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10. 分类讨论思想 阅读材料：
解方程:$x^{2}+|x-1|-1=0.$
解: 当 $x-1 ≥ 0$, 即 $x ≥ 1$ 时, 原方程可化为 $x^{2}+(x-1)-1=0$, 即 $x^{2}+x-2=0$, 解得 $x_{1}=1$, $x_{2}=-2$(不合题意,舍去).
当 $x-1＜0$, 即 $x＜1$ 时, 原方程可化为 $x^{2}-(x-1)-1=0$, 即 $x^{2}-x=0$, 解得 $x_{3}=0, x_{4}=1$ (不合题意,舍去).
综上所述,原方程的解为 $x_{1}=1, x_{2}=0$.
请按材料提供的方法解方程:$x^{2}+|x+3|-9=0.$
解方程:$x^{2}+|x-1|-1=0.$
解: 当 $x-1 ≥ 0$, 即 $x ≥ 1$ 时, 原方程可化为 $x^{2}+(x-1)-1=0$, 即 $x^{2}+x-2=0$, 解得 $x_{1}=1$, $x_{2}=-2$(不合题意,舍去).
当 $x-1＜0$, 即 $x＜1$ 时, 原方程可化为 $x^{2}-(x-1)-1=0$, 即 $x^{2}-x=0$, 解得 $x_{3}=0, x_{4}=1$ (不合题意,舍去).
综上所述,原方程的解为 $x_{1}=1, x_{2}=0$.
请按材料提供的方法解方程:$x^{2}+|x+3|-9=0.$
答案
当$x+3\ge0$,即$x\ge-3$时，原方程可化为$x^2+(x+3)-9=0$,即$x^2+x-6=0$. 分解因式，得$(x-2)(x+3)=0$,解得$x_1=-3,x_2=2.$ 当$x+3＜0$,即$x＜-3$时，原方程可化为$x^2-(x+3)-9=0$,即$x^2-x-12=0$. 分解因式，得$(x-4)(x+3)=0$,解得$x_3=4,x_4=-3.$ 两个解都不符合$x＜-3$,舍去. 综上所述，原方程的解为$x_1=-3,x_2=2.$
解析
【分析】
这道题需要参考给出的示例方法，利用绝对值的性质进行分类讨论去掉绝对值符号，将带绝对值的陌生一元二次方程转化为普通的一元二次方程求解。首先找到绝对值内表达式x+3的正负分界点，也就是x=-3，以此为界分成两种情况：第一种是x+3≥0即x≥-3的情况，此时|x+3|可以直接展开为x+3，代入原方程得到普通一元二次方程，求解后筛选出符合x≥-3的根；第二种是x+3＜0即x＜-3的情况，此时|x+3|展开为-(x+3)，代入原方程得到另一个普通一元二次方程，求解后筛选出符合x＜-3的根，最后汇总所有符合条件的根就是原方程的解，注意不符合对应取值范围的根必须舍去。
【解析】
我们根据绝对值的性质，以x+3的正负性为分类依据展开求解：
1. 当$x+3\ge0$，即$x\ge-3$时：
原方程可化为：
$x^2+(x+3)-9=0$
整理得：$x^2+x-6=0$
对左侧因式分解得：$(x-2)(x+3)=0$
解得：$x_1=-3$，$x_2=2$
两个根都满足$x\ge-3$，均保留。
2. 当$x+3＜0$，即$x＜-3$时：
原方程可化为：
$x^2-(x+3)-9=0$
整理得：$x^2-x-12=0$
对左侧因式分解得：$(x-4)(x+3)=0$
解得：$x_3=4$，$x_4=-3$
两个根都不满足$x＜-3$，全部舍去。
综合两种情况的结果，得到原方程的所有有效根。
【答案】
原方程的解为$x_1=-3$，$x_2=2$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于材料迁移类习题，核心考察学生对给定解题方法的理解和迁移应用能力，通过绝对值的分界点划分取值区间，将带绝对值的非常规方程转化为常规一元二次方程求解，特别提醒学生分类求解后必须检验根是否符合对应区间的取值要求，避免产生增根，有效锻炼了解题的严谨性。
【难度系数】
0.7
