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7. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2-6x+q=0$ 配方后是 $(x-p)^2=7$, 则关于 $x$ 的方程 $x^2+6x+q=0$ 配方后是（
A.$(x-3)^2=5$
B.$(x+3)^2=5$
C.$(x-3)^2=9$
D.$(x+3)^2=7$
D
）A.$(x-3)^2=5$
B.$(x+3)^2=5$
C.$(x-3)^2=9$
D.$(x+3)^2=7$
答案
$\because$ 方程 $x^{2}-6x+q=0$ 配方后是 $(x-p)^{2}=7, \therefore x^{2}-2px+p^{2}=7. \therefore -6=-2p$, 解得 $p=3$, 即 $(x-3)^{2}=7. \therefore x^{2}-6x+9-7=0. \therefore q=2. \therefore x^{2}+6x+q=0$, 即 $x^{2}+6x+2=0$ 配方后是 $(x+3)^{2}=7.$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先把已知的配方后的式子$(x-p)^2=7$展开，得到它的一般形式，和原方程$x^2-6x+q=0$的对应系数对比，先求出p的取值；第二步，把p代回，就能算出参数q的值；第三步，把得到的q代入待配方的方程$x^2+6x+q=0$，按照配方法的规则：二次项系数为1时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后就能得到配方后的结果，对应选项选出答案。
【解析】
解：
1. 展开已知的配方等式$(x-p)^2=7$，得：
$x^2 - 2px + p^2 =7$，整理为一元二次方程一般形式：$x^2 -2px + p^2 -7=0$
2. 该式和原方程$x^2 -6x +q=0$对应系数相等，因此一次项系数满足$-2p=-6$，解得$p=3$。
3. 将$p=3$代入，可得原方程对应配方形式为$(x-3)^2=7$，展开移项后为$x^2-6x+2=0$，对比常数项可得$q=2$。
4. 将$q=2$代入待配方的方程$x^2+6x+q=0$，得到$x^2+6x+2=0$，对其配方：
一次项系数为6，取一半得3，平方为9，在方程两边同时加9，整理得：
$x^2+6x+9=7$，即$(x+3)^2=7$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程配方法，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用型题目，核心是通过已知条件先求出未知参数p、q，再对目标方程完成配方，解题时注意一次项系数的符号，避免配方时括号内的常数项符号出错，整体计算量小，侧重考察对配方法原理的理解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先把已知的配方后的式子$(x-p)^2=7$展开，得到它的一般形式，和原方程$x^2-6x+q=0$的对应系数对比，先求出p的取值；第二步，把p代回，就能算出参数q的值；第三步，把得到的q代入待配方的方程$x^2+6x+q=0$，按照配方法的规则：二次项系数为1时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理后就能得到配方后的结果，对应选项选出答案。
【解析】
解：
1. 展开已知的配方等式$(x-p)^2=7$，得：
$x^2 - 2px + p^2 =7$，整理为一元二次方程一般形式：$x^2 -2px + p^2 -7=0$
2. 该式和原方程$x^2 -6x +q=0$对应系数相等，因此一次项系数满足$-2p=-6$，解得$p=3$。
3. 将$p=3$代入，可得原方程对应配方形式为$(x-3)^2=7$，展开移项后为$x^2-6x+2=0$，对比常数项可得$q=2$。
4. 将$q=2$代入待配方的方程$x^2+6x+q=0$，得到$x^2+6x+2=0$，对其配方：
一次项系数为6，取一半得3，平方为9，在方程两边同时加9，整理得：
$x^2+6x+9=7$，即$(x+3)^2=7$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程配方法，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础应用型题目，核心是通过已知条件先求出未知参数p、q，再对目标方程完成配方，解题时注意一次项系数的符号，避免配方时括号内的常数项符号出错，整体计算量小，侧重考察对配方法原理的理解。
【难度系数】
0.8
8. 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数，且满足$2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$，则$△ ABC$的周长是
7
。答案
