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1. 若 $x=\dfrac{2+\sqrt{4-4×(-1)}}{2}$ 是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是 （
A.$x^2-2x-1=0$
B.$x^2+2x-1=0$
C.$x^2+2x+1=0$
D.$x^2-2x+1=0$
A
）A.$x^2-2x-1=0$
B.$x^2+2x-1=0$
C.$x^2+2x+1=0$
D.$x^2-2x+1=0$
答案
A 若 $x=\dfrac{2+\sqrt{4-4×(-1)}}{2}$ 是某个一元二次方程的一个根，则根据求根公式 $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ (b^2-4ac≥0)$,可得 $a$ 可以为 1,$b$ 可以为 $-2$,$c$ 可以为 $-1$,即这个一元二次方程可以是 $x^2-2x-1=0$.
解析
【分析】
这道题有两种常用解题思路：第一种是直接将题干给出的根的表达式和一元二次方程的求根公式逐项对应，快速匹配出方程的系数，得到目标方程；第二种是先计算出题干中x的具体数值，再将x依次代入四个选项，验证哪个选项的等式成立，即可得到正确答案。两种方法都能快速解题，优先选择对照求根公式的方法可以省去复杂的代入计算步骤，提升解题速度。
【解析】
方法1：对照求根公式推导
对于任意一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0,\Delta=b^2-4ac≥0)$，其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根$x=\frac{2+\sqrt{4-4×(-1)}}{2}$和求根公式逐项比对：
1. 分母为2，可得$2a=2$，即$a=1$；
2. 分子的一次项部分为2，可得$-b=2$，即$b=-2$；
3. 根号内的表达式为$4-4×(-1)$，代入$a=1、b=-2$，可得$b^2-4ac=(-2)^2-4×1× c=4-4c=4-4×(-1)$，即$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$x^2-2x-1=0$。
方法2：代入验证
先化简题干的根：
$x=\frac{2+\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}$
将$x=1+\sqrt{2}$依次代入选项验证：
选项A：$(1+\sqrt{2})^2-2(1+\sqrt{2})-1=3+2\sqrt{2}-2-2\sqrt{2}-1=0$，等式成立；
选项B：$(1+\sqrt{2})^2+2(1+\sqrt{2})-1=3+2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}-1=4+4\sqrt{2}≠0$，不成立；
选项C：方程$x^2+2x+1=0$的根为$x=-1$，显然不等于$1+\sqrt{2}$，不成立；
选项D：方程$x^2-2x+1=0$的根为$x=1$，显然不等于$1+\sqrt{2}$，不成立。
综上，正确答案为A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对一元二次方程求根公式的掌握程度，既可以通过公式直接匹配系数快速得到结果，也可以通过代入根验证的方法选出答案，解题时注意不要记错求根公式中$-b$的符号，避免出现系数匹配错误的问题。
【难度系数】
0.7
这道题有两种常用解题思路：第一种是直接将题干给出的根的表达式和一元二次方程的求根公式逐项对应，快速匹配出方程的系数，得到目标方程；第二种是先计算出题干中x的具体数值，再将x依次代入四个选项，验证哪个选项的等式成立，即可得到正确答案。两种方法都能快速解题，优先选择对照求根公式的方法可以省去复杂的代入计算步骤，提升解题速度。
【解析】
方法1：对照求根公式推导
对于任意一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0,\Delta=b^2-4ac≥0)$，其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题干给出的根$x=\frac{2+\sqrt{4-4×(-1)}}{2}$和求根公式逐项比对：
1. 分母为2，可得$2a=2$，即$a=1$；
2. 分子的一次项部分为2，可得$-b=2$，即$b=-2$；
3. 根号内的表达式为$4-4×(-1)$，代入$a=1、b=-2$，可得$b^2-4ac=(-2)^2-4×1× c=4-4c=4-4×(-1)$，即$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$x^2-2x-1=0$。
方法2：代入验证
先化简题干的根：
$x=\frac{2+\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}$
将$x=1+\sqrt{2}$依次代入选项验证：
选项A：$(1+\sqrt{2})^2-2(1+\sqrt{2})-1=3+2\sqrt{2}-2-2\sqrt{2}-1=0$，等式成立；
选项B：$(1+\sqrt{2})^2+2(1+\sqrt{2})-1=3+2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}-1=4+4\sqrt{2}≠0$，不成立；
