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8. 在平面直角坐标系中,若直线 $y=2x+a$ 不经过第二象限,则关于 $x$ 的方程 $ax^2+2x+1=0$ 的实数根的个数为（
A.0
B.0或1
C.2
D.1或2
D
）A.0
B.0或1
C.2
D.1或2
答案
D $\because$ 直线 $y=2x+a$ 不经过第二象限,$\therefore a≤0$. 当 $a＜0$ 时,$\because 2^2-4a=4-4a＞0,\therefore$ 方程有两个不相等的实数根. 当 $a=0$ 时,原方程可化为 $2x+1=0,\therefore$ 实数根的个数为1. 综上所述,关于 $x$ 的方程 $ax^2+2x+1=0$ 的实数根的个数为1或2.
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步先根据一次函数的图像特征确定参数a的取值范围，已知直线y=2x+a的斜率为2＞0，要让直线不经过第二象限，需要直线与y轴的交点不在y轴正半轴，也就是截距a≤0，这里要注意不能漏掉a=0时直线过原点的特殊情况；第二步对a的取值分类讨论：当a=0时，原方程ax²+2x+1=0退化为一元一次方程，直接求解判断根的个数；当a＜0时，方程是一元二次方程，通过计算根的判别式的正负判断实根的数量，最后汇总两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
解：
1. 确定参数a的取值范围
已知直线$y=2x+a$的斜率$k=2＞0$，若该直线不经过第二象限，说明直线与y轴的交点纵坐标≤0，可得$a≤0$。
2. 分情况讨论方程的实根个数
① 当$a=0$时，原方程$ax^2+2x+1=0$变为一元一次方程：$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，此时方程有1个实数根；
② 当$a＜0$时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式$\Delta=2^2-4× a×1=4-4a$，
因为$a＜0$，所以$-4a＞0$，因此$\Delta=4-4a＞4＞0$，此时该一元二次方程有2个不相等的实数根。
综合两种情况，方程$ax^2+2x+1=0$的实数根的个数为1或2。
【答案】D
【知识点】
一次函数图像性质，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点有两处：一是容易忽略a=0时直线y=2x也不经过第二象限，误得到a＜0的错误范围；二是容易直接把$ax^2+2x+1=0$当成一元二次方程，忽略a=0时方程退化为一元一次方程的情况，导致错选C。题目通过参数a的关联考察了一次函数性质和一元方程根的判定，渗透了分类讨论的核心数学思想，对学生思维的全面性有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路分两步走：第一步先根据一次函数的图像特征确定参数a的取值范围，已知直线y=2x+a的斜率为2＞0，要让直线不经过第二象限，需要直线与y轴的交点不在y轴正半轴，也就是截距a≤0，这里要注意不能漏掉a=0时直线过原点的特殊情况；第二步对a的取值分类讨论：当a=0时，原方程ax²+2x+1=0退化为一元一次方程，直接求解判断根的个数；当a＜0时，方程是一元二次方程，通过计算根的判别式的正负判断实根的数量，最后汇总两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
解：
1. 确定参数a的取值范围
已知直线$y=2x+a$的斜率$k=2＞0$，若该直线不经过第二象限，说明直线与y轴的交点纵坐标≤0，可得$a≤0$。
2. 分情况讨论方程的实根个数
① 当$a=0$时，原方程$ax^2+2x+1=0$变为一元一次方程：$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，此时方程有1个实数根；
② 当$a＜0$时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式$\Delta=2^2-4× a×1=4-4a$，
因为$a＜0$，所以$-4a＞0$，因此$\Delta=4-4a＞4＞0$，此时该一元二次方程有2个不相等的实数根。
综合两种情况，方程$ax^2+2x+1=0$的实数根的个数为1或2。
【答案】D
【知识点】
一次函数图像性质，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点有两处：一是容易忽略a=0时直线y=2x也不经过第二象限，误得到a＜0的错误范围；二是容易直接把$ax^2+2x+1=0$当成一元二次方程，忽略a=0时方程退化为一元一次方程的情况，导致错选C。题目通过参数a的关联考察了一次函数性质和一元方程根的判定，渗透了分类讨论的核心数学思想，对学生思维的全面性有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 易错题 对于两个不相等的实数 $a , b$ , 我们规定 $\max\{ a , b \}$ 表示 $a , b$ 中的较大值, 如: $\max\{ 2 , 5 \} = 5$, 则 $\max\{ 1 , x \} = x^{2} - 3$ 的解为
$x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $x=-2$
.答案
$x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $x=-2$ 当 $x＞1$ 时,$x^2-3=x$,解得 $x_1=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\dfrac{1-\sqrt{13}}{2}$(舍去). 当 $x＜1$ 时,$x^2-3=1$,解得 $x_1=2$(舍去),$x_2=-2.\therefore \max\{1,x\}=x^2-3$ 的解是 $x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $x=-2$.