$\because 2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0, \therefore 2a^{2}-4a+2+b^{2}-6b+9=0. \therefore 2(a-1)^{2}+(b-3)^{2}=0. \therefore a-1=0,b-3=0$, 解得 $a=1,b=3. \therefore 3-1＜c＜3+1$, 即 $2＜c＜4. \because c$ 是正整数, $\therefore c=3. \therefore △ ABC$ 的周长为 $1+3+3=7.$
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分三步推进：1. 观察已知的等式，它同时含有a、b两个变量的二次项和一次项，仅靠普通解方程无法直接求出两个未知数，因此优先选择配方法，将原式拆凑成几个完全平方相加的形式，利用“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，直接解出a和b的具体正整数值；2. 得到a、b的取值后，根据三角形三边的不等关系，列出第三边c的取值范围；3. 结合c是正整数的限定条件确定c的取值，最后将三边相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
首先对给定的等式进行配方变形：
已知 $2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$，
将常数项11拆分为2+9，分组得：
$2a^{2}-4a+2 + b^{2}-6b+9=0$，
对两组分别提取系数、凑完全平方：
$2(a^2-2a+1) + (b^2-6b+9)=0$，
即 $2(a-1)^2 + (b-3)^2=0$。
因为平方数具有非负性，$(a-1)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，因此要让两个非负项相加等于0，必须满足：
$a-1=0$，$b-3=0$，
解得 $a=1$，$b=3$。
接下来根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$b-a ＜ c ＜ a+b$，代入a=1，b=3得：
$3-1 ＜ c ＜ 3+1$，即 $2 ＜ c ＜ 4$。
又因为c是正整数，因此满足条件的c只能取3。
最后计算△ABC的周长：$a+b+c=1+3+3=7$。
【答案】
7
【知识点】
配方法；非负数性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础综合题，核心考点是配方法的应用，易错点是确定第三边c的取值时，容易忽略“两边之和严格大于第三边”的要求，误将c取为2或4，导致后续周长计算错误，解题时要注意构成三角形的三边必须满足不等关系的约束。
【难度系数】
0.7
这道题的解题思路可以分三步推进：1. 观察已知的等式，它同时含有a、b两个变量的二次项和一次项，仅靠普通解方程无法直接求出两个未知数，因此优先选择配方法，将原式拆凑成几个完全平方相加的形式，利用“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，直接解出a和b的具体正整数值；2. 得到a、b的取值后，根据三角形三边的不等关系，列出第三边c的取值范围；3. 结合c是正整数的限定条件确定c的取值，最后将三边相加即可得到△ABC的周长。
【解析】
首先对给定的等式进行配方变形：
已知 $2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$，
将常数项11拆分为2+9，分组得：
$2a^{2}-4a+2 + b^{2}-6b+9=0$，
对两组分别提取系数、凑完全平方：
$2(a^2-2a+1) + (b^2-6b+9)=0$，
即 $2(a-1)^2 + (b-3)^2=0$。
因为平方数具有非负性，$(a-1)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，因此要让两个非负项相加等于0，必须满足：
$a-1=0$，$b-3=0$，
解得 $a=1$，$b=3$。
接下来根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$b-a ＜ c ＜ a+b$，代入a=1，b=3得：
$3-1 ＜ c ＜ 3+1$，即 $2 ＜ c ＜ 4$。
又因为c是正整数，因此满足条件的c只能取3。
最后计算△ABC的周长：$a+b+c=1+3+3=7$。
【答案】
7
【知识点】
配方法；非负数性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础综合题，核心考点是配方法的应用，易错点是确定第三边c的取值时，容易忽略“两边之和严格大于第三边”的要求，误将c取为2或4，导致后续周长计算错误，解题时要注意构成三角形的三边必须满足不等关系的约束。
【难度系数】
0.7