选项C：方程$x^2+2x+1=0$的根为$x=-1$，显然不等于$1+\sqrt{2}$，不成立；
选项D：方程$x^2-2x+1=0$的根为$x=1$，显然不等于$1+\sqrt{2}$，不成立。
综上，正确答案为A。
【答案】A
【知识点】
一元二次方程求根公式，一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对一元二次方程求根公式的掌握程度，既可以通过公式直接匹配系数快速得到结果，也可以通过代入根验证的方法选出答案，解题时注意不要记错求根公式中$-b$的符号，避免出现系数匹配错误的问题。
【难度系数】
0.7
2. [2025 扬州中考]关于一元二次方程 $x^{2}-3x+1=0$ 的根的情况,下列结论中正确的是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有一个实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.有一个实数根
答案
A $\because \Delta=(-3)^2-4×1×1=5＞0,\therefore$ 方程 $x^2-3x+1=0$ 有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，我们可以利用一元二次方程的根的判别式来求解：首先先从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，接着代入判别式公式Δ = b² - 4ac计算出Δ的具体数值，最后根据Δ的正负性判断根的情况：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根，对照选项就能选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^{2}-3x+1=0$：
1. 确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$；
2. 代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$；
3. 判别根的情况：因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础考题，直接考查根的判别式的基础应用，解题门槛低，只需要牢记判别式的计算公式和根的对应判定规则，准确代入数值计算即可得到正确结果，是中考中常见的基础送分题型，需要注意不要搞错b的符号导致判别式计算错误。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程根的情况，我们可以利用一元二次方程的根的判别式来求解：首先先从给定的一元二次方程中准确找出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，接着代入判别式公式Δ = b² - 4ac计算出Δ的具体数值，最后根据Δ的正负性判断根的情况：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ＜0时没有实数根，对照选项就能选出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$x^{2}-3x+1=0$：
1. 确定各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=1$；
2. 代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 9 - 4 = 5$；
3. 判别根的情况：因为$\Delta=5＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
因此选项A正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础考题，直接考查根的判别式的基础应用，解题门槛低，只需要牢记判别式的计算公式和根的对应判定规则，准确代入数值计算即可得到正确结果，是中考中常见的基础送分题型，需要注意不要搞错b的符号导致判别式计算错误。
【难度系数】
0.9
3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $\dfrac{1}{2}x^2-2mx-4m+1=0$ 有两个相等的实数根, 则 $(m-2)^2-2m(m-$1)的值为
$\dfrac{7}{2}$
答案
$\dfrac{7}{2}$ 由题意,得 $\Delta=(-2m)^2-4×\dfrac{1}{2}×(-4m+1)=4m^2-2(-4m+1)=4m^2+8m-2=0.\therefore m^2+2m=\dfrac{1}{2}.$
$\therefore (m-2)^2-2m(m-1)=-m^2-2m+4=-(m^2+2m)+4=-\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{7}{2}.$
$\therefore (m-2)^2-2m(m-1)=-m^2-2m+4=-(m^2+2m)+4=-\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{7}{2}.$
解析
【分析】
