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1. 易错题 一元二次方程$x^{2}=x$的根为（
A.$x_{1}=x_{2}=0$
B.$x_{1}=x_{2}=1$
C.$x_{1}=0,x_{2}=1$
D.$x_{1}=0,x_{2}=-1$
C
）A.$x_{1}=x_{2}=0$
B.$x_{1}=x_{2}=1$
C.$x_{1}=0,x_{2}=1$
D.$x_{1}=0,x_{2}=-1$
答案
原方程移项、因式分解，可得$x(x-1)=0$，解得$x_1=0,x_2=1$。
解析
【分析】
这道题求解一元二次方程，首先要注意不能直接在等式两边同时除以x，因为x的取值可能为0，除以0没有意义，还会直接丢失x=0这个根。正确的思考路径是先把等号右侧的项全部移到左侧，将方程整理为右侧为0的形式，再通过提取公因式做因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，拆分得到两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的全部根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 移项整理：将原方程$x^2=x$右侧的x移到左侧，得到：
$x^2 - x = 0$
2. 因式分解：对左侧多项式提取公因式x，可得：
$x(x-1)=0$
3. 拆分求解：根据乘积为0的性质，可得$x=0$或$x-1=0$，分别解两个一元一次方程，得到$x_1=0$，$x_2=1$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的高频易错题，很多初学者会错误地直接在等式两边约去x，只得到x=1这一个根，漏掉x=0的解，解题时要注意不能随意给等式两边除以可能取值为0的含未知数的整式，避免出现丢根的错误。
【难度系数】
0.6
这道题求解一元二次方程，首先要注意不能直接在等式两边同时除以x，因为x的取值可能为0，除以0没有意义，还会直接丢失x=0这个根。正确的思考路径是先把等号右侧的项全部移到左侧，将方程整理为右侧为0的形式，再通过提取公因式做因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，拆分得到两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的全部根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 移项整理：将原方程$x^2=x$右侧的x移到左侧，得到：
$x^2 - x = 0$
2. 因式分解：对左侧多项式提取公因式x，可得：
$x(x-1)=0$
3. 拆分求解：根据乘积为0的性质，可得$x=0$或$x-1=0$，分别解两个一元一次方程，得到$x_1=0$，$x_2=1$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的高频易错题，很多初学者会错误地直接在等式两边约去x，只得到x=1这一个根，漏掉x=0的解，解题时要注意不能随意给等式两边除以可能取值为0的含未知数的整式，避免出现丢根的错误。
【难度系数】
0.6
2. 方程$(x+1)(x-2)=x+1$的解是（
A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x_1=-1,x_2=2$
D.$x_1=-1,x_2=3$
D
）A.$x=2$
B.$x=3$
C.$x_1=-1,x_2=2$
D.$x_1=-1,x_2=3$
答案
原方程移项，得$(x+1)(x-2)-(x+1)=0$。提公因式，得$(x+1)(x-2-1)=0$，即$x+1=0,x-2-1=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$。
解析
【分析】
拿到这道题首先要注意，方程左右两侧都含有公因式(x+1)，如果直接在等式两边同时除以(x+1)，会默认x+1≠0，直接漏掉x=-1这个合法的根，是典型的易错操作。正确的解题思路是：先将右侧的x+1整体移到方程左侧，让等式右侧变为0，之后对左侧的多项式提取公因式(x+1)，把原方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再依据“两数乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，拆分得到两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的全部根，最后匹配选项得到答案。
【解析】