9. [2024 靖江段考]已知 $a=m^{2}+mn+n^{2},b=mn-n^{2},c=5mn-4m^{2}-3n^{2}$($m,n$ 为常数且均不为0)，比较 $a,b,c$ 的大小：
$a＞b＞c$
(用“$＞$”连接)。答案
$\because m,n$ 均不为 $0, \therefore a-b=m^{2}+mn+n^{2}-mn+n^{2}=m^{2}+2n^{2}＞0. \therefore a＞b. \because b-c=mn-n^{2}-5mn+4m^{2}+3n^{2}=4m^{2}-4mn+2n^{2}=(2m-n)^{2}+n^{2}＞0, \therefore b＞c. \therefore a＞b＞c.$
解析
【分析】
要比较三个代数式a、b、c的大小，我们可以使用代数式大小比较最常用的作差法：两两作差，将差化简后判断正负，若差大于0，则被减数大于减数。首先先计算a与b的差，化简后利用平方的非负性判断差的符号，得到a和b的大小关系；再计算b与c的差，通过配方将差转化为两个完全平方的和，结合m、n均不为0的条件，判断差恒正，得到b和c的大小关系，最后就能串联得到三者的大小顺序。
【解析】
解：
1. 比较a和b的大小：
计算a - b：
$\begin{aligned}a - b&=(m^2 + mn + n^2) - (mn - n^2)\\&=m^2 + mn + n^2 - mn + n^2\\&=m^2 + 2n^2\end{aligned}$
已知m、n均不为0，因此$m^2＞0$，$n^2＞0$，可得$m^2 + 2n^2＞0$，即$a - b＞0$，因此$a＞b$。
2. 比较b和c的大小：
计算b - c：
$\begin{aligned}b - c&=(mn - n^2) - (5mn - 4m^2 - 3n^2)\\&=mn - n^2 -5mn +4m^2 +3n^2\\&=4m^2 -4mn +2n^2\\&=(4m^2 -4mn +n^2) +n^2\\&=(2m -n)^2 +n^2\end{aligned}$
因为m、n均不为0，所以$n^2＞0$，且完全平方$(2m-n)^2≥0$，因此两者的和一定大于0，即$b - c＞0$，因此$b＞c$。
结合两个结论可得三者大小关系为$a＞b＞c$。
【答案】$a＞b＞c$
【知识点】作差法比大小；完全平方公式；非负数性质
【点评】本题是代数式大小比较的基础题型，核心考察作差法的应用，解题的关键是对作差后的多项式进行配方变形，利用平方的非负性判断差的符号，题目给出m、n均不为0的条件，避免了差为0的特殊情况，降低了讨论难度，是整式运算章节的常见考法。
【难度系数】0.6
要比较三个代数式a、b、c的大小，我们可以使用代数式大小比较最常用的作差法：两两作差，将差化简后判断正负，若差大于0，则被减数大于减数。首先先计算a与b的差，化简后利用平方的非负性判断差的符号，得到a和b的大小关系；再计算b与c的差，通过配方将差转化为两个完全平方的和，结合m、n均不为0的条件，判断差恒正，得到b和c的大小关系，最后就能串联得到三者的大小顺序。
【解析】
解：
1. 比较a和b的大小：
计算a - b：
$\begin{aligned}a - b&=(m^2 + mn + n^2) - (mn - n^2)\\&=m^2 + mn + n^2 - mn + n^2\\&=m^2 + 2n^2\end{aligned}$
已知m、n均不为0，因此$m^2＞0$，$n^2＞0$，可得$m^2 + 2n^2＞0$，即$a - b＞0$，因此$a＞b$。
2. 比较b和c的大小：
计算b - c：
$\begin{aligned}b - c&=(mn - n^2) - (5mn - 4m^2 - 3n^2)\\&=mn - n^2 -5mn +4m^2 +3n^2\\&=4m^2 -4mn +2n^2\\&=(4m^2 -4mn +n^2) +n^2\\&=(2m -n)^2 +n^2\end{aligned}$
因为m、n均不为0，所以$n^2＞0$，且完全平方$(2m-n)^2≥0$，因此两者的和一定大于0，即$b - c＞0$，因此$b＞c$。
结合两个结论可得三者大小关系为$a＞b＞c$。
【答案】$a＞b＞c$
【知识点】作差法比大小；完全平方公式；非负数性质
【点评】本题是代数式大小比较的基础题型，核心考察作差法的应用，解题的关键是对作差后的多项式进行配方变形，利用平方的非负性判断差的符号，题目给出m、n均不为0的条件，避免了差为0的特殊情况，降低了讨论难度，是整式运算章节的常见考法。
【难度系数】0.6
10. 已知实数$a$,$b$满足$(a^{2}+4a+6)(2b^{2}-4b+7) ≤ 10$,则$a+2b=$
0
.答案
$\because (a^{2}+4a+6)(2b^{2}-4b+7) ≤ 10, \therefore (a^{2}+4a+4+2)(2b^{2}-4b+2+5) ≤ 10. \therefore [(a+2)^{2}+2][2(b-1)^{2}+5] ≤ 10. \therefore 2(a+2)^{2}(b-1)^{2}+5(a+2)^{2}+4(b-1)^{2}+10 ≤ 10. \therefore 2(a+2)^{2}(b-1)^{2}+5(a+2)^{2}+4(b-1)^{2} ≤ 0. \because 2(a+2)^{2}(b-1)^{2} ≥ 0,5(a+2)^{2} ≥ 0,4(b-1)^{2} ≥ 0, \therefore a+2=0,b-1=0. \therefore a=-2,b=1. \therefore a+2b=-2+2=0.$