首先看到题目给出一元二次方程有两个相等实数根，要立刻联想到一元二次方程根的判别式性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，据此列出判别式的等式，整理后可以得到关于m的二次代数式的整体值。接下来不需要解出m的具体数值，先把要求值的代数式展开化简，再将前面得到的关于m的整体关系式代入，就能快速算出结果，既简化运算也能避免求解m的复杂计算带来的错误。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$\dfrac{1}{2}x^2-2mx-4m+1=0$有两个相等的实数根
∴该方程的根的判别式$\Delta=0$
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2m)^2 - 4× \dfrac{1}{2}×(-4m+1)\\&=4m^2 -2×(-4m+1)\\&=4m^2 +8m -2\end{aligned}$
令$\Delta=0$，即$4m^2+8m-2=0$，两边同时除以2整理可得：
$m^2+2m=\dfrac{1}{2}$
接下来化简待求的代数式：
$\begin{aligned}(m-2)^2 -2m(m-1)&=m^2-4m+4 -2m^2+2m\\&=-m^2-2m+4\\&=-(m^2+2m)+4\end{aligned}$
将$m^2+2m=\dfrac{1}{2}$代入上式：
原式$=-\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{7}{2}$
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
根的判别式，整式化简，整体代入
【点评】
本题重点考察整体代换的数学思想，不需要直接求解参数m的具体数值，通过判别式先得到参数二次式的整体值，再对目标代数式做化简变形后直接代入即可得到结果，有效规避了求解带根号的m的复杂运算，降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
首先看到题目给出一元二次方程有两个相等实数根，要立刻联想到一元二次方程根的判别式性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，据此列出判别式的等式，整理后可以得到关于m的二次代数式的整体值。接下来不需要解出m的具体数值，先把要求值的代数式展开化简，再将前面得到的关于m的整体关系式代入，就能快速算出结果，既简化运算也能避免求解m的复杂计算带来的错误。
【解析】
解：
∵关于x的一元二次方程$\dfrac{1}{2}x^2-2mx-4m+1=0$有两个相等的实数根
∴该方程的根的判别式$\Delta=0$
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=(-2m)^2 - 4× \dfrac{1}{2}×(-4m+1)\\&=4m^2 -2×(-4m+1)\\&=4m^2 +8m -2\end{aligned}$
令$\Delta=0$，即$4m^2+8m-2=0$，两边同时除以2整理可得：
$m^2+2m=\dfrac{1}{2}$
接下来化简待求的代数式：
$\begin{aligned}(m-2)^2 -2m(m-1)&=m^2-4m+4 -2m^2+2m\\&=-m^2-2m+4\\&=-(m^2+2m)+4\end{aligned}$
将$m^2+2m=\dfrac{1}{2}$代入上式：
原式$=-\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{7}{2}$
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
根的判别式，整式化简，整体代入
【点评】
本题重点考察整体代换的数学思想，不需要直接求解参数m的具体数值，通过判别式先得到参数二次式的整体值，再对目标代数式做化简变形后直接代入即可得到结果，有效规避了求解带根号的m的复杂运算，降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.6
4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+bx+4=0$ 的两个根中较小的一个根是 $m\ (m≠ 0)$ , 则 $b+$ $\sqrt{b^2-16}=$
$-2m$
(用含 $m$ 的代数式表示).答案
$-2m$ $\because x^2+bx+4=0$ 的两个根中较小的一个根是 $m(m≠0),\therefore \dfrac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}=m.\therefore b+\sqrt{b^2-16}=-2m.$
解析
【分析】
我们拿到这道题后，首先梳理已知条件：一元二次方程$x^2+bx+4=0$的较小根是$m$，目标是用含$m$的代数式表示$b+\sqrt{b^2-16}$。首先回忆一元二次方程的求根公式，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0,\Delta≥0)$，两根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，本题中$a=1$、$c=4$，可以直接写出该方程的两个根。接下来比较两个根的大小：由于根号运算结果非负，取减号的根数值更小，正好对应题目给出的较小根$m$，由此得到等式后不需要额外求解$b$，直接对等式做移项变形，就能直接得到目标代数式的结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+bx+4=0$，二次项系数$a=1$，常数项$c=4$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = b^2-16$，