第一步：移项，将方程右侧的x+1移到左侧，整理得：
$(x+1)(x-2)-(x+1)=0$
第二步：提取公因式(x+1)，将剩余部分合并化简：
$(x+1)(x-2-1)=0$
即：
$(x+1)(x-3)=0$
第三步：令两个因式分别等于0，得到两个一元一次方程：
$x+1=0$ 或 $x-3=0$
分别求解得：$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的高频易错题，最常见的错误是直接约去等式两边的(x+1)，只得到x=3的解错选B，还有部分同学移项后忘记给(x-2)减1，错得到(x+1)(x-2)=0错选C。大家要牢记：解等式时不能随意两边除以含有未知数的代数式，避免遗漏使该代数式为0的根。
【难度系数】
0.7
拿到这道题首先要注意，方程左右两侧都含有公因式(x+1)，如果直接在等式两边同时除以(x+1)，会默认x+1≠0，直接漏掉x=-1这个合法的根，是典型的易错操作。正确的解题思路是：先将右侧的x+1整体移到方程左侧，让等式右侧变为0，之后对左侧的多项式提取公因式(x+1)，把原方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，再依据“两数乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，拆分得到两个一元一次方程，分别求解就能得到原方程的全部根，最后匹配选项得到答案。
【解析】
第一步：移项，将方程右侧的x+1移到左侧，整理得：
$(x+1)(x-2)-(x+1)=0$
第二步：提取公因式(x+1)，将剩余部分合并化简：
$(x+1)(x-2-1)=0$
即：
$(x+1)(x-3)=0$
第三步：令两个因式分别等于0，得到两个一元一次方程：
$x+1=0$ 或 $x-3=0$
分别求解得：$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法
【点评】
本题属于一元二次方程求解的高频易错题，最常见的错误是直接约去等式两边的(x+1)，只得到x=3的解错选B，还有部分同学移项后忘记给(x-2)减1，错得到(x+1)(x-2)=0错选C。大家要牢记：解等式时不能随意两边除以含有未知数的代数式，避免遗漏使该代数式为0的根。
【难度系数】
0.7
3. 已知一个等腰三角形的两边长度分别是方程$x^{2}-x=2(x-1)$的两个实数根，则该等腰三角形的第三边的长是
2
。答案
$x^{2}-x=2(x-1),x(x-1)=2(x-1),\therefore (x-1)(x-2)=0.\therefore x_1=1,x_2=2.$ 当腰长为1，底边长为2时，$\because 1+1=2,\therefore$ 此三角形不存在. 当腰长为2，底边长为1时，符合三角形的三边关系. $\therefore$ 该等腰三角形的第三边的长是2。
解析
【分析】
解题思路分三步推进：第一步先求解题干给出的一元二次方程，得到两个实数根，也就是题目告知的等腰三角形的两条已知边的长度；第二步结合等腰三角形两条边相等的性质，分两种情况讨论边长组合：分别把两个根作为腰长，对应另一个根作为底边长，得到两组候选的三边长；第三步用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”对两组组合逐一校验，排除无法构成三角形的情况，最终得到符合要求的第三边长度，要特别注意不能跳过三边验证的步骤，避免出现不符合几何规则的错误结果。
【解析】
首先求解给定的一元二次方程：
原方程 $x^{2}-x=2(x-1)$，
对等式两边因式分解变形可得：$x(x-1)=2(x-1)$，
移项后提取公因式整理得：$(x-1)(x-2)=0$，
解得方程的两个实数根为 $x_1=1$，$x_2=2$，即该等腰三角形已知的两条边长为1和2。
接下来分两种情况讨论边长的合理性：
1. 若腰长为1，底边长为2，此时三角形三边长为1、1、2，
由于 $1+1=2$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，该三角形不存在，此情况直接舍去；
2. 若腰长为2，底边长为1，此时三角形三边长为2、2、1，
由于 $2+1＞2$、$2+2＞1$，完全符合三角形三边关系，该等腰三角形成立。
因此符合要求的第三边长度为2。
【答案】
2
【知识点】