解析
【分析】
这道题给出两个含参数a、b的二次式的乘积小于等于10，核心解题思路是通过配方法对两个二次式分别变形：先对a的二次式$a^2+4a+6$配方，得到完全平方加常数的形式，可算出它的最小值为2；再对b的二次式$2b^2-4b+7$配方，算出它的最小值为5，两个最小值的乘积恰好等于10，和不等式右侧的数值完全相等。由于两个因式的取值都不可能小于各自的最小值，因此它们的乘积不可能小于10，结合题目的≤10条件，可知乘积只能等于10，也就是两个因式必须同时取到最小值，对应的完全平方项都为0，就能解出a、b的具体值，最后代入计算a+2b即可。
【解析】
解：
1. 对两个二次多项式分别配方：
$a^2+4a+6 = a^2+4a+4 + 2 = (a+2)^2 + 2$，
$2b^2-4b+7 = 2(b^2-2b+1) + 5 = 2(b-1)^2 + 5$。
2. 将配方结果代入原不等式：
$[(a+2)^2 + 2] · [2(b-1)^2 + 5] ≤ 10$，
展开左侧得：$2(a+2)^2(b-1)^2 +5(a+2)^2 +4(b-1)^2 +10 ≤ 10$，
移项化简得：$2(a+2)^2(b-1)^2 +5(a+2)^2 +4(b-1)^2 ≤ 0$。
3. 利用非负数的性质推导：
由平方数的非负性可知：$2(a+2)^2(b-1)^2 ≥ 0$，$5(a+2)^2 ≥ 0$，$4(b-1)^2 ≥ 0$，三个非负项的和小于等于0，说明每一项都必须为0，即：
$\begin{cases}a+2=0 \\ b-1=0\end{cases}$，解得$a=-2$，$b=1$。
4. 代入计算最终结果：
$a+2b = -2 + 2×1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
配方法，非负数的性质，完全平方公式
【点评】
本题的设计十分巧妙，两个二次式配方后的最小值乘积恰好等于不等式右侧的数值，无需复杂计算就可以确定不等式只能取等号，重点考察学生对配方法的灵活运用，以及对非负数性质的理解，提醒同学们遇到含多个变量的二次不等式时，优先尝试配方分析取值范围，不要盲目硬展开增加不必要的计算量。
【难度系数】
0.5
这道题给出两个含参数a、b的二次式的乘积小于等于10，核心解题思路是通过配方法对两个二次式分别变形：先对a的二次式$a^2+4a+6$配方，得到完全平方加常数的形式，可算出它的最小值为2；再对b的二次式$2b^2-4b+7$配方，算出它的最小值为5，两个最小值的乘积恰好等于10，和不等式右侧的数值完全相等。由于两个因式的取值都不可能小于各自的最小值，因此它们的乘积不可能小于10，结合题目的≤10条件，可知乘积只能等于10，也就是两个因式必须同时取到最小值，对应的完全平方项都为0，就能解出a、b的具体值，最后代入计算a+2b即可。
【解析】
解：
1. 对两个二次多项式分别配方：
$a^2+4a+6 = a^2+4a+4 + 2 = (a+2)^2 + 2$，
$2b^2-4b+7 = 2(b^2-2b+1) + 5 = 2(b-1)^2 + 5$。
2. 将配方结果代入原不等式：
$[(a+2)^2 + 2] · [2(b-1)^2 + 5] ≤ 10$，
展开左侧得：$2(a+2)^2(b-1)^2 +5(a+2)^2 +4(b-1)^2 +10 ≤ 10$，
移项化简得：$2(a+2)^2(b-1)^2 +5(a+2)^2 +4(b-1)^2 ≤ 0$。
3. 利用非负数的性质推导：
由平方数的非负性可知：$2(a+2)^2(b-1)^2 ≥ 0$，$5(a+2)^2 ≥ 0$，$4(b-1)^2 ≥ 0$，三个非负项的和小于等于0，说明每一项都必须为0，即：
$\begin{cases}a+2=0 \\ b-1=0\end{cases}$，解得$a=-2$，$b=1$。
4. 代入计算最终结果：
$a+2b = -2 + 2×1 = 0$。
【答案】
0
【知识点】
配方法，非负数的性质，完全平方公式
【点评】
本题的设计十分巧妙，两个二次式配方后的最小值乘积恰好等于不等式右侧的数值，无需复杂计算就可以确定不等式只能取等号，重点考察学生对配方法的灵活运用，以及对非负数性质的理解，提醒同学们遇到含多个变量的二次不等式时，优先尝试配方分析取值范围，不要盲目硬展开增加不必要的计算量。
【难度系数】
0.5
11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+2)x^2+3x+a^2-4=0$.
(1) 若方程有一个根为 0,求实数 $a$ 的值.
(2) 当 $a=1$ 时,用配方法解方程.
(1) 若方程有一个根为 0,求实数 $a$ 的值.
(2) 当 $a=1$ 时,用配方法解方程.
