1. 解方程：
（1）$3x^{2}-108=0.$
（2）$x-2x^{2}=(x-3)(x+4).$

（1）由原方程,得$x^{2}=36$,解得$x_1=6$,$x_2=-6$.
（2）整理,得$x^{2}=4$,解得$x_1=2$,$x_2=-2$.

【分析】
这两道都是一元二次方程求解的基础题，解题思路如下：
1. 第（1）题没有一次项，属于可直接开平方的类型，先把常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，得到$x^2$等于非负常数的形式，直接对两边开平方即可得到两个互为相反数的解，注意不要遗漏负根。
2. 第（2）题左右两边都是整式，先把右侧的多项式乘开，再将所有项移到等号左侧合并同类项，化简后同样得到$x^2$等于常数的形式，用直接开平方法就能求解。
【解析】
（1）解方程$3x^{2}-108=0$
移项得：$3x^2 = 108$
二次项系数化为1，两边同时除以3得：$x^2 = 36$
对等式两边直接开平方得：$x = \pm6$
因此该方程的解为$x_1=6$，$x_2=-6$。
（2）解方程$x-2x^{2}=(x-3)(x+4)$
先展开等号右侧的多项式乘积：$(x-3)(x+4)=x^2 +4x -3x -12 = x^2 +x -12$，原方程变为：
$x - 2x^2 = x^2 + x -12$
移项，将所有项移到等号左侧得：$x -2x^2 -x^2 -x +12 = 0$
合并同类项化简得：$-3x^2 +12 = 0$，进一步整理得$x^2 = 4$
对等式两边直接开平方得：$x = \pm2$
因此该方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】
（1）$x_1=6$，$x_2=-6$；（2）$x_1=2$，$x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法，多项式乘法，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础习题，两道题经过简单变形后都可以用直接开平方法快速求解，无需使用求根公式或因式分解法，解题核心是先对方程做合理化简，开平方时要注意正数的平方根有两个、互为相反数，不要漏写负根，这是这类题最容易出错的地方。
【难度系数】
0.8

2. 解方程：
(1) $x^{2}+6x-8091=0$.
(2) $\sqrt{2}x^{2}+3x=2\sqrt{2}$.

（1）由原方程,得$x^{2}+6x=8091$.$\therefore x^{2}+6x+3^{2}=8091+3^{2}$,即$(x+3)^{2}=8100$.$\therefore x+3=90$或$x+3=-90$,解得$x_1=87$,$x_2=-93$.
（2）原方程可变形为$\sqrt{2}x^{2}+3x-2\sqrt{2}=0$.$\because a=\sqrt{2}$,$b=3$,$c=-2\sqrt{2}$,$\therefore b^{2}-4ac=3^{2}-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=25＞0$.$\therefore x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\sqrt{2}}$.$\therefore x_1=\frac{-3+5}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$x_2=\frac{-3-5}{2\sqrt{2}}=-2\sqrt{2}$.

【分析】
我们可以根据两个方程的不同特征选择最简便的解法：
1. 第(1)题的一次项系数是偶数，且常数项数值很大，直接因式分解难度高，因此优先选用配方法：先把常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，右侧计算后刚好是整十数的平方，直接开平方就能快速得到根，避免复杂运算。
2. 第(2)题的二次项系数带有无理数，先把方程整理为一元二次方程的标准一般形式，选用公式法求解最稳妥：先确定a、b、c的取值，计算判别式验证根的情况，代入求根公式后对结果做分母有理化化简即可得到最终根。
【解析】
(1) 对$x^{2}+6x-8091=0$移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 6x = 8091$
两边同时加上一次项系数一半的平方$3^2=9$完成配方：
$x^2 + 6x + 9 = 8091 + 9$
整理得完全平方式：
$(x+3)^2 = 8100$
对等式两边直接开平方：
$x+3 = \pm90$
分别求解两个一次方程：
当$x+3=90$时，解得$x_1=87$；
当$x+3=-90$时，解得$x_2=-93$。
(2) 先将$\sqrt{2}x^{2}+3x=2\sqrt{2}$整理为一元二次方程的一般形式：
$\sqrt{2}x^2 + 3x - 2\sqrt{2} = 0$
确定各项系数：$a=\sqrt{2}$，$b=3$，$c=-2\sqrt{2}$
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2}) = 9 + 16 = 25 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x = \frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\sqrt{2}} = \frac{-3\pm5}{2\sqrt{2}}$
分别计算两个根并做分母有理化：
$x_1 = \frac{-3+5}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x_2 = \frac{-3-5}{2\sqrt{2}} = \frac{-8}{2\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$
【答案】
(1) $x_1=87$，$x_2=-93$；(2) $x_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2=-2\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，二次根式化简
【点评】
本题考察一元二次方程解法的灵活选择，第一题利用配方法规避了大常数项因式分解的复杂操作，大幅简化运算；第二题对含无理系数的方程选用公式法求解稳定性高，不容易出错，解题最后要注意对含根号的结果做分母有理化，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.7

