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一、选择题(每小题3分,共24分)
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=3,AB=5$.若以点$C$为圆心,画一个半径为3.5的圆,下列说法正确的是（
A.点$A$在$\odot C$上
B.点$B$在$\odot C$上
C.点$A$在$\odot C$内
D.点$B$在$\odot C$内
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=3,AB=5$.若以点$C$为圆心,画一个半径为3.5的圆,下列说法正确的是（
C
）A.点$A$在$\odot C$上
B.点$B$在$\odot C$上
C.点$A$在$\odot C$内
D.点$B$在$\odot C$内
答案
1. C $\because ∠C=90°,AC=3,AB=5,\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.\because r=3.5,\therefore AC＜r＜BC.\therefore$ 点$A$在$\odot C$内,点$B$在$\odot C$外.
解析
【分析】
这道题的核心是判断点和圆的位置关系，解题思路很清晰：首先回忆点与圆位置关系的判定规则：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。本题圆心是点C，因此点A到圆心C的距离就是已知的AC长度，点B到圆心C的距离是未知的BC长度，我们可以先通过直角三角形的勾股定理求出BC的长度，再分别把AC、BC的长度和给定的半径3.5做大小比较，就能判断两个点和圆的位置关系，最终匹配出正确选项。
【解析】
1. 先计算直角边BC的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
2. 已知⊙C的半径r=3.5，分别比较点A、点B到圆心C的距离和r的大小：
点A到C的距离AC=3，满足3＜3.5，即$d_A ＜ r$，因此点A在⊙C内；
点B到C的距离BC=4，满足4＞3.5，即$d_B ＞ r$，因此点B在⊙C外。
3. 逐一判断选项：
A选项：点A在⊙C上，错误；
B选项：点B在⊙C上，错误；
C选项：点A在⊙C内，正确；
D选项：点B在⊙C内，错误。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于几何基础题，直接考察点和圆位置关系的核心判定方法，只需要先借助勾股定理算出未知的点到圆心的距离，再和半径对比即可得出结论，整体难度低，是后续学习圆相关性质的入门类题型，需要牢记点与圆位置关系的判定逻辑，避免混淆距离和半径的大小对应关系。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是判断点和圆的位置关系，解题思路很清晰：首先回忆点与圆位置关系的判定规则：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。本题圆心是点C，因此点A到圆心C的距离就是已知的AC长度，点B到圆心C的距离是未知的BC长度，我们可以先通过直角三角形的勾股定理求出BC的长度，再分别把AC、BC的长度和给定的半径3.5做大小比较，就能判断两个点和圆的位置关系，最终匹配出正确选项。
【解析】
1. 先计算直角边BC的长度：
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$
2. 已知⊙C的半径r=3.5，分别比较点A、点B到圆心C的距离和r的大小：
点A到C的距离AC=3，满足3＜3.5，即$d_A ＜ r$，因此点A在⊙C内；
点B到C的距离BC=4，满足4＞3.5，即$d_B ＞ r$，因此点B在⊙C外。
3. 逐一判断选项：
A选项：点A在⊙C上，错误；
B选项：点B在⊙C上，错误；
C选项：点A在⊙C内，正确；
D选项：点B在⊙C内，错误。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于几何基础题，直接考察点和圆位置关系的核心判定方法，只需要先借助勾股定理算出未知的点到圆心的距离，再和半径对比即可得出结论，整体难度低，是后续学习圆相关性质的入门类题型，需要牢记点与圆位置关系的判定逻辑，避免混淆距离和半径的大小对应关系。
【难度系数】
0.8
2. 在$\odot O$中,半径$r=5$,弦$AB=8$,$P$是弦$AB$上的动点(不与端点$A$,$B$重合).若线段$OP$的长为正整数,则点$P$的个数为（
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2. A 当$P$为弦$AB$的中点时,$AP=BP=4$.由垂径定理,得$OP⊥AB$,此时$OP$最短.连接$OA$,在$\mathrm{Rt}△AOP$中,$∠OPA=90°,OA=5,AP=4$,由勾股定理,得$OP=\sqrt{OA^2-AP^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,即线段$OP$长的最小值为3.当点$P$与点$A$或点$B$重合时,线段$OP$最长,此时$OP=5$,而点$P$不与点$A$,$B$重合,$\therefore 3≤OP＜5$.$\because$ 线段$OP$的长为正整数,$\therefore OP=3$或$OP=4$.根据对称性可知,满足条件的点$P$有3个.