解一元二次方程，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型易错题，核心陷阱是不少同学解出方程的根后，直接忽略三边关系的校验，错误得出第三边可以是1的结论，解题时要牢记所有涉及等腰三角形边长的问题，得到候选边长后必须用三边规则验证，排除无效组合。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步推进：第一步先求解题干给出的一元二次方程，得到两个实数根，也就是题目告知的等腰三角形的两条已知边的长度；第二步结合等腰三角形两条边相等的性质，分两种情况讨论边长组合：分别把两个根作为腰长，对应另一个根作为底边长，得到两组候选的三边长；第三步用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”对两组组合逐一校验，排除无法构成三角形的情况，最终得到符合要求的第三边长度，要特别注意不能跳过三边验证的步骤，避免出现不符合几何规则的错误结果。
【解析】
首先求解给定的一元二次方程：
原方程 $x^{2}-x=2(x-1)$，
对等式两边因式分解变形可得：$x(x-1)=2(x-1)$，
移项后提取公因式整理得：$(x-1)(x-2)=0$，
解得方程的两个实数根为 $x_1=1$，$x_2=2$，即该等腰三角形已知的两条边长为1和2。
接下来分两种情况讨论边长的合理性：
1. 若腰长为1，底边长为2，此时三角形三边长为1、1、2，
由于 $1+1=2$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，该三角形不存在，此情况直接舍去；
2. 若腰长为2，底边长为1，此时三角形三边长为2、2、1，
由于 $2+1＞2$、$2+2＞1$，完全符合三角形三边关系，该等腰三角形成立。
因此符合要求的第三边长度为2。
【答案】
2
【知识点】
解一元二次方程，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型易错题，核心陷阱是不少同学解出方程的根后，直接忽略三边关系的校验，错误得出第三边可以是1的结论，解题时要牢记所有涉及等腰三角形边长的问题，得到候选边长后必须用三边规则验证，排除无效组合。
【难度系数】
0.6
4. 用因式分解法解下列方程：
(1) $x^{2}+16x=0.$
(2) $(3x+2)^{2}-4x^{2}=0.$
(3) $2x(x+3)-3(x+3)=0.$
(4) $(x-3)(x-1)=3.$
(1) $x^{2}+16x=0.$
(2) $(3x+2)^{2}-4x^{2}=0.$
(3) $2x(x+3)-3(x+3)=0.$
(4) $(x-3)(x-1)=3.$
答案
(1) $x_1=0,x_2=-16.$
(2) $x_1=-2,x_2=-\frac{2}{5}.$
(3) $x_1=-3,x_2=\frac{3}{2}.$
(4) $x_1=0,x_2=4.$
(2) $x_1=-2,x_2=-\frac{2}{5}.$
(3) $x_1=-3,x_2=\frac{3}{2}.$
(4) $x_1=0,x_2=4.$
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为“左边是整式乘积、右边等于0”的形式，再利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。
针对这4道小题的思考路径：
1. 第(1)题直接观察到左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
2. 第(2)题符合平方差公式a²-b²的结构特征，直接套用平方差公式分解因式；
3. 第(3)题右侧已经是0，左边两项有公因式(x+3)，直接提取公因式分解；
4. 第(4)题不能直接分解，需要先将左边展开、移项合并同类项，把右边化为0后再提取公因式分解。
【解析】
(1) 对原方程左边提取公因式x：
$x(x + 16) = 0$
令两个一次因式分别为0，得：
$x=0$ 或 $x+16=0$
解得：$x_1=0, x_2=-16$
(2) 原方程符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，其中$a=3x+2$，$b=2x$，代入分解得：
$(3x+2 - 2x)(3x+2 + 2x) = 0$
化简得：
$(x + 2)(5x + 2) = 0$
令两个一次因式分别为0，得：
$x+2=0$ 或 $5x+2=0$
解得：$x_1=-2, x_2=-\frac{2}{5}$
(3) 对原方程左边提取公因式$(x+3)$：
$(x+3)(2x - 3) = 0$
令两个一次因式分别为0，得：
$x+3=0$ 或 $2x-3=0$
解得：$x_1=-3, x_2=\frac{3}{2}$
(4) 先将原方程左边展开：
$x^2 - x -3x + 3 = 3$
移项、合并同类项，将右边化为0：
$x^2 -4x = 0$
提取公因式x：
$x(x - 4) = 0$
令两个一次因式分别为0，得：