代入求根公式可得方程的两个根为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-16}}{2}$
由于$\sqrt{b^2-16}≥0$，因此$\frac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}＜\frac{-b+\sqrt{b^2-16}}{2}$，即较小的根为$\frac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}$。
根据题意较小根为$m$，可得：
$\frac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}=m$
等式两边同时乘以2得：$-b-\sqrt{b^2-16}=2m$，
对左边提取负号：$-(b+\sqrt{b^2-16})=2m$，
两边同乘$-1$整理得：$b+\sqrt{b^2-16}=-2m$。
【答案】
$-2m$
【知识点】
一元二次方程求根公式，等式变形
【点评】
本题跳出了“把根代入方程硬解参数b”的固化思维，巧妙利用求根公式的结构特征，直接匹配较小根的表达式，仅通过简单的等式变形就得到结果，避免了复杂的代换运算，重点考察学生对求根公式的理解程度。
【难度系数】
0.6
我们拿到这道题后，首先梳理已知条件：一元二次方程$x^2+bx+4=0$的较小根是$m$，目标是用含$m$的代数式表示$b+\sqrt{b^2-16}$。首先回忆一元二次方程的求根公式，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0,\Delta≥0)$，两根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，本题中$a=1$、$c=4$，可以直接写出该方程的两个根。接下来比较两个根的大小：由于根号运算结果非负，取减号的根数值更小，正好对应题目给出的较小根$m$，由此得到等式后不需要额外求解$b$，直接对等式做移项变形，就能直接得到目标代数式的结果。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2+bx+4=0$，二次项系数$a=1$，常数项$c=4$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = b^2-16$，
代入求根公式可得方程的两个根为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-16}}{2}$
由于$\sqrt{b^2-16}≥0$，因此$\frac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}＜\frac{-b+\sqrt{b^2-16}}{2}$，即较小的根为$\frac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}$。
根据题意较小根为$m$，可得：
$\frac{-b-\sqrt{b^2-16}}{2}=m$
等式两边同时乘以2得：$-b-\sqrt{b^2-16}=2m$，
对左边提取负号：$-(b+\sqrt{b^2-16})=2m$，
两边同乘$-1$整理得：$b+\sqrt{b^2-16}=-2m$。
【答案】
$-2m$
【知识点】
一元二次方程求根公式，等式变形
【点评】
本题跳出了“把根代入方程硬解参数b”的固化思维，巧妙利用求根公式的结构特征，直接匹配较小根的表达式，仅通过简单的等式变形就得到结果，避免了复杂的代换运算，重点考察学生对求根公式的理解程度。
【难度系数】
0.6
5. 小明在解方程 $x^2 - 5x = 1$ 时出现了错误,其解答过程如下:
解: $\because a=1, b=-5, c=1$ (第一步),
$\therefore b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × 1 = 21$ (第二步).
$\therefore x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ (第三步).
$\therefore x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ (第四步).
(1) 小明的解答过程从第
(2) 写出此题正确的解答过程.
解: $\because a=1, b=-5, c=1$ (第一步),
$\therefore b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × 1 = 21$ (第二步).
$\therefore x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$ (第三步).
$\therefore x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$ (第四步).
(1) 小明的解答过程从第
一
步开始出错,其错误原因是原方程没有化成一般形式
.(2) 写出此题正确的解答过程.