解析
【分析】
这是圆内弦上动点到圆心距离的计数类问题，解题可以按三步推进：第一步先确定OP的取值范围，根据垂线段最短的性质，OP垂直于弦AB时长度最小，结合垂径定理和勾股定理就能算出这个最小值；第二步推导OP的上限，因为P不与A、B端点重合，所以OP长度小于半径5，就能得到完整的OP取值区间；第三步在区间里筛选出所有正整数，再利用弦的对称性，判断每个正整数对应的点P的数量，相加即可得到总个数。
【解析】
解：
1. 计算OP的最小值
过O作$OP_0 ⊥ AB$于点$P_0$，连接OA，根据垂径定理，$P_0$是AB的中点，因此$AP_0=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP_0$中，$OA=r=5$，$AP_0=4$，由勾股定理得：
$OP_0=\sqrt{OA^2-AP_0^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即OP的最小值为3。
2. 确定OP的取值范围
当P与A或B重合时，$OP=OA=OB=5$，题目规定P不与A、B重合，因此$OP＜5$，结合最小值可得取值范围：$3 ≤ OP ＜5$。
3. 统计符合条件的点的总数
OP的长度为正整数，因此OP只能取3和4：
当$OP=3$时，对应点就是AB的中点$P_0$，仅1个点；
当$OP=4$时，根据弦AB的对称性，在$P_0$左右两侧的AB上各存在1个点满足$OP=4$，共2个点；
总共有$1+2=3$个符合条件的点P。
【答案】A
【知识点】垂径定理，勾股定理，圆动点最值
【点评】本题的高频易错点是忽略“P不与端点A、B重合”的限制，误将OP=5计入符合条件的取值，错算出总共有4个点选B，解题核心是先通过垂线段最短确定OP的取值范围，再结合对称性统计点的数量，属于圆基础性质的典型应用题型。
【难度系数】0.6
这是圆内弦上动点到圆心距离的计数类问题，解题可以按三步推进：第一步先确定OP的取值范围，根据垂线段最短的性质，OP垂直于弦AB时长度最小，结合垂径定理和勾股定理就能算出这个最小值；第二步推导OP的上限，因为P不与A、B端点重合，所以OP长度小于半径5，就能得到完整的OP取值区间；第三步在区间里筛选出所有正整数，再利用弦的对称性，判断每个正整数对应的点P的数量，相加即可得到总个数。
【解析】
解：
1. 计算OP的最小值
过O作$OP_0 ⊥ AB$于点$P_0$，连接OA，根据垂径定理，$P_0$是AB的中点，因此$AP_0=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OAP_0$中，$OA=r=5$，$AP_0=4$，由勾股定理得：
$OP_0=\sqrt{OA^2-AP_0^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即OP的最小值为3。
2. 确定OP的取值范围
当P与A或B重合时，$OP=OA=OB=5$，题目规定P不与A、B重合，因此$OP＜5$，结合最小值可得取值范围：$3 ≤ OP ＜5$。
3. 统计符合条件的点的总数
OP的长度为正整数，因此OP只能取3和4：
当$OP=3$时，对应点就是AB的中点$P_0$，仅1个点；
当$OP=4$时，根据弦AB的对称性，在$P_0$左右两侧的AB上各存在1个点满足$OP=4$，共2个点；
总共有$1+2=3$个符合条件的点P。
【答案】A
【知识点】垂径定理，勾股定理，圆动点最值
【点评】本题的高频易错点是忽略“P不与端点A、B重合”的限制，误将OP=5计入符合条件的取值，错算出总共有4个点选B，解题核心是先通过垂线段最短确定OP的取值范围，再结合对称性统计点的数量，属于圆基础性质的典型应用题型。
【难度系数】0.6
3. 如图,$OA$,$OB$,$OC$都是$\odot O$的半径,$∠ AOB=2∠ BOC$.若$∠ ACB=40°$,则$∠ BAC$的度数为（
A.$40°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$10°$
B
）A.$40°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$10°$
答案
3. B $\because ∠ACB=40°,\therefore ∠AOB=2∠ACB=80°$.$\because ∠AOB=2∠BOC=80°,\therefore ∠BOC=40°$.$\therefore ∠BAC=\frac{1}{2}∠BOC=20°$.