解析
【分析】
首先要明确题目给出的新定义：max{a,b}表示两个数中的较大值，因此max{1,x}的取值需要根据1和x的大小关系分两种情况讨论：第一种情况是x＞1时，较大值是x，此时原方程转化为x = x² - 3；第二种情况是x＜1时，较大值是1，此时原方程转化为1 = x² - 3。解完对应方程后，必须将解带回对应的分类前提验证，舍去不符合该情况范围的增根，最终得到所有符合条件的解即可。
【解析】
根据新定义的运算规则，分两类讨论求解：
1. 当x ＞ 1时，max{1,x} = x，原方程可化为：
$x = x^2 - 3$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2 - x - 3 = 0$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中a=1，b=-1，c=-3，判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(-3)=13$，解得：
$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
由于该情况的前提是x＞1，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}＜1$，不符合条件，舍去，保留$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$。
2. 当x ＜ 1时，max{1,x} = 1，原方程可化为：
$1 = x^2 - 3$
整理得$x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$
由于该情况的前提是x＜1，$x_1=2＞1$，不符合条件，舍去，保留$x=-2$。
题目明确说明两个实数a、b不相等，因此无需考虑x=1的情况，最终得到两个符合条件的解。
【答案】
$x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $x=-2$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类易错题，易错点在于很多同学直接忽略max运算的大小比较逻辑，不分情况直接列方程求解，或是解完方程后忘记结合分类的前提条件舍去不符合范围的增根，导致漏解或者得到错误的解。解题时要先吃透新定义的规则，遇到需要比较大小的场景主动分类，最后务必验证解的合理性。
【难度系数】
0.4
首先要明确题目给出的新定义：max{a,b}表示两个数中的较大值，因此max{1,x}的取值需要根据1和x的大小关系分两种情况讨论：第一种情况是x＞1时，较大值是x，此时原方程转化为x = x² - 3；第二种情况是x＜1时，较大值是1，此时原方程转化为1 = x² - 3。解完对应方程后，必须将解带回对应的分类前提验证，舍去不符合该情况范围的增根，最终得到所有符合条件的解即可。
【解析】
根据新定义的运算规则，分两类讨论求解：
1. 当x ＞ 1时，max{1,x} = x，原方程可化为：
$x = x^2 - 3$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2 - x - 3 = 0$
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中a=1，b=-1，c=-3，判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(-3)=13$，解得：
$x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$
由于该情况的前提是x＞1，$x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}＜1$，不符合条件，舍去，保留$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$。
2. 当x ＜ 1时，max{1,x} = 1，原方程可化为：
$1 = x^2 - 3$
整理得$x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$
由于该情况的前提是x＜1，$x_1=2＞1$，不符合条件，舍去，保留$x=-2$。
题目明确说明两个实数a、b不相等，因此无需考虑x=1的情况，最终得到两个符合条件的解。
【答案】
$x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $x=-2$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类易错题，易错点在于很多同学直接忽略max运算的大小比较逻辑，不分情况直接列方程求解，或是解完方程后忘记结合分类的前提条件舍去不符合范围的增根，导致漏解或者得到错误的解。解题时要先吃透新定义的规则，遇到需要比较大小的场景主动分类，最后务必验证解的合理性。
【难度系数】
0.4
10. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-ax+1=0$有两个相等的实数根,且该实数根也是关于$x$的一元二次方程$(a-2)x^{2}+bx+1=0$的实数根,则方程$(a-2)x^{2}+bx+1=0$的根为
$x_1=-1,x_2=\dfrac{1}{4}$
.答案
$x_1=-1,x_2=\dfrac{1}{4}$ $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-ax+1=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=(-a)^2-4×1×1=0$,解得 $a=\pm2.\because$ 关于 $x$ 的方程 $(a-2)x^2+bx+1=0$ 是一元二次方程,$\therefore a≠2.\therefore a=-2.\therefore$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-ax+1=0$ 为 $x^2+2x+1=0$,解得 $x_1=x_2=-1$. 由题意,得 $x=-1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $-4x^2+bx+1=0$ 的实数根,$\therefore -4×(-1)^2-b+1=0$,解得 $b=-3.\therefore$ 关于 $x$ 的方程 $(a-2)x^2+bx+1=0$ 为 $-4x^2-3x+1=0$,解得 $x_1=-1,x_2=\dfrac{1}{4}.$