3. 解方程：
(1) $(x-4)^2=4x(4-x)$.
(2) $2(4-x)^2=x^2-16$.

（1）原方程可变形为$(x-4)^{2}-4x(4-x)=0$,得$(x-4)(x-4+4x)=0$,即$(x-4)(5x-4)=0$,$\therefore x_1=4$,$x_2=\frac{4}{5}$.
（2）$\because 2(4-x)^{2}=x^{2}-16$,$\therefore 2(x-4)^{2}-(x+4)(x-4)=0$.分解因式,得$(x-4)(x-12)=0$.$\therefore x-4=0$或$x-12=0$,解得$x_1=4$,$x_2=12$.

【分析】
这是两道一元二次方程，观察方程结构能发现两侧存在关联的公因式项，优先选择因式分解法求解，既可以避免直接展开整理成一般式带来的繁琐运算，也能规避直接两边除以含未知数的代数式导致丢根的问题。具体思考步骤：第一步先移项，把方程右侧所有项移到左侧，让方程右侧等于0；第二步对左侧的多项式提取公因式，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式；第三步根据“两数乘积为0则至少其中一个数为0”的性质，拆分得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的全部根。
【解析】
(1) 移项，将右侧项全部移到方程左侧，得：
$(x-4)^2 - 4x(4-x) = 0$
利用$4-x=-(x-4)$，对左侧提取公因式$(x-4)$，得：
$(x-4)[(x-4) + 4x] = 0$
整理括号内的项，化简得：
$(x-4)(5x - 4) = 0$
因此拆分得到两个一元一次方程：
$x-4=0$ 或 $5x-4=0$
分别求解得：$x_1=4$，$x_2=\frac{4}{5}$。
(2) 先对右侧的多项式用平方差公式因式分解，$x^2-16=(x+4)(x-4)$，同时利用$(4-x)^2=(x-4)^2$，移项得：
$2(x-4)^2 - (x+4)(x-4) = 0$
提取公因式$(x-4)$，得：
$(x-4)[2(x-4) - (x+4)] = 0$
展开并整理括号内的项：
$(x-4)(2x - 8 -x -4) = 0$
化简得：
$(x-4)(x-12) = 0$
拆分得到两个一元一次方程：
$x-4=0$ 或 $x-12=0$
分别求解得：$x_1=4$，$x_2=12$。
【答案】
(1) $x_1=4$，$x_2=\frac{4}{5}$；(2) $x_1=4$，$x_2=12$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式，提取公因式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础计算题，重点考察学生对因式分解法解方程的掌握程度，核心注意点是不能直接将方程两侧同时除以含有未知数的公因式，否则会直接丢失一个根，通过观察结构优先提取公因式的做法，比展开整理为一般式计算要简便很多，能大幅降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7

4. 阅读材料：
已知实数 $m , n$ 满足 $(2m^2+n^2+1)(2m^2+n^2-1)=80$, 试求 $2m^2+n^2$ 的值.
解: 设 $2m^2+n^2=t$, 则原方程变为 $(t+1)(t-1)=80$. 整理, 得 $t^2-1=80.\therefore t^2=81.\therefore t=\pm9$.
$\because 2m^2+n^2≥0,\therefore 2m^2+n^2=9$.
上面这种方法称为“换元法”, 在结构较复杂的数和式的运算中, 若把其中某些部分看成一个整体, 并用新字母代替(即换元), 则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容, 解决下列问题, 并写出解答过程.
(1) 若 $a , b$ 满足等式 $(a^2+b^2)(2a^2+2b^2-1)=3$, 求 $3a^2+3b^2-1$ 的值.
(2) $x^2-2x-4|x-1|+5=0$.