解析
【分析】
这道题的解题核心是利用圆周角定理建立圆心角和圆周角的数量关系推导求解。首先第一步，先定位已知角∠ACB对应的弧AB，根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，算出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；第二步结合题目给出的∠AOB=2∠BOC的条件，直接计算出∠BOC的度数；第三步定位待求角∠BAC对应的弧BC，再次应用圆周角定理，得到∠BAC是弧BC对应圆心角∠BOC的一半，代入数值即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 由圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ACB是弧AB对应的圆周角，∠AOB是弧AB对应的圆心角，已知∠ACB=40°，因此：
$∠ AOB = 2∠ ACB = 2×40° = 80°$
2. 根据题设条件$∠ AOB=2∠ BOC$，代入$∠ AOB=80°$可得：
$2∠ BOC=80°$
解得$∠ BOC=40°$
3. 再次应用圆周角定理，∠BAC是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，因此：
$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×40° = 20°$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【点评】本题是圆章节的基础题型，核心考查圆周角定理的基础应用，解题关键是准确识别不同圆周角对应的弧，匹配对应的圆心角，理清角之间的倍数关系即可顺利求解，整体难度较低。
【难度系数】0.8
这道题的解题核心是利用圆周角定理建立圆心角和圆周角的数量关系推导求解。首先第一步，先定位已知角∠ACB对应的弧AB，根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，算出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；第二步结合题目给出的∠AOB=2∠BOC的条件，直接计算出∠BOC的度数；第三步定位待求角∠BAC对应的弧BC，再次应用圆周角定理，得到∠BAC是弧BC对应圆心角∠BOC的一半，代入数值即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 由圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠ACB是弧AB对应的圆周角，∠AOB是弧AB对应的圆心角，已知∠ACB=40°，因此：
$∠ AOB = 2∠ ACB = 2×40° = 80°$
2. 根据题设条件$∠ AOB=2∠ BOC$，代入$∠ AOB=80°$可得：
$2∠ BOC=80°$
解得$∠ BOC=40°$
3. 再次应用圆周角定理，∠BAC是弧BC对应的圆周角，∠BOC是弧BC对应的圆心角，因此：
$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2}×40° = 20°$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【点评】本题是圆章节的基础题型，核心考查圆周角定理的基础应用，解题关键是准确识别不同圆周角对应的弧，匹配对应的圆心角，理清角之间的倍数关系即可顺利求解，整体难度较低。
【难度系数】0.8
4. 如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=150°,AC=AO=6,D$为$AC$的中点. 当弦$AC$沿扇形运动时,点$D$所经过的路径长为（
A.$3π$
B.$\sqrt{3}π$
C.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}π$
D.$4π$
C
）A.$3π$
B.$\sqrt{3}π$
C.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}π$
D.$4π$
答案
4. C 如图,连接$OD$,过点$B$作$BF=AC$,与扇形$OAB$交于点$F$,取$BF$的中点$E$,连接$OE$.$\because D$为$AC$的中点,$AC=AO=6,\therefore OD⊥AC,AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AO=3$.$\therefore$ 易得$∠AOD=30°,OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.同理,可得$∠BOE=30°,\therefore ∠DOE=∠AOB-∠AOD-∠BOE=150°-30°-30°=90°$.易得点$D$在以点$O$为圆心,$DO$为半径的圆上运动,$\therefore$ 点$D$所经过的路径长为$\frac{90π×3\sqrt{3}}{180}=\frac{3\sqrt{3}}{2}π$.
解析
【分析】
要确定点D的运动路径长度，首先需要先判断点D的运动轨迹：首先连接OD，由AC=AO，D是AC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可得到OD始终垂直于AC，计算出OD的长度为定值，说明点D的轨迹是以O为圆心、OD长为半径的一段圆弧。接下来找到弦AC运动的两个端点对应的D点位置，计算出这段圆弧对应的圆心角，最后代入弧长公式即可求出路径长。