$x=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=0, x_2=4$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-16.$
(2) $x_1=-2,x_2=-\frac{2}{5}.$
(3) $x_1=-3,x_2=\frac{3}{2}.$
(4) $x_1=0,x_2=4.$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式分解因式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，覆盖了直接提公因式、套用平方差公式、先整理再分解三类常见考法，解题时要注意必须先将方程右侧化为0再分解，禁止直接给方程两边除以含未知数的公因式，避免丢失根。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程整理为“左边是整式乘积、右边等于0”的形式，再利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。
针对这4道小题的思考路径：
1. 第(1)题直接观察到左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
2. 第(2)题符合平方差公式a²-b²的结构特征，直接套用平方差公式分解因式；
3. 第(3)题右侧已经是0，左边两项有公因式(x+3)，直接提取公因式分解；
4. 第(4)题不能直接分解，需要先将左边展开、移项合并同类项，把右边化为0后再提取公因式分解。
【解析】
(1) 对原方程左边提取公因式x：
$x(x + 16) = 0$
令两个一次因式分别为0，得：
$x=0$ 或 $x+16=0$
解得：$x_1=0, x_2=-16$
(2) 原方程符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，其中$a=3x+2$，$b=2x$，代入分解得：
$(3x+2 - 2x)(3x+2 + 2x) = 0$
化简得：
$(x + 2)(5x + 2) = 0$
令两个一次因式分别为0，得：
$x+2=0$ 或 $5x+2=0$
解得：$x_1=-2, x_2=-\frac{2}{5}$
(3) 对原方程左边提取公因式$(x+3)$：
$(x+3)(2x - 3) = 0$
令两个一次因式分别为0，得：
$x+3=0$ 或 $2x-3=0$
解得：$x_1=-3, x_2=\frac{3}{2}$
(4) 先将原方程左边展开：
$x^2 - x -3x + 3 = 3$
移项、合并同类项，将右边化为0：
$x^2 -4x = 0$
提取公因式x：
$x(x - 4) = 0$
令两个一次因式分别为0，得：
$x=0$ 或 $x-4=0$
解得：$x_1=0, x_2=4$
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=-16.$
(2) $x_1=-2,x_2=-\frac{2}{5}.$
(3) $x_1=-3,x_2=\frac{3}{2}.$
(4) $x_1=0,x_2=4.$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式分解因式，平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础典型题，覆盖了直接提公因式、套用平方差公式、先整理再分解三类常见考法，解题时要注意必须先将方程右侧化为0再分解，禁止直接给方程两边除以含未知数的公因式，避免丢失根。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c)x^2+2bx+(b-c)=0$,其中,$a,b,c$ 分别是 $△ ABC$ 的三边长.
(1) 如果 $x=-1$ 是方程的根,试判断 $△ ABC$ 的形状,并说明理由.
(2) 如果 $△ ABC$ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
(1) 如果 $x=-1$ 是方程的根,试判断 $△ ABC$ 的形状,并说明理由.
(2) 如果 $△ ABC$ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
答案
(1) $△ ABC$ 是等腰三角形. 理由:把 $x=-1$ 代入方程$(a+c)x^2+2bx+(b-c)=0$,得 $a+c-2b+b-c=0.$$\therefore a=b. \therefore △ ABC$ 为等腰三角形.