解析
【分析】
我们可以分四步逐步推导解题：第一步，已知第一个一元二次方程有两个相等实数根，根据根的判别式性质，判别式Δ=0，列出关于a的方程求解，得到a的两个候选值；第二步，注意题干明确第二个方程是一元二次方程，因此它的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的a值，确定a的准确取值；第三步，把得到的a代回第一个方程，求出它的两个相等的实数根，再将这个根代入第二个方程，就能求出参数b的值；第四步，把a和b都代入第二个方程，解这个一元二次方程，就能得到它的所有根，得到最终结果，全程要注意不能忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免出错。
【解析】
解：
1. 确定参数a的取值
∵ 一元二次方程$x^2 - ax + 1 = 0$有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×1×1 = 0$，即$a^2=4$，解得$a=\pm2$
又
∵ 方程$(a-2)x^2 + bx + 1 = 0$是一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $a-2≠0$，即$a≠2$，因此可得$a=-2$
2. 求解第一个方程的相等实根
将$a=-2$代入$x^2 - ax + 1 = 0$，得方程$x^2 + 2x + 1 = 0$，整理为$(x+1)^2=0$
解得两个相等的实数根为$x_1=x_2=-1$
3. 求解参数b的取值
根据题意，$x=-1$是方程$(a-2)x^2 + bx + 1 = 0$的根，将$a=-2$、$x=-1$代入该方程：
$(-2-2)×(-1)^2 + b×(-1) + 1 = 0$
整理得：$-4 - b + 1 = 0$，解得$b=-3$
4. 求解目标方程
将$a=-2$，$b=-3$代入$(a-2)x^2 + bx + 1 = 0$，得：
$-4x^2 -3x +1 = 0$，两边同乘-1得$4x^2 +3x -1 =0$
因式分解得$(4x-1)(x+1)=0$
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{4}$
【答案】
$x_1=-1,x_2=\dfrac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程判别式；一元二次方程定义；解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是容易忽略“方程$(a-2)x^2+bx+1=0$是一元二次方程”的隐含条件，忘记排除a=2的情况，导致后续参数求解错误；同时部分同学会误以为只需要写出代入得到的已知根，漏掉方程的另一个根，解题时要注意紧扣题干所有限定条件，完整求解目标方程的全部根。
【难度系数】
0.4
我们可以分四步逐步推导解题：第一步，已知第一个一元二次方程有两个相等实数根，根据根的判别式性质，判别式Δ=0，列出关于a的方程求解，得到a的两个候选值；第二步，注意题干明确第二个方程是一元二次方程，因此它的二次项系数不能为0，据此排除不符合要求的a值，确定a的准确取值；第三步，把得到的a代回第一个方程，求出它的两个相等的实数根，再将这个根代入第二个方程，就能求出参数b的值；第四步，把a和b都代入第二个方程，解这个一元二次方程，就能得到它的所有根，得到最终结果，全程要注意不能忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免出错。
【解析】
解：
1. 确定参数a的取值
∵ 一元二次方程$x^2 - ax + 1 = 0$有两个相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×1×1 = 0$，即$a^2=4$，解得$a=\pm2$
又
∵ 方程$(a-2)x^2 + bx + 1 = 0$是一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $a-2≠0$，即$a≠2$，因此可得$a=-2$
2. 求解第一个方程的相等实根
将$a=-2$代入$x^2 - ax + 1 = 0$，得方程$x^2 + 2x + 1 = 0$，整理为$(x+1)^2=0$
解得两个相等的实数根为$x_1=x_2=-1$
3. 求解参数b的取值
根据题意，$x=-1$是方程$(a-2)x^2 + bx + 1 = 0$的根，将$a=-2$、$x=-1$代入该方程：
$(-2-2)×(-1)^2 + b×(-1) + 1 = 0$
整理得：$-4 - b + 1 = 0$，解得$b=-3$
4. 求解目标方程
将$a=-2$，$b=-3$代入$(a-2)x^2 + bx + 1 = 0$，得：
$-4x^2 -3x +1 = 0$，两边同乘-1得$4x^2 +3x -1 =0$
因式分解得$(4x-1)(x+1)=0$
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{4}$
【答案】
$x_1=-1,x_2=\dfrac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程判别式；一元二次方程定义；解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是容易忽略“方程$(a-2)x^2+bx+1=0$是一元二次方程”的隐含条件，忘记排除a=2的情况，导致后续参数求解错误；同时部分同学会误以为只需要写出代入得到的已知根，漏掉方程的另一个根，解题时要注意紧扣题干所有限定条件，完整求解目标方程的全部根。
【难度系数】
0.4
11. 如图,将两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ ECD$拼在一起,连接$AD$,点$B$,$E$,$C$在同一条直线上,$AE⊥ ED$.已知直角三角形的直角边长分别为$m$,$n$,斜边长为$q$,分别以$m$,$\sqrt{2}q$,$n$为二次项系数、一次项系数和常数项构造的关于$x$的一元二次方程$mx^{2}+\sqrt{2}qx+n=0$,称为“勾股方程”.