这道题需要参考给出的示例方法，利用绝对值的性质进行分类讨论去掉绝对值符号，将带绝对值的陌生一元二次方程转化为普通的一元二次方程求解。首先找到绝对值内表达式x+3的正负分界点，也就是x=-3，以此为界分成两种情况：第一种是x+3≥0即x≥-3的情况，此时|x+3|可以直接展开为x+3，代入原方程得到普通一元二次方程，求解后筛选出符合x≥-3的根；第二种是x+3＜0即x＜-3的情况，此时|x+3|展开为-(x+3)，代入原方程得到另一个普通一元二次方程，求解后筛选出符合x＜-3的根，最后汇总所有符合条件的根就是原方程的解，注意不符合对应取值范围的根必须舍去。
【解析】
我们根据绝对值的性质，以x+3的正负性为分类依据展开求解：
1. 当$x+3\ge0$，即$x\ge-3$时：
原方程可化为：
$x^2+(x+3)-9=0$
整理得：$x^2+x-6=0$
对左侧因式分解得：$(x-2)(x+3)=0$
解得：$x_1=-3$，$x_2=2$
两个根都满足$x\ge-3$，均保留。
2. 当$x+3＜0$，即$x＜-3$时：
原方程可化为：
$x^2-(x+3)-9=0$
整理得：$x^2-x-12=0$
对左侧因式分解得：$(x-4)(x+3)=0$
解得：$x_3=4$，$x_4=-3$
两个根都不满足$x＜-3$，全部舍去。
综合两种情况的结果，得到原方程的所有有效根。
【答案】
原方程的解为$x_1=-3$，$x_2=2$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 因式分解法解一元二次方程
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于材料迁移类习题，核心考察学生对给定解题方法的理解和迁移应用能力，通过绝对值的分界点划分取值区间，将带绝对值的非常规方程转化为常规一元二次方程求解，特别提醒学生分类求解后必须检验根是否符合对应区间的取值要求，避免产生增根，有效锻炼了解题的严谨性。
【难度系数】
0.7
11. 关于$x$的方程$x^{2}-2mx+m^{2}=4$的两个根$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}=2x_{2}+3$,且$x_{1}＞x_{2}$,则$m$的值为（
A.$-3$
B.$1$
C.$3$
D.$9$
C
）A.$-3$
B.$1$
C.$3$
D.$9$
答案
$\because x^2-2mx+m^2=4,\therefore (x-m+2)(x-m-2)=0. \therefore x=m-2$或$x=m+2. \because x_1＞x_2,\therefore x_1=m+2,x_2=m-2. \because x_1=2x_2+3,\therefore m+2=2(m-2)+3$,解得$m=3.$
解析
【分析】
首先观察原方程的结构，发现左边是完全平方式，不需要使用复杂的求根公式或者韦达定理，直接通过变形因式分解就能快速得到两个根的含m的表达式。接下来结合题目给出的$x_1＞x_2$的条件，区分出两个根分别对应的表达式，再将其代入给定的等量关系$x_1=2x_2+3$，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的最终结果。
【解析】
1. 对原方程变形整理
原方程为$x^{2}-2mx+m^{2}=4$，由完全平方公式可得左边为$(x-m)^2$，移项后利用平方差公式因式分解：
$(x-m)^2 - 2^2 = 0$
$(x-m+2)(x-m-2)=0$
2. 得到方程的两个根
令两个因式分别为0，解得方程的两个根为$x=m-2$和$x=m+2$。
3. 根据根的大小对应$x_1$、$x_2$
已知$x_1＞x_2$，显然$m+2 ＞ m-2$，因此可得：
$x_1 = m+2$，$x_2 = m-2$
4. 代入等量关系求解m
将$x_1$和$x_2$代入$x_1=2x_2+3$，得：
$m+2 = 2(m-2) + 3$
展开并整理方程：
$m+2 = 2m - 4 + 3$
$m+2 = 2m -1$
移项计算得$m=3$。
【答案】C
【知识点】
完全平方公式，因式分解解一元二次方程，一元一次方程求解
【点评】