(2) $\because △ ABC$ 为等边三角形，$\therefore a=b=c. \therefore$ 方程$(a+c)x^2+2bx+(b-c)=0$ 可化为 $x^2+x=0$,解得 $x_1=0,x_2=-1.$
(2) $\because △ ABC$ 为等边三角形，$\therefore a=b=c. \therefore$ 方程$(a+c)x^2+2bx+(b-c)=0$ 可化为 $x^2+x=0$,解得 $x_1=0,x_2=-1.$
解析
【分析】
这是一道一元二次方程与三角形性质结合的基础综合题，我们可以分两小问梳理思路：
1. 第一问已知x=-1是方程的根，根据方程根的定义，把根代入原方程后等式必然成立，代入后化简消去同类项，就能得到三角形三边a、b、c的数量关系，据此即可判断三角形的形状。
2. 第二问已知△ABC是等边三角形，利用等边三角形三边完全相等的性质，把b、c都用a替换代入原方程，消去参数后得到只含x的一元二次方程，求解该方程就能得到对应的根。
【解析】
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because x=-1$是方程$(a+c)x^2+2bx+(b-c)=0$的根，
$\therefore$ 将$x=-1$代入原方程得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (b-c) = 0$
展开计算得：$a+c-2b+b-c=0$
合并同类项化简得：$a-b=0$，即$a=b$
$\because a、b$是$△ ABC$的两条边长，两边相等，
$\therefore △ ABC$为等腰三角形。
(2) 当$△ ABC$是等边三角形时，根据等边三角形的性质可得$a=b=c$，且边长为正，满足$a+c≠0$，符合一元二次方程定义要求。
将$b=a$、$c=a$代入原方程：
$(a+a)x^2 + 2ax + (a-a) = 0$
化简得：$2ax^2+2ax=0$
$\because a$是三角形边长，$a≠0$，方程两边同时除以$2a$得：
$x^2+x=0$
因式分解得：$x(x+1)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由见解析；(2) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，等腰三角形判定，等边三角形性质
【点评】
本题属于代数几何基础综合题型，核心考察对方程根的概念、特殊三角形边长性质的掌握，解题关键是通过代入条件消去参数，将含多个边长参数的方程转化为常规一元二次方程求解，注意利用边长为正的隐含条件，可直接约去非零参数简化计算。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程与三角形性质结合的基础综合题，我们可以分两小问梳理思路：
1. 第一问已知x=-1是方程的根，根据方程根的定义，把根代入原方程后等式必然成立，代入后化简消去同类项，就能得到三角形三边a、b、c的数量关系，据此即可判断三角形的形状。
2. 第二问已知△ABC是等边三角形，利用等边三角形三边完全相等的性质，把b、c都用a替换代入原方程，消去参数后得到只含x的一元二次方程，求解该方程就能得到对应的根。
【解析】
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because x=-1$是方程$(a+c)x^2+2bx+(b-c)=0$的根，
$\therefore$ 将$x=-1$代入原方程得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (b-c) = 0$
展开计算得：$a+c-2b+b-c=0$
合并同类项化简得：$a-b=0$，即$a=b$
$\because a、b$是$△ ABC$的两条边长，两边相等，
$\therefore △ ABC$为等腰三角形。
(2) 当$△ ABC$是等边三角形时，根据等边三角形的性质可得$a=b=c$，且边长为正，满足$a+c≠0$，符合一元二次方程定义要求。
将$b=a$、$c=a$代入原方程：
$(a+a)x^2 + 2ax + (a-a) = 0$
化简得：$2ax^2+2ax=0$
$\because a$是三角形边长，$a≠0$，方程两边同时除以$2a$得：
$x^2+x=0$
因式分解得：$x(x+1)=0$
解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $△ ABC$是等腰三角形，理由见解析；(2) 方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义，等腰三角形判定，等边三角形性质
【点评】
本题属于代数几何基础综合题型，核心考察对方程根的概念、特殊三角形边长性质的掌握，解题关键是通过代入条件消去参数，将含多个边长参数的方程转化为常规一元二次方程求解，注意利用边长为正的隐含条件，可直接约去非零参数简化计算。
【难度系数】
0.7
6. 若$x^{2}-x-1=(x+1)^{0}$,则$x$的值为（
A.2或$-1$
B.0或1
C.2
D.$-1$
C
）A.2或$-1$
B.0或1
C.2
D.$-1$