答案
(1) 一;原方程没有化成一般形式. (2) 把方程 $x^2-5x=1$ 化为一般形式,得 $x^2-5x-1=0.\because a=1,b=-5,c=-1,\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=25+4=29＞0.\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{29}}{2}.\therefore x_1=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆用求根公式解一元二次方程的完整规范步骤：使用求根公式前，必须先把原方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能正确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值和符号。我们先对照小明的解题过程排查错误：小明直接把原方程右侧的1当作常数项$c$，没有将右侧的项移到左侧整理成一般形式，第一步就出现了错误。后续我们只需要先把原方程移项得到标准一般式，确定正确的$a、b、c$，再依次计算判别式、代入求根公式，就能得到正确的求解结果。
【解析】
(1) 观察小明的解题步骤，他在第一步直接取$c=1$，但原方程$x^2-5x=1$并没有整理成右侧为0的一般形式，常数项应该是移项后的$-1$，因此从第一步开始出错，错误原因是原方程没有化成一般形式，错误确定了常数项$c$的取值。
(2) 按照公式法的规范步骤正确求解：
首先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-5x-1=0$
确定各项系数：$a=1$，$b=-5$，$c=-1$
计算判别式：
$b^2-4ac=(-5)^2 - 4×1×(-1)=25+4=29＞0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$
因此方程的两个根为$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
(1) 一；原方程没有化成一般形式
(2) 正确解答过程为：把方程 $x^2-5x=1$ 化为一般形式,得 $x^2-5x-1=0.\because a=1,b=-5,c=-1,\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=25+4=29＞0.\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{29}}{2}.\therefore x_1=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}.$
【知识点】
一元二次方程一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的典型易错题，核心考察对公式法解方程前置要求的掌握，很多初学者容易忽略“先将方程整理为右侧为0的一般形式”这一关键步骤，直接照搬原式的数字确定系数，导致常数项符号出错、后续计算全部偏差，提醒大家使用求根公式前必须先整理方程，确认所有系数的符号完全正确再进行后续运算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要回忆用求根公式解一元二次方程的完整规范步骤：使用求根公式前，必须先把原方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能正确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值和符号。我们先对照小明的解题过程排查错误：小明直接把原方程右侧的1当作常数项$c$，没有将右侧的项移到左侧整理成一般形式，第一步就出现了错误。后续我们只需要先把原方程移项得到标准一般式，确定正确的$a、b、c$，再依次计算判别式、代入求根公式，就能得到正确的求解结果。
【解析】
(1) 观察小明的解题步骤，他在第一步直接取$c=1$，但原方程$x^2-5x=1$并没有整理成右侧为0的一般形式，常数项应该是移项后的$-1$，因此从第一步开始出错，错误原因是原方程没有化成一般形式，错误确定了常数项$c$的取值。
(2) 按照公式法的规范步骤正确求解：
首先将原方程移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2-5x-1=0$
确定各项系数：$a=1$，$b=-5$，$c=-1$
计算判别式：
$b^2-4ac=(-5)^2 - 4×1×(-1)=25+4=29＞0$
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}$