【解析】
1. 连接OD，已知AC=AO=6，D为AC的中点，在等腰△OAC中，根据三线合一性质可得：
$OD⊥AC$，$AD = \frac{1}{2} AC = 3$。
2. 在Rt△AOD中，由勾股定理计算OD的长度：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$，
同时由$\cos∠ AOD = \frac{AD}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，可得$∠ AOD=30°$。
3. 当弦AC沿扇形运动到最靠近OB的端点位置时，设此时弦为BF，满足BF=AC=6，取BF的中点E，连接OE，同理可得：
$OE⊥BF$，$OE=3\sqrt{3}$，$∠ BOE=30°$。
4. 计算点D运动轨迹对应的圆心角：
$∠ DOE = ∠ AOB - ∠ AOD - ∠ BOE = 150° - 30° - 30° = 90°$。
5. 由于运动过程中点D到定点O的距离始终为定值$3\sqrt{3}$，因此点D的运动路径是圆心角为$90°$、半径为$3\sqrt{3}$的圆弧，代入弧长公式$l = \frac{nπ r}{180}$：
路径长 = $\frac{90×π×3\sqrt{3}}{180} = \frac{3\sqrt{3}}{2}π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，等腰三角形性质，动点轨迹
【点评】
本题的核心难点是判断动点D的运动轨迹，通过分析发现D到O的距离始终为定值，确定轨迹为一段圆弧，再求出对应的半径和圆心角即可求解。容易出错的地方是误将扇形的圆心角150°直接当作轨迹圆弧的圆心角，忽略AC在两个端点位置时OD与OA、OB的夹角均为30°，需要减去这两个角度才能得到正确的轨迹圆心角。
【难度系数】
0.4
要确定点D的运动路径长度，首先需要先判断点D的运动轨迹：首先连接OD，由AC=AO，D是AC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可得到OD始终垂直于AC，计算出OD的长度为定值，说明点D的轨迹是以O为圆心、OD长为半径的一段圆弧。接下来找到弦AC运动的两个端点对应的D点位置，计算出这段圆弧对应的圆心角，最后代入弧长公式即可求出路径长。
【解析】
1. 连接OD，已知AC=AO=6，D为AC的中点，在等腰△OAC中，根据三线合一性质可得：
$OD⊥AC$，$AD = \frac{1}{2} AC = 3$。
2. 在Rt△AOD中，由勾股定理计算OD的长度：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$，
同时由$\cos∠ AOD = \frac{AD}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，可得$∠ AOD=30°$。
3. 当弦AC沿扇形运动到最靠近OB的端点位置时，设此时弦为BF，满足BF=AC=6，取BF的中点E，连接OE，同理可得：
$OE⊥BF$，$OE=3\sqrt{3}$，$∠ BOE=30°$。
4. 计算点D运动轨迹对应的圆心角：
$∠ DOE = ∠ AOB - ∠ AOD - ∠ BOE = 150° - 30° - 30° = 90°$。
5. 由于运动过程中点D到定点O的距离始终为定值$3\sqrt{3}$，因此点D的运动路径是圆心角为$90°$、半径为$3\sqrt{3}$的圆弧，代入弧长公式$l = \frac{nπ r}{180}$：
路径长 = $\frac{90×π×3\sqrt{3}}{180} = \frac{3\sqrt{3}}{2}π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，等腰三角形性质，动点轨迹
【点评】
本题的核心难点是判断动点D的运动轨迹，通过分析发现D到O的距离始终为定值，确定轨迹为一段圆弧，再求出对应的半径和圆心角即可求解。容易出错的地方是误将扇形的圆心角150°直接当作轨迹圆弧的圆心角，忽略AC在两个端点位置时OD与OA、OB的夹角均为30°，需要减去这两个角度才能得到正确的轨迹圆心角。
【难度系数】
0.4
5. 如图,无人机巡检基站时,以基站中心$O$为圆心作圆形巡检区域,按八个方位将圆八等分(等分点为$A∼ H$),连接$AF,AB,FC$,则$∠ FAB - ∠ AFC$的度数为（
A.$60°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$30°$
C
）A.$60°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
5. C 如图,连接$OA,OB,OC,OF$.$\because A,B,C,D,E,F,G,H$是$\odot O$的八等分点,$\therefore ∠AOB=\frac{1}{8}×360°=45°$,$∠AOC=\frac{2}{8}×360°=90°$,$∠AOF=\frac{3}{8}×360°=135°$.$\therefore ∠AFC=\frac{1}{2}∠AOC=45°$,$∠AOB+∠AOF=180°$.$\therefore F,O,B$三点在同一条直线上.$\therefore BF$是$\odot O$的直径.$\therefore ∠FAB=90°$.$\therefore ∠FAB-∠AFC=90°-45°=45°$.