答案
(1) 把 $x=0$ 代入方程,得 $a^{2}-4=0$, 解得 $a_1=2,a_2=-2$. 由题意,得 $a+2 ≠ 0. \therefore a ≠ -2. \therefore a=2.$
(2) 把 $a=1$ 代入方程,得 $3x^{2}+3x-3=0$, 即 $x^{2}+x=1$. 配方,得 $x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$, 即 $(x+\dfrac{1}{2})^{2}=\dfrac{5}{4}$, 解得 $x_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
(2) 把 $a=1$ 代入方程,得 $3x^{2}+3x-3=0$, 即 $x^{2}+x=1$. 配方,得 $x^{2}+x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$, 即 $(x+\dfrac{1}{2})^{2}=\dfrac{5}{4}$, 解得 $x_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问我们可以利用方程根的性质来求解：首先已知x=0是方程的根，那么把x=0代入原方程，等式必然成立，这样就能得到一个只含a的方程，解出a的两个候选值。但要注意题目明确说明这是一元二次方程，所以二次项系数a+2不能等于0，要把不符合要求的a值舍去，最终得到正确的a。第二问要求用配方法解方程，第一步先把a=1代入原方程得到具体的一元二次方程，先把方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，接着在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式，之后直接开平方就能求出方程的两个根。
【解析】
(1) 已知方程有一个根为0，将$x=0$代入方程$(a+2)x^2+3x+a^2-4=0$，可得：
$a^2 - 4 = 0$
解得$a_1=2$，$a_2=-2$
因为该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即$a+2 ≠ 0$，也就是$a ≠ -2$
舍去不符合条件的$a=-2$，最终得$a=2$。
(2) 当$a=1$时，将$a=1$代入原方程，得：
$(1+2)x^2 + 3x + 1^2 -4 = 0$
整理得$3x^2 + 3x - 3 = 0$
方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，移项得：
$x^2 + x = 1$
在等式两边同时加上一次项系数1的一半的平方$\frac{1}{4}$进行配方：
$x^2 + x + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}$
即$(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$
对等式两边开平方，得：
$x + \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
分别求解得：
$x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程定义；配方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常规考题，核心易错点集中在第一问，很多同学求解出a的两个值后，容易忽略题目给出的“一元二次方程”的隐含限制，忘记二次项系数不能为0，从而多写a=-2的错误结果；第二问的配方法要注意先将二次项系数化为1再进行配方，不要直接在原系数下凑完全平方，按步骤操作就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，第一问我们可以利用方程根的性质来求解：首先已知x=0是方程的根，那么把x=0代入原方程，等式必然成立，这样就能得到一个只含a的方程，解出a的两个候选值。但要注意题目明确说明这是一元二次方程，所以二次项系数a+2不能等于0，要把不符合要求的a值舍去，最终得到正确的a。第二问要求用配方法解方程，第一步先把a=1代入原方程得到具体的一元二次方程，先把方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，接着在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式，之后直接开平方就能求出方程的两个根。
【解析】
(1) 已知方程有一个根为0，将$x=0$代入方程$(a+2)x^2+3x+a^2-4=0$，可得：
$a^2 - 4 = 0$
解得$a_1=2$，$a_2=-2$
因为该方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即$a+2 ≠ 0$，也就是$a ≠ -2$
舍去不符合条件的$a=-2$，最终得$a=2$。
(2) 当$a=1$时，将$a=1$代入原方程，得：
$(1+2)x^2 + 3x + 1^2 -4 = 0$
整理得$3x^2 + 3x - 3 = 0$
方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，移项得：
$x^2 + x = 1$
在等式两边同时加上一次项系数1的一半的平方$\frac{1}{4}$进行配方：
$x^2 + x + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}$
即$(x+\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$
对等式两边开平方，得：
$x + \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$
分别求解得：
$x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$，$x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