本题优先利用方程的特殊完全平方结构快速因式分解，避免了使用韦达定理带来的复杂运算，解题的易错点是容易搞反两个根的大小对应关系，只要明确$m+2$恒大于$m-2$，就能轻松列出方程求出参数，属于一元二次方程参数求解的基础题型。
【难度系数】0.7
首先观察原方程的结构，发现左边是完全平方式，不需要使用复杂的求根公式或者韦达定理，直接通过变形因式分解就能快速得到两个根的含m的表达式。接下来结合题目给出的$x_1＞x_2$的条件，区分出两个根分别对应的表达式，再将其代入给定的等量关系$x_1=2x_2+3$，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的最终结果。
【解析】
1. 对原方程变形整理
原方程为$x^{2}-2mx+m^{2}=4$，由完全平方公式可得左边为$(x-m)^2$，移项后利用平方差公式因式分解：
$(x-m)^2 - 2^2 = 0$
$(x-m+2)(x-m-2)=0$
2. 得到方程的两个根
令两个因式分别为0，解得方程的两个根为$x=m-2$和$x=m+2$。
3. 根据根的大小对应$x_1$、$x_2$
已知$x_1＞x_2$，显然$m+2 ＞ m-2$，因此可得：
$x_1 = m+2$，$x_2 = m-2$
4. 代入等量关系求解m
将$x_1$和$x_2$代入$x_1=2x_2+3$，得：
$m+2 = 2(m-2) + 3$
展开并整理方程：
$m+2 = 2m - 4 + 3$
$m+2 = 2m -1$
移项计算得$m=3$。
【答案】C
【知识点】
完全平方公式，因式分解解一元二次方程，一元一次方程求解
【点评】
本题优先利用方程的特殊完全平方结构快速因式分解，避免了使用韦达定理带来的复杂运算，解题的易错点是容易搞反两个根的大小对应关系，只要明确$m+2$恒大于$m-2$，就能轻松列出方程求出参数，属于一元二次方程参数求解的基础题型。
【难度系数】0.7
12. 阅读与思考: 将式子 $x^{2}-6x+8$ 分解因式.
方法一:整式乘法与因式分解是方法相反的变形.
由 $(x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+pq$, 得 $x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.
分析: 这个式子的常数项 $8=(-2) ×(-4)$, 一次项系数 $-6=(-2)+(-4), \therefore x^{2}-6x+8=$$x^{2}+[(-2)+(-4)] x+(-2) ×(-4) . \therefore x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)$.
方法二:配方的思想.
$x^{2}-6x+8=x^{2}-6x+9-9+8=(x-3)^{2}-1^{2}=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)$.
请仿照上面的方法,解答下列问题:
(1) 分解因式: $x^{2}+5x+6=(x+$
(2) 请用上述两种方法解方程(需写出每种方法的具体步骤):
① $x^{2}+6x-27=0$.
② $x^{2}-24x+140=0$.
(3) 若菱形 $ABCD$ 的一条对角线的长为 8, 边 $CD$ 的长是方程 $x^{2}-10x+24=0$ 的一个根, 试求该菱形 $ABCD$ 的周长.
方法一:整式乘法与因式分解是方法相反的变形.
由 $(x+p)(x+q)=x^{2}+(p+q)x+pq$, 得 $x^{2}+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.
分析: 这个式子的常数项 $8=(-2) ×(-4)$, 一次项系数 $-6=(-2)+(-4), \therefore x^{2}-6x+8=$$x^{2}+[(-2)+(-4)] x+(-2) ×(-4) . \therefore x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)$.
方法二:配方的思想.