解析
【分析】
这道题的核心是利用圆的等分性质和圆周角相关定理求解两个角的差值。首先梳理解题思路：1. 已知圆被八等分，那么每一段等弧对应的圆心角就是360°除以8，可得到单段弧的圆心角为45°；2. 要求的两个角都是圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半；3. 先推导∠AFC的度数，再推导∠FAB的度数，最后做差即可。我们可以先连接圆心O和相关等分点，通过计算圆心角的和发现F、O、B三点共线，得到BF是圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质快速得到∠FAB的度数，简化计算过程。
【解析】
解：连接OA、OB、OC、OF，
∵点A、B、C、D、E、F、G、H是⊙O的八等分点，
∴每一段等弧对应的圆心角为$\frac{1}{8}×360°=45°$，
由此可得：
$∠AOB=45°$，$∠AOC=2×45°=90°$，$∠AOF=3×45°=135°$，
∴$∠AOB + ∠AOF = 45°+135°=180°$，
说明F、O、B三点在同一条直线上，即BF是⊙O的直径，
根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠FAB=90°$，
再根据圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半，∠AFC对应弧AC，
∴$∠AFC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×90°=45°$，
因此$∠FAB - ∠AFC=90°-45°=45°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆等分性质，直径的圆周角性质
【点评】
本题结合实际巡检场景考察圆的基础性质应用，解题的关键是利用八等分点的特征算出单段弧的圆心角，快速发现BF为直径，避免复杂的角度推导，整体侧重对圆周角相关核心定理的考察，属于圆章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用圆的等分性质和圆周角相关定理求解两个角的差值。首先梳理解题思路：1. 已知圆被八等分，那么每一段等弧对应的圆心角就是360°除以8，可得到单段弧的圆心角为45°；2. 要求的两个角都是圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半；3. 先推导∠AFC的度数，再推导∠FAB的度数，最后做差即可。我们可以先连接圆心O和相关等分点，通过计算圆心角的和发现F、O、B三点共线，得到BF是圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质快速得到∠FAB的度数，简化计算过程。
【解析】
解：连接OA、OB、OC、OF，
∵点A、B、C、D、E、F、G、H是⊙O的八等分点，
∴每一段等弧对应的圆心角为$\frac{1}{8}×360°=45°$，
由此可得：
$∠AOB=45°$，$∠AOC=2×45°=90°$，$∠AOF=3×45°=135°$，
∴$∠AOB + ∠AOF = 45°+135°=180°$，
说明F、O、B三点在同一条直线上，即BF是⊙O的直径，
根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠FAB=90°$，
再根据圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半，∠AFC对应弧AC，
∴$∠AFC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×90°=45°$，
因此$∠FAB - ∠AFC=90°-45°=45°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆等分性质，直径的圆周角性质
【点评】
本题结合实际巡检场景考察圆的基础性质应用，解题的关键是利用八等分点的特征算出单段弧的圆心角，快速发现BF为直径，避免复杂的角度推导，整体侧重对圆周角相关核心定理的考察，属于圆章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,$AB$ 和 $BC$ 是$\odot O$ 的两条弦,$BC＞AB$,$M$ 是劣弧$AC$ 的中点,过点 $M$ 作 $MD⊥ BC$,垂足为$D$. 若$AB=2\sqrt{2}$,$BD=\sqrt{2}$,则 $CD$ 的长为（
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
D
）A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
6. D 如图,在$CD$上截取$CE=AB$,连接$CM,EM,BM,AM$.$\because M$是劣弧$AC$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$.$\therefore AM=CM$.$\because \overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{BM}$,$\therefore ∠A=∠C$. 在$△ABM$和$△CEM$中,$\begin{cases} AB=CE, \\ ∠A=∠C, \\ AM=CM, \end{cases}$$\therefore △ABM≌△CEM(\mathrm{SAS})$.$\therefore BM=EM$.$\because MD⊥BC$,$\therefore BD=DE$.$\because AB=2\sqrt{2}$,$BD=\sqrt{2}$,$\therefore CD=CE+DE=AB+BD=3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这道题的核心突破口是M为劣弧AC的中点这个条件，我们可以通过截长法构造全等三角形来转化线段：首先在CD上截取CE=AB，利用弧中点的性质得到AM=CM，再结合同弧所对的圆周角相等，证明△ABM和△CEM全等，得到BM=EM，结合MD⊥BC，利用等腰三角形三线合一得到DE=BD，这样CD就拆分为CE和DE两段，分别对应已知的AB和BD，代入数值即可算出CD的长度。