(1) $a=2$；(2) $x_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2},x_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的根；一元二次方程定义；配方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础常规考题，核心易错点集中在第一问，很多同学求解出a的两个值后，容易忽略题目给出的“一元二次方程”的隐含限制，忘记二次项系数不能为0，从而多写a=-2的错误结果；第二问的配方法要注意先将二次项系数化为1再进行配方，不要直接在原系数下凑完全平方，按步骤操作就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
12. 已知关于 $x$ 的方程 $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+b^2+c^2=0$,其中 $a,b,c,x$ 都是实数,且 $a,b$ 均不为 0. 求证: $\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{a}=x$.
答案
将原方程拆成两个二次三项式组成的方程,得 $(a^{2}x^{2}-2abx+b^{2})+(b^{2}x^{2}-2bcx+c^{2})=0. \therefore (ax-b)^{2}+(bx-c)^{2}=0$. 又 $\because a,b,c,x$ 都是实数, 即 $(ax-b)^{2} ≥ 0,(bx-c)^{2} ≥ 0, \therefore ax-b=0,bx-c=0$. 又 $\because a,b$ 均不为 $0, \therefore$ 易得 $\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{a}=x.$
解析
【分析】
这道题给出了含多个实参数的一元二次方程，要证明三个比值相等，我们不需要硬套一元二次方程求根公式或者判别式做复杂计算，优先观察方程各项的结构特征，尝试对左边的多项式进行拆项分组，凑出完全平方式。由于实数的平方具有非负性，两个非负实数相加和为0时，只能两个平方项各自为0，由此就能得到两个关于x的一次等式，再结合a、b不为0的条件做等式变形，就能推导出要证明的比例关系。
【解析】
证明：
1. 对原方程左边的项进行重新分组拆分：
原方程为 $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+b^2+c^2=0$
展开整理分组可得：
$(a^2x^2 - 2abx + b^2) + (b^2x^2 - 2bcx + c^2) = 0$
2. 利用完全平方公式对两组分别因式分解，得到：
$(ax - b)^2 + (bx - c)^2 = 0$
3. 因为a、b、c、x均为实数，实数的平方具有非负性，因此：
$(ax - b)^2 ≥ 0,\quad (bx - c)^2 ≥ 0$
两个非负实数的和为0，仅当两个数同时为0，因此可得：
$\begin{cases} ax - b = 0 \\ bx - c = 0 \end{cases}$
4. 结合题设条件a、b均不为0，对两个等式做变形：
由 $ax - b = 0$ 得 $ax = b$，即 $\frac{b}{a}=x$；
由 $bx - c = 0$ 得 $bx = c$，即 $\frac{c}{b}=x$；
因此可得 $\frac{c}{b}=\frac{b}{a}=x$，得证。
【答案】
可证得$\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{a}=x$，证明过程如上。
【知识点】
完全平方公式，实数非负性，等式变形
【点评】
本题核心技巧是配方法的灵活运用，避开了常规利用一元二次方程判别式求解的繁琐路径，通过分组凑完全平方利用非负性直接得到核心等式，能有效锻炼学生对多项式结构的观察能力，避免生搬硬套方程的常规解法。
【难度系数】
0.4
这道题给出了含多个实参数的一元二次方程，要证明三个比值相等，我们不需要硬套一元二次方程求根公式或者判别式做复杂计算，优先观察方程各项的结构特征，尝试对左边的多项式进行拆项分组，凑出完全平方式。由于实数的平方具有非负性，两个非负实数相加和为0时，只能两个平方项各自为0，由此就能得到两个关于x的一次等式，再结合a、b不为0的条件做等式变形，就能推导出要证明的比例关系。
【解析】
证明：
1. 对原方程左边的项进行重新分组拆分：
原方程为 $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+b^2+c^2=0$
展开整理分组可得：
$(a^2x^2 - 2abx + b^2) + (b^2x^2 - 2bcx + c^2) = 0$
2. 利用完全平方公式对两组分别因式分解，得到：
$(ax - b)^2 + (bx - c)^2 = 0$
3. 因为a、b、c、x均为实数，实数的平方具有非负性，因此：
$(ax - b)^2 ≥ 0,\quad (bx - c)^2 ≥ 0$
两个非负实数的和为0，仅当两个数同时为0，因此可得：
$\begin{cases} ax - b = 0 \\ bx - c = 0 \end{cases}$
4. 结合题设条件a、b均不为0，对两个等式做变形：
由 $ax - b = 0$ 得 $ax = b$，即 $\frac{b}{a}=x$；
由 $bx - c = 0$ 得 $bx = c$，即 $\frac{c}{b}=x$；
因此可得 $\frac{c}{b}=\frac{b}{a}=x$，得证。
【答案】
可证得$\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{a}=x$，证明过程如上。
【知识点】
完全平方公式，实数非负性，等式变形
【点评】
本题核心技巧是配方法的灵活运用，避开了常规利用一元二次方程判别式求解的繁琐路径，通过分组凑完全平方利用非负性直接得到核心等式，能有效锻炼学生对多项式结构的观察能力，避免生搬硬套方程的常规解法。
【难度系数】
0.4
1. ［确定取值范围］若分式$\dfrac{1}{x^{2}-4x-a}$不论$x$取何值总有意义，则实数$a$的取值范围是
$a＜-4$
.答案