$x^{2}-6x+8=x^{2}-6x+9-9+8=(x-3)^{2}-1^{2}=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4)$.
请仿照上面的方法,解答下列问题:
(1) 分解因式: $x^{2}+5x+6=(x+$
3
$)(x+$ 2
$)$.(2) 请用上述两种方法解方程(需写出每种方法的具体步骤):
① $x^{2}+6x-27=0$.
② $x^{2}-24x+140=0$.
(3) 若菱形 $ABCD$ 的一条对角线的长为 8, 边 $CD$ 的长是方程 $x^{2}-10x+24=0$ 的一个根, 试求该菱形 $ABCD$ 的周长.
答案
(1) 3; 2.
(2) ① 解法一:$x^2+6x-27$的常数项$-27=9×(-3)$,一次项系数$6=9+(-3),\therefore x^2+6x-27=x^2+[9+(-3)]x+9×(-3). \therefore x^2+6x-27=(x+9)(x-3). \therefore$ 解方程$x^2+6x-27=0$,得$x_1=-9,x_2=3.$
解法二:$x^2+6x-27=x^2+6x+9-9-27=(x+3)^2-6^2=(x+3+6)(x+3-6)=(x+9)(x-3). \therefore$ 解方程$x^2+6x-27=0$,得$x_1=-9,x_2=3.$
② 解法一:$x^2-24x+140$的常数项$140=(-10)×(-14)$,一次项系数$-24=(-10)+(-14),\therefore x^2-24x+140=x^2+[(-10)+(-14)]x+(-10)×(-14). \therefore x^2-24x+140=(x-10)(x-14). \therefore$ 解方程$x^2-24x+140=0$,得$x_1=10,x_2=14.$
解法二:$x^2-24x+140=x^2-24x+144-144+140=(x-12)^2-2^2=(x-12+2)(x-12-2)=(x-10)(x-14). \therefore$ 解方程$x^2-24x+140=0$,得$x_1=10,x_2=14.$
(3) 解方程$x^2-10x+24=0$,得$x_1=4,x_2=6.$ ① 当$CD=4$时，即$AB=BC=DA=4$，$\because$ 菱形$ABCD$的一条对角线长为8，$\therefore$ 两边长之和大于8. $\because 4+4=8,\therefore$ 不合题意，舍去. ② 当$CD=6$时，即$AB=BC=DA=6$，$\because$ 菱形$ABCD$的一条对角线长为8，$\therefore$ 两边长之和大于8. $\because 6+6＞8,\therefore$ 符合题意. $\therefore$ 菱形$ABCD$的周长$=4×6=24.$
(2) ① 解法一:$x^2+6x-27$的常数项$-27=9×(-3)$,一次项系数$6=9+(-3),\therefore x^2+6x-27=x^2+[9+(-3)]x+9×(-3). \therefore x^2+6x-27=(x+9)(x-3). \therefore$ 解方程$x^2+6x-27=0$,得$x_1=-9,x_2=3.$
解法二:$x^2+6x-27=x^2+6x+9-9-27=(x+3)^2-6^2=(x+3+6)(x+3-6)=(x+9)(x-3). \therefore$ 解方程$x^2+6x-27=0$,得$x_1=-9,x_2=3.$
② 解法一:$x^2-24x+140$的常数项$140=(-10)×(-14)$,一次项系数$-24=(-10)+(-14),\therefore x^2-24x+140=x^2+[(-10)+(-14)]x+(-10)×(-14). \therefore x^2-24x+140=(x-10)(x-14). \therefore$ 解方程$x^2-24x+140=0$,得$x_1=10,x_2=14.$
解法二:$x^2-24x+140=x^2-24x+144-144+140=(x-12)^2-2^2=(x-12+2)(x-12-2)=(x-10)(x-14). \therefore$ 解方程$x^2-24x+140=0$,得$x_1=10,x_2=14.$