【解析】
1. 作辅助线：在CD上截取CE=AB，连接AM、CM、BM、EM。
2. 利用弧中点性质：因为M是劣弧AC的中点，所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$，根据等弧对等弦，可得$AM=CM$。
3. 圆周角性质：∠BAM和∠ECM都是弧BM所对的圆周角，因此$∠A=∠C$。
4. 证明全等：在$△ ABM$和$△ CEM$中：
$\begin{cases}AB=CE \\∠A=∠C \\AM=CM\end{cases}$
所以$△ ABM ≌ △ CEM(\mathrm{SAS})$，可得$BM=EM$。
5. 等腰三角形性质：因为$MD ⊥ BC$，$△ BME$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，D是BE的中点，因此$DE=BD=\sqrt{2}$。
6. 计算CD长度：已知$AB=2\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2}$，$CE=AB=2\sqrt{2}$，因此$CD=CE+DE=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
【知识点】
等弧对等弦；全等三角形SAS判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆内经典的折弦定理应用题型，核心考察几何辅助线的构造思路，通过截长法将分散的已知线段转化为目标线段的组成部分，避免了复杂的计算，能有效锻炼学生对圆的性质和全等证明的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
这道题的核心突破口是M为劣弧AC的中点这个条件，我们可以通过截长法构造全等三角形来转化线段：首先在CD上截取CE=AB，利用弧中点的性质得到AM=CM，再结合同弧所对的圆周角相等，证明△ABM和△CEM全等，得到BM=EM，结合MD⊥BC，利用等腰三角形三线合一得到DE=BD，这样CD就拆分为CE和DE两段，分别对应已知的AB和BD，代入数值即可算出CD的长度。
【解析】
1. 作辅助线：在CD上截取CE=AB，连接AM、CM、BM、EM。
2. 利用弧中点性质：因为M是劣弧AC的中点，所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CM}$，根据等弧对等弦，可得$AM=CM$。
3. 圆周角性质：∠BAM和∠ECM都是弧BM所对的圆周角，因此$∠A=∠C$。
4. 证明全等：在$△ ABM$和$△ CEM$中：
$\begin{cases}AB=CE \\∠A=∠C \\AM=CM\end{cases}$
所以$△ ABM ≌ △ CEM(\mathrm{SAS})$，可得$BM=EM$。
5. 等腰三角形性质：因为$MD ⊥ BC$，$△ BME$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，D是BE的中点，因此$DE=BD=\sqrt{2}$。
6. 计算CD长度：已知$AB=2\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2}$，$CE=AB=2\sqrt{2}$，因此$CD=CE+DE=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
【知识点】
等弧对等弦；全等三角形SAS判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆内经典的折弦定理应用题型，核心考察几何辅助线的构造思路，通过截长法将分散的已知线段转化为目标线段的组成部分，避免了复杂的计算，能有效锻炼学生对圆的性质和全等证明的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
7. 如图,半圆$O$的直径$AB$为4,将半圆$O$绕点$B$按顺时针方向旋转$45^{\circ }$得到半圆$O'$,与$AB$交于点$P$,则图中涂色部分的面积为（
A.$π-2$
B.$π+2$
C.$2π-2$
D.$2π+2$
B
）A.$π-2$
B.$π+2$
C.$2π-2$
D.$2π+2$
答案
7. B 连接$O'P$.由题意,得$AB=4$,$O$为$AB$的中点,$∠OBO'=45°$,$O'P=O'B$,$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=2$,$∠O'PB=∠OBO'=45°$.$\therefore ∠PO'B=90°$.$\therefore O'P=O'B=OB=2$.$\therefore S_{\mathrm{弓形}PB}=\frac{90×π×2^2}{360}-\frac{2×2}{2}=π-2$.$\therefore S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{\mathrm{半圆}O}-S_{\mathrm{弓形}PB}=\frac{180×π×2^2}{360}-(π-2)=2π-π+2=π+2$.
解析
【分析】
直接计算涂色部分的不规则图形面积难度较高，我们可以用割补转化的思路来解题：
1. 先梳理已知条件：原半圆O的直径AB=4，因此半径为2，半圆绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，根据旋转的性质，旋转前后图形大小不变，半圆O'的半径也为2，旋转角∠OBO'=45°。
2. 连接辅助线O'P，由于O'P、O'B都是半圆O'的半径，二者相等，结合∠OBO'=45°，可以推出△O'PB是等腰直角三角形，得到圆心角∠PO'B=90°。
3. 把涂色部分面积转化为两个规则图形的面积差：涂色部分面积 = 原半圆O的面积 - 空白弓形PB的面积，而弓形PB的面积又等于圆心角90°的扇形PO'B的面积减去直角三角形PO'B的面积，代入数值即可算出最终结果。