答案
$\because x^2-x-1=(x+1)^0,\therefore x^2-x-1=1$,即$(x-2)(x+1)=0$,解得$x_1=2,x_2=-1.$ 又$\because x+1≠0$,即$x≠-1,\therefore x=2.$
解析
【分析】
这道题的核心陷阱是零指数幂的隐含限制条件，解题时首先要回忆零指数幂的运算规则：非零实数的0次幂等于1，因此首先要明确等式右边$(x+1)^0$有意义的前提是底数$x+1≠0$，也就是$x≠-1$。接下来将等式右边的非零数的0次幂替换为1，原方程就转化为普通的一元二次方程，解出一元二次方程的两个根之后，再把不符合零指数幂有意义条件的根舍去，就能得到最终符合要求的x值，再对应选项选出答案。
【解析】
解：根据零指数幂的定义，要使$(x+1)^0$有意义，需满足底数不为0，即：
$x+1 ≠ 0$，解得$x ≠ -1$。
此时等式右边$(x+1)^0 = 1$，代入原方程得：
$x^2 - x - 1 = 1$
整理得一元二次方程：
$x^2 - x - 2 = 0$
对左边因式分解可得：
$(x-2)(x+1) = 0$
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=-1$。
结合之前得到的$x ≠ -1$的限制条件，舍去不符合要求的根$x=-1$，最终得到$x=2$。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂性质，因式分解解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是忽略零指数幂底数不能为0的隐含条件，直接解一元二次方程得到两个根就误选A选项，解题时要优先考虑带限制条件的表达式的定义域，再进行后续运算，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
这道题的核心陷阱是零指数幂的隐含限制条件，解题时首先要回忆零指数幂的运算规则：非零实数的0次幂等于1，因此首先要明确等式右边$(x+1)^0$有意义的前提是底数$x+1≠0$，也就是$x≠-1$。接下来将等式右边的非零数的0次幂替换为1，原方程就转化为普通的一元二次方程，解出一元二次方程的两个根之后，再把不符合零指数幂有意义条件的根舍去，就能得到最终符合要求的x值，再对应选项选出答案。
【解析】
解：根据零指数幂的定义，要使$(x+1)^0$有意义，需满足底数不为0，即：
$x+1 ≠ 0$，解得$x ≠ -1$。
此时等式右边$(x+1)^0 = 1$，代入原方程得：
$x^2 - x - 1 = 1$
整理得一元二次方程：
$x^2 - x - 2 = 0$
对左边因式分解可得：
$(x-2)(x+1) = 0$
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=-1$。
结合之前得到的$x ≠ -1$的限制条件，舍去不符合要求的根$x=-1$，最终得到$x=2$。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂性质，因式分解解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是忽略零指数幂底数不能为0的隐含条件，直接解一元二次方程得到两个根就误选A选项，解题时要优先考虑带限制条件的表达式的定义域，再进行后续运算，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
7. 方程 $2(x-3)^2=9-x^2$ 的根是（
A.$x_1=0,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=x_2=3$
C
）A.$x_1=0,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=3$
D.$x_1=x_2=3$
答案
$\because 2(x-3)^2=9-x^2,\therefore 2(x-3)^2+(x+3)(x-3)=0.\therefore (x-3)[2(x-3)+(x+3)]=0$,即$(x-3)(3x-3)=0.\therefore x_1=1,x_2=3.$
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求解的基础题，解题时优先观察方程左右两边的结构特征：右侧的$9-x^2$是典型的平方差形式，选择因式分解法求解会比直接展开整理更简便。首先把右侧所有项移到左侧，将$9-x^2$用平方差公式分解后，左右两侧会出现公因式$(x-3)$，提取公因式后就能把二次方程降次为两个一次因式乘积为0的形式，分别令每个因式等于0即可快速求出方程的根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程做移项变形：
原方程为 $2(x-3)^2=9-x^2$，
利用平方差公式分解右侧的$9-x^2$，可得$9-x^2=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3)$，
将右侧项全部移到左侧得：