$\because$ 分式 $\dfrac{1}{x^{2}-4x-a}$ 不论 $x$ 取何值总有意义, $\therefore$ 其分母必不等于 0. 把分母整理,得 $(x^{2}-4x+4)-a-4=(x-2)^{2}-a-4, \therefore (x-2)^{2}-a-4 ≠ 0. \therefore -a-4＞0$, 即 $a＜-4.$
解析
【分析】
首先，分式有意义的核心条件是分母不为0，题目要求不论x取何值该分式都有意义，等价于分母的二次式$x^2-4x-a$对任意实数x都不等于0。接下来我们可以对这个二次式做配方处理，将其转化为完全平方式加常数的形式，利用完全平方的非负性，找到这个二次式的最小值，要让二次式永远不等于0，只需要让它的最小值都大于0即可，也可以通过判断对应的一元二次方程$x^2-4x-a=0$没有实数根，利用判别式小于0来求解，两种思路都能顺利推导出a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 分式$\dfrac{1}{x^{2}-4x-a}$不论x取何值总有意义，
∴ 对任意实数x，分母$x^2-4x-a ≠ 0$恒成立。
对分母配方变形：
$x^2-4x-a = (x^2-4x+4) -4 -a = (x-2)^2 -a -4$
∵ 对任意实数x，完全平方$(x-2)^2 ≥ 0$，
∴ 该二次式的最小值为$-a-4$，要让二次式恒不为0，只需最小值大于0，即：
$-a -4 ＞ 0$
解得$a ＜ -4$。
【答案】
$a ＜ -4$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法；一元二次方程判别式
【点评】
本题属于分式性质和二次式性质结合的基础综合题，解题关键是把“分式恒有意义”的条件等价转化为“分母二次式恒不为0”，进而转化为二次函数与x轴无交点的问题，解题时要注意符号运算不要出错，避免把不等号方向搞反。
【难度系数】
0.6
首先，分式有意义的核心条件是分母不为0，题目要求不论x取何值该分式都有意义，等价于分母的二次式$x^2-4x-a$对任意实数x都不等于0。接下来我们可以对这个二次式做配方处理，将其转化为完全平方式加常数的形式，利用完全平方的非负性，找到这个二次式的最小值，要让二次式永远不等于0，只需要让它的最小值都大于0即可，也可以通过判断对应的一元二次方程$x^2-4x-a=0$没有实数根，利用判别式小于0来求解，两种思路都能顺利推导出a的取值范围。
【解析】
解：
∵ 分式$\dfrac{1}{x^{2}-4x-a}$不论x取何值总有意义，
∴ 对任意实数x，分母$x^2-4x-a ≠ 0$恒成立。
对分母配方变形：
$x^2-4x-a = (x^2-4x+4) -4 -a = (x-2)^2 -a -4$
∵ 对任意实数x，完全平方$(x-2)^2 ≥ 0$，
∴ 该二次式的最小值为$-a-4$，要让二次式恒不为0，只需最小值大于0，即：
$-a -4 ＞ 0$
解得$a ＜ -4$。
【答案】
$a ＜ -4$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法；一元二次方程判别式
【点评】
本题属于分式性质和二次式性质结合的基础综合题，解题关键是把“分式恒有意义”的条件等价转化为“分母二次式恒不为0”，进而转化为二次函数与x轴无交点的问题，解题时要注意符号运算不要出错，避免把不等号方向搞反。
【难度系数】
0.6
2. [大小比较]已知$A=x^{2}+6y+1$,$B=-y^{2}+2x-9$,且$x ≠ 1$,$y ≠ -3$,则$A$,$B$的大小关系为
$A$
$A$
$＞$
$B$(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”).答案
$A-B=x^{2}+6y+1-(-y^{2}+2x-9)=x^{2}-2x+1+y^{2}+6y+9=(x-1)^{2}+(y+3)^{2}. \because x ≠ 1,y ≠ -3, \therefore A-B=(x-1)^{2}+(y+3)^{2}＞0. \therefore A＞B.$
解析
【分析】
要比较两个代数式A和B的大小，最常用的方法是作差比较法：计算A-B的结果，通过判断差的正负性确定两者的大小关系：若A-B＞0则A＞B，若A-B=0则A=B，若A-B＜0则A＜B。首先对A-B做整式去括号、合并同类项操作，观察得到的多项式可以通过配方法凑出两个完全平方式，再结合题目给出的x≠1、y≠-3的条件，利用平方数的非负性就能判断出差的符号，最终得到A和B的大小关系。
【解析】
解：采用作差法比较A、B的大小：
1. 计算A-B的表达式：
$\begin{aligned}A-B&=(x^2+6y+1)-(-y^2+2x-9)\\&=x^2+6y+1+y^2-2x+9\\&=x^2-2x+1 + y^2+6y+9\end{aligned}$
2. 对差的表达式配方，转化为完全平方和的形式：
$A-B=(x-1)^2+(y+3)^2$
3. 结合已知条件判断差的符号：
平方数具有非负性，即$(x-1)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，已知$x≠1$，$y≠-3$，因此$(x-1)^2＞0$，$(y+3)^2＞0$，可得：
$A-B=(x-1)^2+(y+3)^2＞0$
因此$A＞B$。
【答案】$＞$
【知识点】作差法比大小，完全平方公式，整式加减
【点评】本题是代数式大小比较的基础题型，核心考察作差比较法的应用，解题关键是对作差后的多项式进行配方，利用平方的非负性判断差的符号，要注意题目给出的x≠1、y≠-3的限定条件，避免忽略差不可能为0的情况。
【难度系数】0.7
要比较两个代数式A和B的大小，最常用的方法是作差比较法：计算A-B的结果，通过判断差的正负性确定两者的大小关系：若A-B＞0则A＞B，若A-B=0则A=B，若A-B＜0则A＜B。首先对A-B做整式去括号、合并同类项操作，观察得到的多项式可以通过配方法凑出两个完全平方式，再结合题目给出的x≠1、y≠-3的条件，利用平方数的非负性就能判断出差的符号，最终得到A和B的大小关系。
【解析】
解：采用作差法比较A、B的大小：
1. 计算A-B的表达式：
$\begin{aligned}A-B&=(x^2+6y+1)-(-y^2+2x-9)\\&=x^2+6y+1+y^2-2x+9\\&=x^2-2x+1 + y^2+6y+9\end{aligned}$
2. 对差的表达式配方，转化为完全平方和的形式：