（1）设$a^{2}+b^{2}=m$,则原方程变为$m(2m-1)=3$.整理,得$2m^{2}-m-3=0$,解得$m=\frac{3}{2}$或$m=-1$.$\because a^{2}+b^{2}≥0$,$\therefore a^{2}+b^{2}=\frac{3}{2}$.$\therefore 3a^{2}+3b^{2}-1=3×\frac{3}{2}-1=\frac{7}{2}$.
（2）原方程可化为$|x-1|^{2}-4|x-1|+4=0$.设$|x-1|=y$,则$y^{2}-4y+4=0$,解得$y_1=y_2=2$,即$|x-1|=2$,$\therefore x=-1$或$x=3$.$\therefore$ 原方程的解是$x_1=-1$,$x_2=3$.

【分析】
这道题是材料引导型的换元法应用题，解题思路如下：
1. 对于第(1)问，观察到式子中多次出现$a^2+b^2$这个整体，我们可以直接将它设为新变量$m$，把原本含多个字母的复杂方程转化为只含$m$的一元二次方程，解出$m$的值后，根据平方和的非负性舍去不符合实际的负根，最后代入要求的代数式计算结果即可。
2. 对于第(2)问，先对原式的$x^2-2x$进行配方变形，得到$(x-1)^2$，利用平方和绝对值的关系$(x-1)^2=|x-1|^2$，把原方程转化为只含$|x-1|$的二次式，再用换元法设$y=|x-1|$，将方程简化为普通的一元二次方程求解，得到$y$的取值后再去绝对值计算$x$的最终结果，全程避免处理带绝对值的复杂展开，大幅降低运算难度。
【解析】
(1) 设$a^2+b^2=m$，由平方的非负性可知$m≥0$，
将其代入原等式得：$m(2m-1)=3$，
整理得一元二次方程：$2m^2 - m - 3 = 0$，
因式分解得：$(2m-3)(m+1)=0$，
解得$m_1=\frac{3}{2}$，$m_2=-1$，
因为$m≥0$，所以$m=-1$不符合要求，舍去，即$a^2+b^2=\frac{3}{2}$，
代入所求代数式：
$3a^2+3b^2-1=3(a^2+b^2)-1=3×\frac{3}{2}-1=\frac{9}{2}-1=\frac{7}{2}$。
(2) 先对原方程变形：
原方程$x^2-2x-4|x-1|+5=0$，
对$x^2-2x$配方得$x^2-2x=(x-1)^2 -1$，代入方程得：
$(x-1)^2 -1 -4|x-1| +5=0$，
整理得：$(x-1)^2 -4|x-1| +4=0$，
由于$(x-1)^2=|x-1|^2$，因此方程可写为：
$|x-1|^2 -4|x-1| +4=0$，
设$|x-1|=y$，由绝对值的非负性可知$y≥0$，代入得：
$y^2 -4y +4=0$，即$(y-2)^2=0$，
解得$y_1=y_2=2$，即$|x-1|=2$，
去绝对值得$x-1=2$或$x-1=-2$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $\frac{7}{2}$；(2) $x_1=-1$，$x_2=3$
【知识点】
换元法解一元二次方程，绝对值方程求解，非负数的性质
【点评】
本题属于新定义材料迁移类题型，重点考察学生对换元法整体代换思想的理解与应用，两道小题分别从直接换元、配方后换元两个梯度设置考点，同时提醒学生换元后需要注意新变量的隐含取值范围（平方和、绝对值均非负），避免产生增根，能有效锻炼学生化繁为简的代数运算思维。
【难度系数】
0.6