因此方程的两个根为$x_1=\frac{5+\sqrt{29}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。
【答案】
(1) 一；原方程没有化成一般形式
(2) 正确解答过程为：把方程 $x^2-5x=1$ 化为一般形式,得 $x^2-5x-1=0.\because a=1,b=-5,c=-1,\therefore b^2-4ac=(-5)^2-4×1×(-1)=25+4=29＞0.\therefore x=\dfrac{5\pm\sqrt{29}}{2}.\therefore x_1=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2},x_2=\dfrac{5-\sqrt{29}}{2}.$
【知识点】
一元二次方程一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的典型易错题，核心考察对公式法解方程前置要求的掌握，很多初学者容易忽略“先将方程整理为右侧为0的一般形式”这一关键步骤，直接照搬原式的数字确定系数，导致常数项符号出错、后续计算全部偏差，提醒大家使用求根公式前必须先整理方程，确认所有系数的符号完全正确再进行后续运算。
【难度系数】
0.7
6. ［2025 雅安中考］关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-3)x^2+6x+3=0$ 有两个实数根,则 $m$ 的取值范围是（
A.$m＞6$
B.$m≤ 6$ 且 $m≠ 3$
C.$m≥ 6$
D.$m＜6$ 且 $m≠ 3$
B
）A.$m＞6$
B.$m≤ 6$ 且 $m≠ 3$
C.$m≥ 6$
D.$m＜6$ 且 $m≠ 3$
答案
B 由题意,得 $\Delta=36-4(m-3)×3≥0$ 且 $m-3≠0$,$\therefore m≤6$ 且 $m≠3.$
解析
【分析】
拿到这道题我们分两步梳理思路：首先题目明确说明这是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数绝对不能为0，这是非常容易被忽略的隐含条件；其次题目说明方程有两个实数根，对应的根的判别式需要满足Δ≥0，这里要注意不要误写为Δ＞0，Δ＞0仅对应两个不相等的实数根，“两个实数根”包含两根相等的情况。我们分别列出两个条件对应的不等式，联立求解就能得到m的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
1. 由方程是一元二次方程，可得二次项系数不为0：
$ m - 3 ≠ 0 $
解得：$ m ≠ 3 $
2. 由方程有两个实数根，可得判别式$ \Delta ≥ 0 $，对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0 $，判别式公式为$ \Delta = b^2 - 4ac $，本题中$ a=m-3 $，$ b=6 $，$ c=3 $，代入得：
$ \Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 ≥ 0 $
逐步化简不等式：
$ 36 - 12(m-3) ≥ 0 \\ 36 -12m + 36 ≥ 0 \\ 72 - 12m ≥ 0 \\ 12m ≤ 72 \\ m ≤ 6 $
3. 联立两个条件，最终得到m的取值范围是$ m ≤ 6 $且$ m ≠ 3 $。
【答案】B
【知识点】一元二次方程定义，根的判别式
【点评】本题是一元二次方程章节的典型易错题，大部分失分都来自两个常见疏漏：一是忘记二次项系数不为0的隐含限制，二是错把“两个实数根”的条件对应为Δ＞0漏掉等号，解题时要注意仔细审题，区分不同根的描述对应的判别式要求。
【难度系数】
0.6
拿到这道题我们分两步梳理思路：首先题目明确说明这是一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数绝对不能为0，这是非常容易被忽略的隐含条件；其次题目说明方程有两个实数根，对应的根的判别式需要满足Δ≥0，这里要注意不要误写为Δ＞0，Δ＞0仅对应两个不相等的实数根，“两个实数根”包含两根相等的情况。我们分别列出两个条件对应的不等式，联立求解就能得到m的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
1. 由方程是一元二次方程，可得二次项系数不为0：
$ m - 3 ≠ 0 $
解得：$ m ≠ 3 $
2. 由方程有两个实数根，可得判别式$ \Delta ≥ 0 $，对于一元二次方程$ ax^2+bx+c=0 $，判别式公式为$ \Delta = b^2 - 4ac $，本题中$ a=m-3 $，$ b=6 $，$ c=3 $，代入得：
$ \Delta = 6^2 - 4×(m-3)×3 ≥ 0 $
逐步化简不等式：