(1) 请直接写出一个“勾股方程”.
(2) 若“勾股方程”$mx^{2}+\sqrt{2}qx+n=0$有两个相等的实数根,求$\dfrac{m}{q}$的值.
(3) 若$x=-1$是“勾股方程”$mx^{2}+\sqrt{2}qx+n=0$的一个根,且四边形$ABCD$的周长是$6$,求四边形$ABCD$的面积.
(1) 请直接写出一个“勾股方程”.
(2) 若“勾股方程”$mx^{2}+\sqrt{2}qx+n=0$有两个相等的实数根,求$\dfrac{m}{q}$的值.
(3) 若$x=-1$是“勾股方程”$mx^{2}+\sqrt{2}qx+n=0$的一个根,且四边形$ABCD$的周长是$6$,求四边形$ABCD$的面积.
答案
(1) 答案不唯一,如 $3x^2+5\sqrt{2}x+4=0$. (2) $\because$“勾股方程”$mx^2+\sqrt{2}qx+n=0$ 有两个相等的实数根,$\therefore (\sqrt{2}· q)^2-4mn=2q^2-4mn=0.\therefore q^2=2mn.\because q^2=m^2+n^2,\therefore m^2+n^2=2mn.\therefore (m-n)^2=0$,即 $m-n=0$.$\therefore m=n.\therefore q=\sqrt{2}m.\therefore \dfrac{m}{q}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. (3) $\because x=-1$ 是“勾股方程”$mx^2+\sqrt{2}qx+n=0$ 的一个根,$\therefore m-\sqrt{2}q+n=0$.$\therefore \sqrt{2}· q=m+n.\because$ 四边形 $ABCD$ 的周长是 $6$,$\therefore 2m+2n+\sqrt{2}q=6.\therefore q=\sqrt{2}.\because q^2=m^2+n^2,\sqrt{2}q=m+n$,$\therefore m^2+n^2=2,m+n=2.\therefore$ 易得 $mn=1.\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积$=2×\dfrac{1}{2}mn+\dfrac{1}{2}q^2=mn+\dfrac{1}{2}q^2=1+1=2.$
解析
【分析】
我们可以分三小问逐步思考：
1. 第(1)问：根据题目给出的“勾股方程”定义，只要选取一组满足勾股定理的正整数m、n、q（即直角三角形的两条直角边和斜边），代入$mx^2+\sqrt{2}qx+n=0$即可写出符合要求的方程，答案不唯一。
2. 第(2)问：一元二次方程有两个相等实数根，说明根的判别式$\Delta=0$，先代入判别式公式得到关于m、n、q的等式，再结合直角三角形的勾股定理$q^2=m^2+n^2$，通过代数变形推导得到m和n的关系，最后求出$\frac{m}{q}$的比值。
3. 第(3)问：先把x=-1代入“勾股方程”，得到m、n、q的关系式，再结合四边形ABCD的周长为6的条件，求出q的具体值，之后利用完全平方公式结合勾股定理算出mn的值，最后通过拆分图形面积（两个全等直角三角形+中间等腰直角三角形）计算出四边形ABCD的总面积。
【解析】
(1) 选取常见勾股数$m=3$，$n=4$，$q=5$，代入方程即可得到符合要求的“勾股方程”，答案不唯一。
(2) 已知“勾股方程”$mx^2+\sqrt{2}qx+n=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式性质：
$\Delta = (\sqrt{2}q)^2 - 4mn = 2q^2 - 4mn = 0$
整理得$q^2=2mn$。
又因为在直角三角形中，由勾股定理可得$q^2 = m^2 + n^2$，代入上式得：
$m^2 + n^2 = 2mn$
变形为$(m-n)^2=0$，即$m=n$。
将$m=n$代入$q^2=m^2+n^2$，得$q^2=2m^2$，因为m、q均为正数，所以$q=\sqrt{2}m$，因此：
$\frac{m}{q} = \frac{m}{\sqrt{2}m} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
(3) 因为$x=-1$是方程$mx^2+\sqrt{2}qx+n=0$的根，将$x=-1$代入方程得：
$m×(-1)^2 + \sqrt{2}q×(-1) +n = 0$
整理得$m + n = \sqrt{2}q$。
已知四边形ABCD的周长为6，由图可知周长为$AB + BC + CD + DA = m + (n+m) +n + \sqrt{2}q = 2m + 2n + \sqrt{2}q =6$，将$m+n=\sqrt{2}q$代入得：