(3) 解方程$x^2-10x+24=0$,得$x_1=4,x_2=6.$ ① 当$CD=4$时，即$AB=BC=DA=4$，$\because$ 菱形$ABCD$的一条对角线长为8，$\therefore$ 两边长之和大于8. $\because 4+4=8,\therefore$ 不合题意，舍去. ② 当$CD=6$时，即$AB=BC=DA=6$，$\because$ 菱形$ABCD$的一条对角线长为8，$\therefore$ 两边长之和大于8. $\because 6+6＞8,\therefore$ 符合题意. $\therefore$ 菱形$ABCD$的周长$=4×6=24.$
解析
【分析】
这道题属于方法迁移类题型，解题思路可以分三步梳理：
1. 第(1)问直接套用题干给出的十字相乘思路，寻找两个整数，满足二者乘积等于常数项6，二者之和等于一次项系数5，即可直接得到分解后的两个常数。
2. 第(2)问的两个方程，严格仿照题干给出的两种方法求解：第一种十字相乘法，先将二次三项式拆成$x^2+(p+q)x+pq$的形式，分解为$(x+p)(x+q)$后令两个因式分别为0得到方程的解；第二种配方法，先给二次三项式凑出完全平方式，再用平方差公式分解因式，进而求解方程。
3. 第(3)问先解出给定一元二次方程的两个根，再结合菱形四条边相等的性质，以及菱形的任意两条边和对应对角线构成三角形、需要满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除不符合条件的根，最后计算菱形周长。
【解析】
(1) 对于$x^2+5x+6$，常数项$6=2×3$，一次项系数$5=2+3$，因此$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$。
(2) ① 解方程$x^2+6x-27=0$
解法一（十字相乘法）：
二次三项式$x^2+6x-27$的常数项$-27=9×(-3)$，一次项系数$6=9+(-3)$，
因此$x^2+6x-27 = x^2+[9+(-3)]x +9×(-3) = (x+9)(x-3)$
令$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=3$。
解法二（配方法）：
对式子配方得：$x^2+6x-27 = x^2+6x+9 -9 -27 = (x+3)^2 - 6^2$
利用平方差公式分解得：$(x+3+6)(x+3-6)=(x+9)(x-3)$
令$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=3$。
② 解方程$x^2-24x+140=0$
解法一（十字相乘法）：
二次三项式$x^2-24x+140$的常数项$140=(-10)×(-14)$，一次项系数$-24=(-10)+(-14)$，
因此$x^2-24x+140 = x^2+[(-10)+(-14)]x + (-10)×(-14) = (x-10)(x-14)$
令$(x-10)(x-14)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=14$。
解法二（配方法）：
对式子配方得：$x^2-24x+140 = x^2-24x+144 -144 +140 = (x-12)^2 - 2^2$
利用平方差公式分解得：$(x-12+2)(x-12-2)=(x-10)(x-14)$
令$(x-10)(x-14)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=14$。
(3) 先解方程$x^2-10x+24=0$，用十字相乘法得常数项$24=(-4)×(-6)$，一次项系数$-10=(-4)+(-6)$，分解得$(x-4)(x-6)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$。
菱形四条边长度相等，已知一条对角线长为8，菱形的两条邻边与这条对角线可构成三角形，需满足两边之和大于第三边：
① 若$CD=4$，即菱形边长为4，此时两条邻边之和为$4+4=8$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若$CD=6$，即菱形边长为6，此时两条邻边之和为$6+6＞8$，满足三角形三边关系，符合题意。
因此菱形$ABCD$的周长为$4×6=24$。
【答案】
(1) 3；2
(2) ① $x_1=-9$，$x_2=3$；② $x_1=10$，$x_2=14$
(3) 24
【知识点】
十字相乘法因式分解
配方法解一元二次方程
菱形性质与三角形三边关系
【点评】