$ 36 - 12(m-3) ≥ 0 \\ 36 -12m + 36 ≥ 0 \\ 72 - 12m ≥ 0 \\ 12m ≤ 72 \\ m ≤ 6 $
3. 联立两个条件，最终得到m的取值范围是$ m ≤ 6 $且$ m ≠ 3 $。
【答案】B
【知识点】一元二次方程定义，根的判别式
【点评】本题是一元二次方程章节的典型易错题，大部分失分都来自两个常见疏漏：一是忘记二次项系数不为0的隐含限制，二是错把“两个实数根”的条件对应为Δ＞0漏掉等号，解题时要注意仔细审题，区分不同根的描述对应的判别式要求。
【难度系数】
0.6
7. 已知方程甲:$ax^{2}+2bx+a=0$,方程乙:$bx^{2}+2ax+b=0$都是关于$x$的一元二次方程$(a≠ b)$.有
下列说法:① 若$x=1$是方程甲的根,则$x=1$也是方程乙的根;② 若方程甲有两个相等的实数
根,则方程乙也有两个相等的实数根;③ 若方程甲有两个不相等的实数根,则方程乙也有两个不
相等的实数根;④ 若$x=n$既是方程甲的根,又是方程乙的根,则$n$可以取$1$或$-1$.其中,正确
的是（
A.①②
B.③④
C.①②③④
D.①②④
下列说法:① 若$x=1$是方程甲的根,则$x=1$也是方程乙的根;② 若方程甲有两个相等的实数
根,则方程乙也有两个相等的实数根;③ 若方程甲有两个不相等的实数根,则方程乙也有两个不
相等的实数根;④ 若$x=n$既是方程甲的根,又是方程乙的根,则$n$可以取$1$或$-1$.其中,正确
的是（
A
）A.①②
B.③④
C.①②③④
D.①②④
答案
A 若 $x=1$ 是方程甲的根,则 $a+2b+a=0$,即 $a=-b.\therefore$ 方程乙:$bx^2+2ax+b=0$ 变为 $bx^2-2bx+b=0$,解得 $x_1=x_2=1.\therefore x=1$ 也是方程乙的根. $\therefore$ ①正确. 若方程甲有两个相等的实数根,则 $(2b)^2-4a· a=0$,即 $4b^2=4a^2.\therefore 4a^2-4b^2=0.\therefore$ 在方程乙:$bx^2+2ax+b=0$ 中,$(2a)^2-4b· b=4a^2-4b^2=0.\therefore$ 方程乙有两个相等的实数根. $\therefore$ ②正确. 若方程甲有两个不相等的实数根,则 $(2b)^2-4a· a＞0$,解得 $4b^2＞4a^2.\therefore 4a^2-4b^2＜0.\therefore$ 在方程乙:$bx^2+2ax+b=0$ 中,$(2a)^2-4b· b=4a^2-4b^2＜0.\therefore$ 方程乙没有实数根. $\therefore$ ③不正确. 若 $x=n$ 既是方程甲的根,又是方程乙的根,则 $\begin{cases}an^2+2bn+a=0①,\\bn^2+2an+b=0②.\end{cases}$ 由①$-$②,得 $(a-b)n^2-2(a-b)n+(a-b)=0.\because a≠ b$,$\therefore n^2-2n+1=0$,解得 $n_1=n_2=1.\therefore$ ④不正确. 综上所述,正确的是①②.
解析
【分析】
我们可以逐个验证题目给出的4个命题，思路如下：
1. 验证命题①：根据一元二次方程根的定义，把x=1代入方程甲，得到a和b的数量关系，再将该关系代入方程乙，验证x=1是否满足方程乙，即可判断①的正误。
2. 验证命题②：利用一元二次方程有两个相等实数根等价于判别式Δ=0的性质，先从方程甲判别式为0推导得到a²和b²的等量关系，再代入方程乙的判别式，判断乙的判别式是否也为0，即可验证②。
3. 验证命题③：同样利用判别式的性质，方程甲有两个不等实根说明甲的Δ＞0，推导得到a²和b²的大小关系，再代入方程乙的判别式判断其符号，就能知道乙是否有两个不等实根。
4. 验证命题④：把x=n同时代入两个方程得到方程组，两式相减消去参数，结合a≠b的条件化简求解n，就能得到公共根的所有可能取值，判断④的正误。
最后汇总所有正确的命题，选出对应选项即可。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
1. 判断①：
若x=1是方程甲的根，将x=1代入方程甲$ax^2+2bx+a=0$，得：
$a·1^2 + 2b·1 + a = 0$，化简得$2a+2b=0$，即$a=-b$。
将$a=-b$代入方程乙$bx^2+2ax+b=0$，可得：
$bx^2 - 2bx + b = 0$，因为是一元二次方程，$b≠0$，两边除以b得$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$，因此x=1也是方程乙的根，①正确。
2. 判断②：
若方程甲有两个相等的实数根，则甲的判别式$\Delta_甲=(2b)^2 - 4· a· a = 0$，化简得$4b^2-4a^2=0$，即$4a^2-4b^2=0$。