$A-B=(x-1)^2+(y+3)^2$
3. 结合已知条件判断差的符号：
平方数具有非负性，即$(x-1)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，已知$x≠1$，$y≠-3$，因此$(x-1)^2＞0$，$(y+3)^2＞0$，可得：
$A-B=(x-1)^2+(y+3)^2＞0$
因此$A＞B$。
【答案】$＞$
【知识点】作差法比大小，完全平方公式，整式加减
【点评】本题是代数式大小比较的基础题型，核心考察作差比较法的应用，解题关键是对作差后的多项式进行配方，利用平方的非负性判断差的符号，要注意题目给出的x≠1、y≠-3的限定条件，避免忽略差不可能为0的情况。
【难度系数】0.7
3. [三角形的周长]已知三角形的三边长分别为 a , b , c , 满足 $a^{2}-10a+b^{2}-16b+89=0$,c 为最长边的长且为奇数,则这个三角形的周长为
22或24
.答案
将等式配方变形后,可得 $(a-5)^{2}+(b-8)^{2}=0. \because (a-5)^{2} ≥ 0,(b-8)^{2} ≥ 0, \therefore a-5=0,b-8=0$, 解得 $a=5,b=8. \because c$ 为最长边的长, $\therefore 8＜c＜5+8$, 即 $8＜c＜13. \because c$ 为奇数, $\therefore c$ 为 9 或 11. $\therefore$ 这个三角形的周长为 $5+8+9=22$ 或 $5+8+11=24.$
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分三步推进：第一步，题目给出的是含a、b的二次多项式等于0的等式，没有直接给出a、b的数值，我们优先考虑用完全平方公式对等式配方，利用平方的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，就能直接算出a和b的具体值；第二步，得到a、b之后，结合三角形三边的基本关系，同时紧扣题目“c为最长边”的限定，推导出c的准确取值范围；第三步，结合c是奇数的条件，筛选出所有符合要求的c的取值，分别计算对应三角形的周长即可。
【解析】
解：
1. 对给定等式配方变形
已知 $a^2 -10a + b^2 -16b +89=0$，将常数89拆分为25+64，分组凑完全平方：
$(a^2 -10a +25) + (b^2 -16b +64) = 0$
由完全平方公式可得：
$(a-5)^2 + (b-8)^2 = 0$
2. 利用非负数性质求a、b
因为平方数具有非负性，即$(a-5)^2 ≥ 0$，$(b-8)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，说明两个非负数各自为0：
$\therefore a-5=0$，$b-8=0$，解得 $a=5$，$b=8$。
3. 推导c的取值范围
已知c是最长边，因此首先满足$c＞b=8$，同时根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$c ＜ a + b = 5+8=13$，即c的取值范围为$8 ＜ c ＜13$。
又因为c是奇数，所以符合条件的c的取值为9、11。
4. 计算三角形周长
当c=9时，周长为$5+8+9=22$；
当c=11时，周长为$5+8+11=24$。
【答案】
22或24
【知识点】
完全平方公式，非负数性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于三角形边长计算的中等题型，核心易错点有两处：一是配方时容易拆分常数项出错，要牢记凑完全平方的常数是对应一次项系数一半的平方；二是容易忽略题目给出的“c为最长边”的条件，直接套用三边关系得到3＜c＜13的错误范围，选出多余的不符合最长边要求的c值，同时要注意本题有两个符合条件的c，不要出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
这道题的解题思路可以分三步推进：第一步，题目给出的是含a、b的二次多项式等于0的等式，没有直接给出a、b的数值，我们优先考虑用完全平方公式对等式配方，利用平方的非负性，两个非负数相加为0则各自为0，就能直接算出a和b的具体值；第二步，得到a、b之后，结合三角形三边的基本关系，同时紧扣题目“c为最长边”的限定，推导出c的准确取值范围；第三步，结合c是奇数的条件，筛选出所有符合要求的c的取值，分别计算对应三角形的周长即可。
【解析】
解：
1. 对给定等式配方变形
已知 $a^2 -10a + b^2 -16b +89=0$，将常数89拆分为25+64，分组凑完全平方：
$(a^2 -10a +25) + (b^2 -16b +64) = 0$
由完全平方公式可得：
$(a-5)^2 + (b-8)^2 = 0$
2. 利用非负数性质求a、b
因为平方数具有非负性，即$(a-5)^2 ≥ 0$，$(b-8)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，说明两个非负数各自为0：
$\therefore a-5=0$，$b-8=0$，解得 $a=5$，$b=8$。
3. 推导c的取值范围
已知c是最长边，因此首先满足$c＞b=8$，同时根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$c ＜ a + b = 5+8=13$，即c的取值范围为$8 ＜ c ＜13$。
又因为c是奇数，所以符合条件的c的取值为9、11。
4. 计算三角形周长
当c=9时，周长为$5+8+9=22$；
当c=11时，周长为$5+8+11=24$。
【答案】
22或24
【知识点】
完全平方公式，非负数性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于三角形边长计算的中等题型，核心易错点有两处：一是配方时容易拆分常数项出错，要牢记凑完全平方的常数是对应一次项系数一半的平方；二是容易忽略题目给出的“c为最长边”的条件，直接套用三边关系得到3＜c＜13的错误范围，选出多余的不符合最长边要求的c值，同时要注意本题有两个符合条件的c，不要出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