$2\sqrt{2}q + \sqrt{2}q = 6 \implies 3\sqrt{2}q=6 \implies q=\sqrt{2}$
因此$m+n=\sqrt{2}q = \sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
又由勾股定理$q^2=m^2+n^2$，代入$q=\sqrt{2}$得$m^2+n^2=2$。
对$m+n=2$两边平方得$(m+n)^2=4$，即$m^2 + 2mn +n^2=4$，代入$m^2+n^2=2$，解得$mn=1$。
四边形ABCD的面积可拆分为两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABE$、$\mathrm{Rt}△ ECD$的面积与等腰$\mathrm{Rt}△ AED$的面积之和：
$S_{ABCD}= 2× \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}q^2 = mn + \frac{1}{2}q^2 = 1 + \frac{1}{2}×(\sqrt{2})^2 = 1+1=2$
【答案】
(1) 答案不唯一，如 $3x^2+5\sqrt{2}x+4=0$；
(2) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) $2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于新定义综合题，将一元二次方程的性质和直角三角形的几何特征结合起来，既考查了代数运算能力，也考查了几何图形的分析能力。解题时要先准确理解“勾股方程”的定义，灵活联动代数和几何的知识点，通过面积拆分的方法简化计算，避免复杂的变量求解。
【难度系数】
0.4
我们可以分三小问逐步思考：
1. 第(1)问：根据题目给出的“勾股方程”定义，只要选取一组满足勾股定理的正整数m、n、q（即直角三角形的两条直角边和斜边），代入$mx^2+\sqrt{2}qx+n=0$即可写出符合要求的方程，答案不唯一。
2. 第(2)问：一元二次方程有两个相等实数根，说明根的判别式$\Delta=0$，先代入判别式公式得到关于m、n、q的等式，再结合直角三角形的勾股定理$q^2=m^2+n^2$，通过代数变形推导得到m和n的关系，最后求出$\frac{m}{q}$的比值。
3. 第(3)问：先把x=-1代入“勾股方程”，得到m、n、q的关系式，再结合四边形ABCD的周长为6的条件，求出q的具体值，之后利用完全平方公式结合勾股定理算出mn的值，最后通过拆分图形面积（两个全等直角三角形+中间等腰直角三角形）计算出四边形ABCD的总面积。
【解析】
(1) 选取常见勾股数$m=3$，$n=4$，$q=5$，代入方程即可得到符合要求的“勾股方程”，答案不唯一。
(2) 已知“勾股方程”$mx^2+\sqrt{2}qx+n=0$有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式性质：
$\Delta = (\sqrt{2}q)^2 - 4mn = 2q^2 - 4mn = 0$
整理得$q^2=2mn$。
又因为在直角三角形中，由勾股定理可得$q^2 = m^2 + n^2$，代入上式得：
$m^2 + n^2 = 2mn$
变形为$(m-n)^2=0$，即$m=n$。
将$m=n$代入$q^2=m^2+n^2$，得$q^2=2m^2$，因为m、q均为正数，所以$q=\sqrt{2}m$，因此：
$\frac{m}{q} = \frac{m}{\sqrt{2}m} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
(3) 因为$x=-1$是方程$mx^2+\sqrt{2}qx+n=0$的根，将$x=-1$代入方程得：
$m×(-1)^2 + \sqrt{2}q×(-1) +n = 0$
整理得$m + n = \sqrt{2}q$。
已知四边形ABCD的周长为6，由图可知周长为$AB + BC + CD + DA = m + (n+m) +n + \sqrt{2}q = 2m + 2n + \sqrt{2}q =6$，将$m+n=\sqrt{2}q$代入得：
$2\sqrt{2}q + \sqrt{2}q = 6 \implies 3\sqrt{2}q=6 \implies q=\sqrt{2}$
因此$m+n=\sqrt{2}q = \sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
又由勾股定理$q^2=m^2+n^2$，代入$q=\sqrt{2}$得$m^2+n^2=2$。
对$m+n=2$两边平方得$(m+n)^2=4$，即$m^2 + 2mn +n^2=4$，代入$m^2+n^2=2$，解得$mn=1$。
四边形ABCD的面积可拆分为两个全等的$\mathrm{Rt}△ ABE$、$\mathrm{Rt}△ ECD$的面积与等腰$\mathrm{Rt}△ AED$的面积之和：