方程乙的判别式$\Delta_乙=(2a)^2 -4· b· b = 4a^2-4b^2=0$，因此方程乙也有两个相等的实数根，②正确。
3. 判断③：
若方程甲有两个不相等的实数根，则$\Delta_甲=(2b)^2-4a· a＞0$，化简得$4b^2-4a^2＞0$，即$4b^2＞4a^2$，可得$4a^2-4b^2＜0$。
此时方程乙的判别式$\Delta_乙=4a^2-4b^2＜0$，说明方程乙没有实数根，不存在两个不相等的实数根，③错误。
4. 判断④：
若x=n既是方程甲的根，又是方程乙的根，则可得方程组：
$\begin{cases}an^2+2bn+a=0&①\\bn^2+2an+b=0&②\end{cases}$
用①-②，整理得：$(a-b)n^2 - 2(a-b)n + (a-b)=0$，已知$a≠b$，即$a-b≠0$，两边同时除以$a-b$，得：
$n^2-2n+1=0$，解得$n_1=n_2=1$，公共根只能是1，不能取-1，④错误。
综上，正确的只有①②。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，公共根求解
【点评】
本题重点考察一元二次方程根的相关性质，易错点集中在命题③和命题④：很多同学会想当然认为甲有两个不等实根时乙也有，忽略了判别式推导后乙的判别式为负的情况；还有部分同学直接将1、-1代入两个方程就误以为都是公共根，没有联立方程消元得到唯一解，解题时要严格按照判别式计算、联立消元的步骤推导，避免主观臆断出错。
【难度系数】
0.55
我们可以逐个验证题目给出的4个命题，思路如下：
1. 验证命题①：根据一元二次方程根的定义，把x=1代入方程甲，得到a和b的数量关系，再将该关系代入方程乙，验证x=1是否满足方程乙，即可判断①的正误。
2. 验证命题②：利用一元二次方程有两个相等实数根等价于判别式Δ=0的性质，先从方程甲判别式为0推导得到a²和b²的等量关系，再代入方程乙的判别式，判断乙的判别式是否也为0，即可验证②。
3. 验证命题③：同样利用判别式的性质，方程甲有两个不等实根说明甲的Δ＞0，推导得到a²和b²的大小关系，再代入方程乙的判别式判断其符号，就能知道乙是否有两个不等实根。
4. 验证命题④：把x=n同时代入两个方程得到方程组，两式相减消去参数，结合a≠b的条件化简求解n，就能得到公共根的所有可能取值，判断④的正误。
最后汇总所有正确的命题，选出对应选项即可。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正误：
1. 判断①：
若x=1是方程甲的根，将x=1代入方程甲$ax^2+2bx+a=0$，得：
$a·1^2 + 2b·1 + a = 0$，化简得$2a+2b=0$，即$a=-b$。
将$a=-b$代入方程乙$bx^2+2ax+b=0$，可得：
$bx^2 - 2bx + b = 0$，因为是一元二次方程，$b≠0$，两边除以b得$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$，因此x=1也是方程乙的根，①正确。
2. 判断②：
若方程甲有两个相等的实数根，则甲的判别式$\Delta_甲=(2b)^2 - 4· a· a = 0$，化简得$4b^2-4a^2=0$，即$4a^2-4b^2=0$。
方程乙的判别式$\Delta_乙=(2a)^2 -4· b· b = 4a^2-4b^2=0$，因此方程乙也有两个相等的实数根，②正确。
3. 判断③：
若方程甲有两个不相等的实数根，则$\Delta_甲=(2b)^2-4a· a＞0$，化简得$4b^2-4a^2＞0$，即$4b^2＞4a^2$，可得$4a^2-4b^2＜0$。
此时方程乙的判别式$\Delta_乙=4a^2-4b^2＜0$，说明方程乙没有实数根，不存在两个不相等的实数根，③错误。
4. 判断④：
若x=n既是方程甲的根，又是方程乙的根，则可得方程组：
$\begin{cases}an^2+2bn+a=0&①\\bn^2+2an+b=0&②\end{cases}$
用①-②，整理得：$(a-b)n^2 - 2(a-b)n + (a-b)=0$，已知$a≠b$，即$a-b≠0$，两边同时除以$a-b$，得：
$n^2-2n+1=0$，解得$n_1=n_2=1$，公共根只能是1，不能取-1，④错误。
综上，正确的只有①②。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，公共根求解
【点评】
本题重点考察一元二次方程根的相关性质，易错点集中在命题③和命题④：很多同学会想当然认为甲有两个不等实根时乙也有，忽略了判别式推导后乙的判别式为负的情况；还有部分同学直接将1、-1代入两个方程就误以为都是公共根，没有联立方程消元得到唯一解，解题时要严格按照判别式计算、联立消元的步骤推导，避免主观臆断出错。
【难度系数】
0.55