【解析】
解：连接O'P，
① 由题意得：AB=4，O为AB中点，旋转角∠OBO'=45°，半圆O'的半径O'P=O'B=OB=$\frac{1}{2}AB=2$。
② 因为O'P=O'B，所以∠O'PB=∠OBO'=45°，
因此△PO'B中，∠PO'B = 180° - 45° - 45° = 90°。
③ 计算弓形PB的面积：
$S_{\mathrm{弓形}PB}=S_{\mathrm{扇形}PO'B}-S_{△ PO'B}$
$=\frac{90× π × 2^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2$
$=π - 2$
④ 计算涂色部分面积：
$S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{\mathrm{半圆}O}-S_{\mathrm{弓形}PB}$
$=\frac{180× π × 2^2}{360}-(π - 2)$
$=2π - π + 2$
$=π + 2$
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，扇形面积公式，割补法求面积
【点评】
本题是旋转结合阴影面积计算的经典题型，核心考察转化思想的运用，不需要直接拆分不规则的涂色区域，通过辅助线推导得到特殊的90°圆心角扇形，把不规则图形面积转化为规则图形的面积差，降低了计算复杂度，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
直接计算涂色部分的不规则图形面积难度较高，我们可以用割补转化的思路来解题：
1. 先梳理已知条件：原半圆O的直径AB=4，因此半径为2，半圆绕点B顺时针旋转45°得到半圆O'，根据旋转的性质，旋转前后图形大小不变，半圆O'的半径也为2，旋转角∠OBO'=45°。
2. 连接辅助线O'P，由于O'P、O'B都是半圆O'的半径，二者相等，结合∠OBO'=45°，可以推出△O'PB是等腰直角三角形，得到圆心角∠PO'B=90°。
3. 把涂色部分面积转化为两个规则图形的面积差：涂色部分面积 = 原半圆O的面积 - 空白弓形PB的面积，而弓形PB的面积又等于圆心角90°的扇形PO'B的面积减去直角三角形PO'B的面积，代入数值即可算出最终结果。
【解析】
解：连接O'P，
① 由题意得：AB=4，O为AB中点，旋转角∠OBO'=45°，半圆O'的半径O'P=O'B=OB=$\frac{1}{2}AB=2$。
② 因为O'P=O'B，所以∠O'PB=∠OBO'=45°，
因此△PO'B中，∠PO'B = 180° - 45° - 45° = 90°。
③ 计算弓形PB的面积：
$S_{\mathrm{弓形}PB}=S_{\mathrm{扇形}PO'B}-S_{△ PO'B}$
$=\frac{90× π × 2^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2$
$=π - 2$
④ 计算涂色部分面积：
$S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{\mathrm{半圆}O}-S_{\mathrm{弓形}PB}$
$=\frac{180× π × 2^2}{360}-(π - 2)$
$=2π - π + 2$
$=π + 2$
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，扇形面积公式，割补法求面积
【点评】
本题是旋转结合阴影面积计算的经典题型，核心考察转化思想的运用，不需要直接拆分不规则的涂色区域，通过辅助线推导得到特殊的90°圆心角扇形，把不规则图形面积转化为规则图形的面积差，降低了计算复杂度，对学生的图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
8. 如图,矩形$ABCD$的外接圆$O$与水平地面相切于点$A$.已知$\odot O$的半径为4,且$\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AB}$.若在没有滑动的情况下,将$\odot O$向右滚动,使得点$O$向右移动了$66π$,则此时与地面相切的弧为（
A.$\overset{\frown}{AB}$
B.$\overset{\frown}{BC}$
C.$\overset{\frown}{CD}$
D.$\overset{\frown}{DA}$
B
）A.$\overset{\frown}{AB}$
B.$\overset{\frown}{BC}$
C.$\overset{\frown}{CD}$
D.$\overset{\frown}{DA}$
答案
8. B $\because \odot O$的半径为4,$\therefore \odot O$的周长为$2π×4=8π$.$\because$ 将$\odot O$向右滚动,使得点$O$向右移动了$66π$,$\therefore 66π÷8π=8······2π$,即$\odot O$滚动8周后,又向右滚动了$2π$.$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AB=CD$,$BC=AD$.$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.$\because \overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AB}$,$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$.$\therefore \overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{1}{6}×8π=\frac{4}{3}π＜2π$,$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CB}$的长之和为$\frac{1}{2}×8π=4π＞2π$.$\therefore$ 此时与地面相切的弧为$\overset{\frown}{BC}$.