本题属于典型的方法迁移类习题，通过先给出两种因式分解的示例，引导学生自主模仿掌握十字相乘和配方分解二次三项式的技巧，既考察了一元二次方程的不同解法，又结合菱形的几何性质设置易错点，提醒学生求解出方程的根后，必须结合实际几何场景验证是否符合隐含的三边关系要求，避免直接代入计算得到错误结果，同时锻炼了学生的知识迁移能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.5
这道题属于方法迁移类题型，解题思路可以分三步梳理：
1. 第(1)问直接套用题干给出的十字相乘思路，寻找两个整数，满足二者乘积等于常数项6，二者之和等于一次项系数5，即可直接得到分解后的两个常数。
2. 第(2)问的两个方程，严格仿照题干给出的两种方法求解：第一种十字相乘法，先将二次三项式拆成$x^2+(p+q)x+pq$的形式，分解为$(x+p)(x+q)$后令两个因式分别为0得到方程的解；第二种配方法，先给二次三项式凑出完全平方式，再用平方差公式分解因式，进而求解方程。
3. 第(3)问先解出给定一元二次方程的两个根，再结合菱形四条边相等的性质，以及菱形的任意两条边和对应对角线构成三角形、需要满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除不符合条件的根，最后计算菱形周长。
【解析】
(1) 对于$x^2+5x+6$，常数项$6=2×3$，一次项系数$5=2+3$，因此$x^2+5x+6=(x+3)(x+2)$。
(2) ① 解方程$x^2+6x-27=0$
解法一（十字相乘法）：
二次三项式$x^2+6x-27$的常数项$-27=9×(-3)$，一次项系数$6=9+(-3)$，
因此$x^2+6x-27 = x^2+[9+(-3)]x +9×(-3) = (x+9)(x-3)$
令$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=3$。
解法二（配方法）：
对式子配方得：$x^2+6x-27 = x^2+6x+9 -9 -27 = (x+3)^2 - 6^2$
利用平方差公式分解得：$(x+3+6)(x+3-6)=(x+9)(x-3)$
令$(x+9)(x-3)=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=3$。
② 解方程$x^2-24x+140=0$
解法一（十字相乘法）：
二次三项式$x^2-24x+140$的常数项$140=(-10)×(-14)$，一次项系数$-24=(-10)+(-14)$，
因此$x^2-24x+140 = x^2+[(-10)+(-14)]x + (-10)×(-14) = (x-10)(x-14)$
令$(x-10)(x-14)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=14$。
解法二（配方法）：
对式子配方得：$x^2-24x+140 = x^2-24x+144 -144 +140 = (x-12)^2 - 2^2$
利用平方差公式分解得：$(x-12+2)(x-12-2)=(x-10)(x-14)$
令$(x-10)(x-14)=0$，解得$x_1=10$，$x_2=14$。
(3) 先解方程$x^2-10x+24=0$，用十字相乘法得常数项$24=(-4)×(-6)$，一次项系数$-10=(-4)+(-6)$，分解得$(x-4)(x-6)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$。
菱形四条边长度相等，已知一条对角线长为8，菱形的两条邻边与这条对角线可构成三角形，需满足两边之和大于第三边：
① 若$CD=4$，即菱形边长为4，此时两条邻边之和为$4+4=8$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去；
② 若$CD=6$，即菱形边长为6，此时两条邻边之和为$6+6＞8$，满足三角形三边关系，符合题意。
因此菱形$ABCD$的周长为$4×6=24$。
【答案】
(1) 3；2
(2) ① $x_1=-9$，$x_2=3$；② $x_1=10$，$x_2=14$
(3) 24
【知识点】
十字相乘法因式分解
配方法解一元二次方程
菱形性质与三角形三边关系
【点评】
本题属于典型的方法迁移类习题，通过先给出两种因式分解的示例，引导学生自主模仿掌握十字相乘和配方分解二次三项式的技巧，既考察了一元二次方程的不同解法，又结合菱形的几何性质设置易错点，提醒学生求解出方程的根后，必须结合实际几何场景验证是否符合隐含的三边关系要求，避免直接代入计算得到错误结果，同时锻炼了学生的知识迁移能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.5