$S_{ABCD}= 2× \frac{1}{2}mn + \frac{1}{2}q^2 = mn + \frac{1}{2}q^2 = 1 + \frac{1}{2}×(\sqrt{2})^2 = 1+1=2$
【答案】
(1) 答案不唯一，如 $3x^2+5\sqrt{2}x+4=0$；
(2) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) $2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，勾股定理，完全平方公式
【点评】
本题属于新定义综合题，将一元二次方程的性质和直角三角形的几何特征结合起来，既考查了代数运算能力，也考查了几何图形的分析能力。解题时要先准确理解“勾股方程”的定义，灵活联动代数和几何的知识点，通过面积拆分的方法简化计算，避免复杂的变量求解。
【难度系数】
0.4
12. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(3 k+1) x+2 k^{2}+2 k=0$.
(1) 求证:无论 $k$ 取何值,方程总有实数根.
(2) 若等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a=6$,另两边长 $b, c$ 恰好是这个方程的两个根,求 $△ A B C$ 的周长.
(1) 求证:无论 $k$ 取何值,方程总有实数根.
(2) 若等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a=6$,另两边长 $b, c$ 恰好是这个方程的两个根,求 $△ A B C$ 的周长.
答案
(1) $\because \Delta=[-(3k+1)]^2-4(2k^2+2k)=9k^2+6k+1-8k^2-8k=k^2-2k+1=(k-1)^2≥0,\therefore$ 无论 $k$ 取何值,方程总有实数根. (2) ① 若 $a$ 为底边长,则 $b,c$ 为腰长.$\therefore b=c.\therefore (k-1)^2=0$,解得 $k=1.\therefore$ 原方程可化为 $x^2-4x+4=0.\therefore x_1=x_2=2.\therefore b=c=2.\because 2+2＜6,\therefore$ 不能构成三角形,舍去. ② 若 $a$ 为腰长,则 $b,c$ 中有一个为腰长,不妨设 $b=a=6$. 将 $x=6$ 代入方程,得 $6^2-6(3k+1)+2k^2+2k=0$,解得 $k=3$ 或 $k=5$. 当 $k=3$ 时,原方程可化为 $x^2-10x+24=0$,解得 $x_1=4,x_2=6.\therefore b=6,c=4$. 此时$△ ABC$ 的三边长为 $6,6,4$,能构成三角形. 当 $k=5$ 时,原方程可化为 $x^2-16x+60=0$,解得 $x_3=6,x_4=10$.$\therefore b=6,c=10$. 此时$△ ABC$ 的三边长为 $6,6,10$,能构成三角形. $\therefore △ ABC$ 的周长为 $6+6+4=16$ 或 $6+6+10=22.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明一元二次方程恒有实数根，核心思路是利用一元二次方程根的判别式，计算出Δ的表达式并化简为完全平方式，借助平方数的非负性证明Δ≥0，即可完成证明。第二问结合等腰三角形性质求周长，需要分类讨论：第一种情况是已知边长a为等腰三角形的底边，此时两腰b、c相等，对应方程有两个相等实数根，令Δ=0求解k，得到方程的根后必须验证三角形三边关系，不满足两边之和大于第三边的情况要舍去；第二种情况是已知边长a为等腰三角形的腰，此时b、c中有一个边长等于6，将x=6代入原方程求出k的取值，再解出方程的两个根，同样验证三边关系，最终计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=-(3k+1)$，$c=2k^2+2k$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(3k+1)]^2 - 4×1×(2k^2+2k)\\&=9k^2+6k+1 -8k^2 -8k\\&=k^2-2k+1\\&=(k-1)^2\end{aligned}$
由于任意实数的平方都非负，可得$(k-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此无论k取何值，该方程总有实数根。
(2) 解：分两种情况讨论：
