能得到a和c的数量关系，再反推b和a的关系，最后就能求出三边的比值。
【解析】
(1) 证明：
先将原方程去括号、移项整理为一元二次方程的一般形式：
$a - ax^2 - 2\sqrt{2}bx + c + cx^2 = 0$
合并同类项得：
$(c-a)x^2 - 2\sqrt{2}bx + (a + c) = 0$
计算该方程的根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2\sqrt{2}b)^2 - 4· (c-a)· (a+c) \\&= 8b^2 - 4(c^2 - a^2) \\&= 4(2b^2 + a^2 - c^2)\end{aligned}$
因为a、b、c是$Rt△ ABC$的三边长，c为斜边，由勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2 \implies a^2 + b^2 - c^2 = 0$
将其代入判别式得：
$2b^2 + a^2 - c^2 = b^2 + (a^2 + b^2 - c^2) = b^2 ＞ 0$
因此$\Delta = 4b^2 ＞ 0$，故该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}b}{c-a}, \quad x_1x_2 = \frac{a + c}{c - a}$
已知$x_1^2 + x_2^2 = 12$，将其变形为：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 12$
把两根和、两根积代入上式：
$(\frac{2\sqrt{2}b}{c-a})^2 - 2· \frac{a + c}{c - a} = 12$
化简得：
$\frac{8b^2}{(c-a)^2} - \frac{2(a + c)}{c - a} = 12$
再由勾股定理得$b^2 = c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)$，代入上式后约分化简：
$\frac{8(c-a)(c+a)}{(c-a)^2} - \frac{2(a + c)}{c - a} = 12$
$\frac{8(c+a)}{c-a} - \frac{2(c+a)}{c-a} = 12$
$\frac{6(c+a)}{c-a} = 12$
两边同除以6，整理得：
$c + a = 2(c - a) \implies c + a = 2c - 2a \implies c = 3a$
将$c=3a$代入$b^2 = c^2 - a^2$，得：
$b^2 = 9a^2 - a^2 = 8a^2$
因为b是三角形边长为正数，故$b = 2\sqrt{2}a$，因此三边比：
$a:b:c = a:2\sqrt{2}a:3a = 1:2\sqrt{2}:3$
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$
【知识点】
一元二次方程判别式，韦达定理，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程与直角三角形性质的综合应用题，考点衔接自然，第一问需要先将原方程整理为标准一般式，避免搞错二次项系数和判别式的计算项，利用直角三角形的勾股定理快速化简判别式即可得证；第二问需要熟练掌握两根平方和的恒等变形，通过韦达定理将已知条件转化为关于a、b、c的等式，再结合勾股定理消元，最终得到三边的比例关系，解题时要注意三角形边长为正，开方时取正值。
【难度系数】
0.4
这是一道一元二次方程和直角三角形性质结合的综合题，解题思路可以分两小问逐步梳理：
1. 第(1)问要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，首先需要先把给定的原方程整理成一元二次方程的标准一般形式$Ax^2+Bx+C=0$，接下来只需要计算根的判别式$\Delta=B^2-4AC$，证明$\Delta＞0$即可。题目给出a、b、c是$Rt△ ABC$的三边且c为斜边，直接可以用勾股定理得到$a^2+b^2=c^2$，把这个关系代入判别式的表达式，就能推导出$\Delta$恒大于0，完成证明。
2. 第(2)问已知两根的平方和，首先回忆根与系数的关系（韦达定理），把$x_1^2+x_2^2$变形为完全平方形式：$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，再把从一般式得到的两根之和、两根之积代入这个等式，之后再利用勾股定理把$b^2$替换成$c^2-a^2$，对分式进行约分化简，就能得到a和c的数量关系，再反推b和a的关系，最后就能求出三边的比值。
【解析】
(1) 证明：
先将原方程去括号、移项整理为一元二次方程的一般形式：
$a - ax^2 - 2\sqrt{2}bx + c + cx^2 = 0$
合并同类项得：
$(c-a)x^2 - 2\sqrt{2}bx + (a + c) = 0$
计算该方程的根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= (-2\sqrt{2}b)^2 - 4· (c-a)· (a+c) \\&= 8b^2 - 4(c^2 - a^2) \\&= 4(2b^2 + a^2 - c^2)\end{aligned}$
因为a、b、c是$Rt△ ABC$的三边长，c为斜边，由勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2 \implies a^2 + b^2 - c^2 = 0$
将其代入判别式得：
$2b^2 + a^2 - c^2 = b^2 + (a^2 + b^2 - c^2) = b^2 ＞ 0$
因此$\Delta = 4b^2 ＞ 0$，故该方程有两个不相等的实数根。
(2) 解：
由韦达定理，方程的两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{2}b}{c-a}, \quad x_1x_2 = \frac{a + c}{c - a}$
已知$x_1^2 + x_2^2 = 12$，将其变形为：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 12$
把两根和、两根积代入上式：
$(\frac{2\sqrt{2}b}{c-a})^2 - 2· \frac{a + c}{c - a} = 12$
化简得：
$\frac{8b^2}{(c-a)^2} - \frac{2(a + c)}{c - a} = 12$
再由勾股定理得$b^2 = c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)$，代入上式后约分化简：
$\frac{8(c-a)(c+a)}{(c-a)^2} - \frac{2(a + c)}{c - a} = 12$
$\frac{8(c+a)}{c-a} - \frac{2(c+a)}{c-a} = 12$
$\frac{6(c+a)}{c-a} = 12$
两边同除以6，整理得：
$c + a = 2(c - a) \implies c + a = 2c - 2a \implies c = 3a$
将$c=3a$代入$b^2 = c^2 - a^2$，得：
$b^2 = 9a^2 - a^2 = 8a^2$
因为b是三角形边长为正数，故$b = 2\sqrt{2}a$，因此三边比：
$a:b:c = a:2\sqrt{2}a:3a = 1:2\sqrt{2}:3$
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $a:b:c=1:2\sqrt{2}:3$
【知识点】
一元二次方程判别式，韦达定理，勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程与直角三角形性质的综合应用题，考点衔接自然，第一问需要先将原方程整理为标准一般式，避免搞错二次项系数和判别式的计算项，利用直角三角形的勾股定理快速化简判别式即可得证；第二问需要熟练掌握两根平方和的恒等变形，通过韦达定理将已知条件转化为关于a、b、c的等式，再结合勾股定理消元，最终得到三边的比例关系，解题时要注意三角形边长为正，开方时取正值。
【难度系数】
0.4