解析
【分析】
我们首先要明确核心规律：圆在水平地面无滑动向右滚动时，圆心O向右移动的距离，等于圆自身滚动经过的总弧长。第一步先算出⊙O的总周长，用圆心移动的总距离除以周长，得到的商是完整滚动的圈数，由于每完整滚动1圈，圆和地面的相切状态就和初始状态完全一致，因此整圈部分可以直接忽略，只需要分析余数对应的额外滚动弧长即可。接下来，ABCD是⊙O的内接矩形，矩形对角线是圆的直径，因此对边对应的弧长相等，结合题目给出的$\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AB}$，就可以算出四段弧各自的长度。初始状态下和地面相切的点是A，从A点沿滚动方向累加各段弧长，判断剩余滚动弧长落在哪个弧段内，就能得到最终相切的弧。
【解析】
解：
1. 计算⊙O的周长：已知⊙O半径$r=4$，根据圆周长公式$C=2π r$，可得$\odot O$的周长为$2π×4=8π$。
2. 分析滚动的总圈数：无滑动滚动时圆心移动距离等于滚动总弧长，已知点O向右移动了$66π$，计算得$66π÷8π=8······2π$，说明⊙O完整滚动8周后，又额外向右滚动了长度为$2π$的弧，滚动8周后状态和初始状态完全一致，只需分析额外滚动$2π$的情况。
3. 计算四段弧的长度：因为四边形ABCD是⊙O的内接矩形，所以对边对应的弧长相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$。结合条件$\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AB}$，可得四段弧长之和：
$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}+2\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AB}+2\overset{\frown}{AB}=6\overset{\frown}{AB}=8π$
解得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\frac{4}{3}π$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\frac{8}{3}π$。
4. 判断相切的弧：初始状态下切点为A，从A点开始顺时针滚动，首先经过的弧是$\overset{\frown}{AB}$，长度为$\frac{4}{3}π＜2π$，滚完$\overset{\frown}{AB}$后剩余需要滚动的长度为$2π-\frac{4}{3}π=\frac{2}{3}π$，该剩余长度落在$\overset{\frown}{BC}$的范围内，因此此时与地面相切的弧为$\overset{\frown}{BC}$。
【答案】B
【知识点】圆周长公式，弧长计算，圆滚动性质
【点评】本题是圆的滚动类综合应用题，解题核心是明确无滑动滚动的圆，圆心移动距离等于圆滚动过的弧长，利用滚动的周期性剔除整圈的重复影响，再结合内接矩形的弧长分配判断剩余滚动长度对应的弧段，简化了复杂的位置计算，对学生的转化思维有一定考察。
【难度系数】0.5
我们首先要明确核心规律：圆在水平地面无滑动向右滚动时，圆心O向右移动的距离，等于圆自身滚动经过的总弧长。第一步先算出⊙O的总周长，用圆心移动的总距离除以周长，得到的商是完整滚动的圈数，由于每完整滚动1圈，圆和地面的相切状态就和初始状态完全一致，因此整圈部分可以直接忽略，只需要分析余数对应的额外滚动弧长即可。接下来，ABCD是⊙O的内接矩形，矩形对角线是圆的直径，因此对边对应的弧长相等，结合题目给出的$\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AB}$，就可以算出四段弧各自的长度。初始状态下和地面相切的点是A，从A点沿滚动方向累加各段弧长，判断剩余滚动弧长落在哪个弧段内，就能得到最终相切的弧。
【解析】
解：
1. 计算⊙O的周长：已知⊙O半径$r=4$，根据圆周长公式$C=2π r$，可得$\odot O$的周长为$2π×4=8π$。
2. 分析滚动的总圈数：无滑动滚动时圆心移动距离等于滚动总弧长，已知点O向右移动了$66π$，计算得$66π÷8π=8······2π$，说明⊙O完整滚动8周后，又额外向右滚动了长度为$2π$的弧，滚动8周后状态和初始状态完全一致，只需分析额外滚动$2π$的情况。
3. 计算四段弧的长度：因为四边形ABCD是⊙O的内接矩形，所以对边对应的弧长相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}$。结合条件$\overset{\frown}{BC}=2\overset{\frown}{AB}$，可得四段弧长之和：
$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AB}+2\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AB}+2\overset{\frown}{AB}=6\overset{\frown}{AB}=8π$
解得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}=\frac{4}{3}π$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AD}=\frac{8}{3}π$。
4. 判断相切的弧：初始状态下切点为A，从A点开始顺时针滚动，首先经过的弧是$\overset{\frown}{AB}$，长度为$\frac{4}{3}π＜2π$，滚完$\overset{\frown}{AB}$后剩余需要滚动的长度为$2π-\frac{4}{3}π=\frac{2}{3}π$，该剩余长度落在$\overset{\frown}{BC}$的范围内，因此此时与地面相切的弧为$\overset{\frown}{BC}$。
【答案】B
【知识点】圆周长公式，弧长计算，圆滚动性质
【点评】本题是圆的滚动类综合应用题，解题核心是明确无滑动滚动的圆，圆心移动距离等于圆滚动过的弧长，利用滚动的周期性剔除整圈的重复影响，再结合内接矩形的弧长分配判断剩余滚动长度对应的弧段，简化了复杂的位置计算，对学生的转化思维有一定考察。
【难度系数】0.5