$2(x-3)^2 + x^2 -9=0$，即$2(x-3)^2 + (x+3)(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)[2(x-3)+(x+3)]=0$，
化简中括号内的表达式：$2(x-3)+(x+3)=2x-6+x+3=3x-3$，
方程进一步变为：$(x-3)(3x-3)=0$，
令两个因式分别为0：
$x-3=0$ 或 $3x-3=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=1$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题，通过观察式子结构选择因式分解法可以大幅简化运算，避免直接全部展开带来的繁琐计算和出错概率，解题过程中注意移项要变号，准确识别公因式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程求解的基础题，解题时优先观察方程左右两边的结构特征：右侧的$9-x^2$是典型的平方差形式，选择因式分解法求解会比直接展开整理更简便。首先把右侧所有项移到左侧，将$9-x^2$用平方差公式分解后，左右两侧会出现公因式$(x-3)$，提取公因式后就能把二次方程降次为两个一次因式乘积为0的形式，分别令每个因式等于0即可快速求出方程的根，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对原方程做移项变形：
原方程为 $2(x-3)^2=9-x^2$，
利用平方差公式分解右侧的$9-x^2$，可得$9-x^2=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3)$，
将右侧项全部移到左侧得：
$2(x-3)^2 + x^2 -9=0$，即$2(x-3)^2 + (x+3)(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)[2(x-3)+(x+3)]=0$，
化简中括号内的表达式：$2(x-3)+(x+3)=2x-6+x+3=3x-3$，
方程进一步变为：$(x-3)(3x-3)=0$，
令两个因式分别为0：
$x-3=0$ 或 $3x-3=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=1$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题，通过观察式子结构选择因式分解法可以大幅简化运算，避免直接全部展开带来的繁琐计算和出错概率，解题过程中注意移项要变号，准确识别公因式是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $x=3$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(m+1)x+2m=0$ 的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形 $ABC$ 的两条边的长,则$△ ABC$ 的周长为（
A.7
B.10
C.11
D.10 或 11
D
）A.7
B.10
C.11
D.10 或 11
答案
把$x=3$代入方程$x^2-(m+1)x+2m=0$,得$9-3(m+1)+2m=0$,解得$m=6. \therefore$ 原方程为$x^2-7x+12=0$,解得$x_1=3,x_2=4. \because$ 这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形$ABC$的两条边的长，$\therefore$ ① 当$△ ABC$的腰长为4，底边长为3时，$△ ABC$的周长为$4+4+3=11$；② 当$△ ABC$的腰长为3，底边长为4时，$△ ABC$的周长为$3+3+4=10.$ 综上所述，$△ ABC$的周长为10或11。
解析
【分析】
这道题的解题思路可以按三步推进：第一步，已知x=3是方程的实数根，直接将该根代入原方程，就能求出未知参数m的取值；第二步，把求得的m代回原方程，解出完整一元二次方程的两个实数根；第三步，由于这两个根是等腰三角形的两条边长，需要分两类讨论：分别将两个根作为腰长、另一根作为底边长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最终计算出所有符合条件的三角形周长即可。
【解析】
1. 代入已知根求参数m：
把$x=3$代入方程$x^2-(m+1)x+2m=0$，可得：
$9 - 3(m+1) + 2m = 0$
化简计算得$6 - m = 0$，解得$m=6$。
2. 求解原一元二次方程：
将$m=6$代回原方程，得到方程为$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得两个根为$x_1=3$，$x_2=4$。
3. 分类讨论等腰三角形边长：
两个根3和4是等腰三角形的两条边长，分两种合法情况：
① 当腰长为3，底边长为4时，三边为3、3、4，满足三角形三边关系$3+3＞4$，此时周长为$3+3+4=10$；
② 当腰长为4，底边长为3时，三边为4、4、3，满足三角形三边关系$3+4＞4$，此时周长为$4+4+3=11$。