① 当$a=6$为等腰$△ ABC$的底边长时，两腰$b=c$，说明方程有两个相等的实数根，即$\Delta=(k-1)^2=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入原方程，得$x^2-4x+4=0$，解得$x_1=x_2=2$，即$b=c=2$。
此时三边长为2、2、6，因为$2+2=4＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
② 当$a=6$为等腰$△ ABC$的腰长时，说明$b$、$c$中有一个边长等于6，将$x=6$代入原方程：
$6^2 - (3k+1)×6 + 2k^2 + 2k = 0$
整理得$k^2-7k+12=0$，解得$k_1=3$，$k_2=5$。
当$k=3$时，原方程为$x^2-10x+24=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$，此时三角形三边长为6、6、4，满足$4+6＞6$，可以构成三角形，周长为$6+6+4=16$。
当$k=5$时，原方程为$x^2-16x+60=0$，解得$x_1=6$，$x_2=10$，此时三角形三边长为6、6、10，满足$6+6＞10$，可以构成三角形，周长为$6+6+10=22$。
综上，$△ ABC$的周长为16或22。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $△ ABC$的周长为16或22
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，重点考察分类讨论数学思想，易错点在于求解出方程的根后，容易忽略三角形三边关系的验证，误将2、2、6当成有效边长，同时要注意等腰三角形的边分为底边和腰两类情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问要证明一元二次方程恒有实数根，核心思路是利用一元二次方程根的判别式，计算出Δ的表达式并化简为完全平方式，借助平方数的非负性证明Δ≥0，即可完成证明。第二问结合等腰三角形性质求周长，需要分类讨论：第一种情况是已知边长a为等腰三角形的底边，此时两腰b、c相等，对应方程有两个相等实数根，令Δ=0求解k，得到方程的根后必须验证三角形三边关系，不满足两边之和大于第三边的情况要舍去；第二种情况是已知边长a为等腰三角形的腰，此时b、c中有一个边长等于6，将x=6代入原方程求出k的取值，再解出方程的两个根，同样验证三边关系，最终计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=-(3k+1)$，$c=2k^2+2k$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(3k+1)]^2 - 4×1×(2k^2+2k)\\&=9k^2+6k+1 -8k^2 -8k\\&=k^2-2k+1\\&=(k-1)^2\end{aligned}$
由于任意实数的平方都非负，可得$(k-1)^2≥0$，即$\Delta≥0$，因此无论k取何值，该方程总有实数根。
(2) 解：分两种情况讨论：
① 当$a=6$为等腰$△ ABC$的底边长时，两腰$b=c$，说明方程有两个相等的实数根，即$\Delta=(k-1)^2=0$，解得$k=1$。
将$k=1$代入原方程，得$x^2-4x+4=0$，解得$x_1=x_2=2$，即$b=c=2$。
此时三边长为2、2、6，因为$2+2=4＜6$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
② 当$a=6$为等腰$△ ABC$的腰长时，说明$b$、$c$中有一个边长等于6，将$x=6$代入原方程：
$6^2 - (3k+1)×6 + 2k^2 + 2k = 0$
整理得$k^2-7k+12=0$，解得$k_1=3$，$k_2=5$。
当$k=3$时，原方程为$x^2-10x+24=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$，此时三角形三边长为6、6、4，满足$4+6＞6$，可以构成三角形，周长为$6+6+4=16$。
当$k=5$时，原方程为$x^2-16x+60=0$，解得$x_1=6$，$x_2=10$，此时三角形三边长为6、6、10，满足$6+6＞10$，可以构成三角形，周长为$6+6+10=22$。
综上，$△ ABC$的周长为16或22。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $△ ABC$的周长为16或22
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，重点考察分类讨论数学思想，易错点在于求解出方程的根后，容易忽略三角形三边关系的验证，误将2、2、6当成有效边长，同时要注意等腰三角形的边分为底边和腰两类情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