因此△ABC的周长为10或11。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何结合的综合基础题，重点考查分类讨论思想的应用，易错点是容易遗漏其中一种等腰边长的组合，解题时要注意所有边长组合都需要用三边关系验证，避免得到不符合几何规则的错误结果。
【难度系数】
0.6
这道题的解题思路可以按三步推进：第一步，已知x=3是方程的实数根，直接将该根代入原方程，就能求出未知参数m的取值；第二步，把求得的m代回原方程，解出完整一元二次方程的两个实数根；第三步，由于这两个根是等腰三角形的两条边长，需要分两类讨论：分别将两个根作为腰长、另一根作为底边长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最终计算出所有符合条件的三角形周长即可。
【解析】
1. 代入已知根求参数m：
把$x=3$代入方程$x^2-(m+1)x+2m=0$，可得：
$9 - 3(m+1) + 2m = 0$
化简计算得$6 - m = 0$，解得$m=6$。
2. 求解原一元二次方程：
将$m=6$代回原方程，得到方程为$x^2 -7x +12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得两个根为$x_1=3$，$x_2=4$。
3. 分类讨论等腰三角形边长：
两个根3和4是等腰三角形的两条边长，分两种合法情况：
① 当腰长为3，底边长为4时，三边为3、3、4，满足三角形三边关系$3+3＞4$，此时周长为$3+3+4=10$；
② 当腰长为4，底边长为3时，三边为4、4、3，满足三角形三边关系$3+4＞4$，此时周长为$4+4+3=11$。
因此△ABC的周长为10或11。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何结合的综合基础题，重点考查分类讨论思想的应用，易错点是容易遗漏其中一种等腰边长的组合，解题时要注意所有边长组合都需要用三边关系验证，避免得到不符合几何规则的错误结果。
【难度系数】
0.6
9. 若关于$x$的方程$x^{2}-2px+3q=0$的两个根分别是$-3$和$5$,则多项式$2x^{2}-4px+6q$可以分解因式为
2(x+3)(x-5)
.答案
$\because x^2-2px+3q=0$的两个根分别是$-3$和$5$，$\therefore 2x^2-4px+6q=2(x^2-2px+3q)=2(x+3)(x-5).$
解析
【分析】
首先我们可以先观察待分解的多项式和已知根的方程之间的关系，不需要额外求解参数p、q的具体数值：第一步，先对待分解的多项式提取公因式2，就能发现括号内的部分正好是已知两根的二次式$x^2-2px+3q$；第二步，利用“若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1,x_2$，则对应二次三项式可分解为$a(x-x_1)(x-x_2)$”的结论，直接代入已知的两个根-3和5，就能完成因式分解，整体代换的思路可以大幅简化运算。
【解析】
1. 对待分解的多项式提取公因式2：
$2x^2-4px+6q = 2(x^2 - 2px + 3q)$
2. 已知方程$x^2-2px+3q=0$的两个根是-3和5，根据二次三项式的因式分解与一元二次方程根的对应关系，可得：
$x^2 - 2px + 3q = [x - (-3)](x - 5) = (x+3)(x-5)$
3. 将上述结果代入第一步的式子中，可得最终分解结果。
【答案】
$2(x+3)(x-5)$
【知识点】
提公因式法因式分解；一元二次方程根与因式的关系
【点评】
本题没有要求计算参数p、q的具体值，通过整体代换的思路直接利用已知方程的根完成因式分解，避免了多余的参数运算，重点考察学生对二次三项式因式分解和一元二次方程根的关联的理解，引导学生优先观察式子结构特征选择简便解法。
【难度系数】
0.7
首先我们可以先观察待分解的多项式和已知根的方程之间的关系，不需要额外求解参数p、q的具体数值：第一步，先对待分解的多项式提取公因式2，就能发现括号内的部分正好是已知两根的二次式$x^2-2px+3q$；第二步，利用“若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1,x_2$，则对应二次三项式可分解为$a(x-x_1)(x-x_2)$”的结论，直接代入已知的两个根-3和5，就能完成因式分解，整体代换的思路可以大幅简化运算。
【解析】
1. 对待分解的多项式提取公因式2：
$2x^2-4px+6q = 2(x^2 - 2px + 3q)$
2. 已知方程$x^2-2px+3q=0$的两个根是-3和5，根据二次三项式的因式分解与一元二次方程根的对应关系，可得：
$x^2 - 2px + 3q = [x - (-3)](x - 5) = (x+3)(x-5)$
3. 将上述结果代入第一步的式子中，可得最终分解结果。
【答案】
$2(x+3)(x-5)$
【知识点】
提公因式法因式分解；一元二次方程根与因式的关系
【点评】
本题没有要求计算参数p、q的具体值，通过整体代换的思路直接利用已知方程的根完成因式分解，避免了多余的参数运算，重点考察学生对二次三项式因式分解和一元二次方程根的关联的理解，引导学生优先观察式子结构特征选择简便解法。
【难度系数】
0.7
