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1. 如图所示为某玉瑗的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成。已知内切圆的半径是2 cm，则图中阴影部分的面积是（
A.$π \ \mathrm{cm}^2$
B.$2π \ \mathrm{cm}^2$
C.$3π \ \mathrm{cm}^2$
D.$4π \ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$π \ \mathrm{cm}^2$
B.$2π \ \mathrm{cm}^2$
C.$3π \ \mathrm{cm}^2$
D.$4π \ \mathrm{cm}^2$
答案
1. D 如图,连接AB,DC相交于点O.
∵ 正方形的内切圆的半径是2 cm,
∴ AC=BC=4 cm,OA=OB,∠ACB=90°.
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$(cm),$OA=OB=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}$ cm.
∴ 图中阴影部分的面积是 $π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2=4π(\mathrm{cm}^2)$.
(第1题)
解析
【分析】
我们首先明确阴影部分是同心圆组成的圆环，圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，已知内圆（内切圆）半径为2cm，解题核心是求出外圆（正方形外接圆）的半径：第一步，根据正方形内切圆的性质，内切圆的直径等于正方形的边长，由此可算出正方形的边长；第二步，正方形的外接圆的直径恰好是正方形的对角线，利用勾股定理计算出正方形对角线长度，取一半就得到外圆半径；最后代入圆环面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连接正方形的两条对角线AB、DC，两线交点即为两同心圆的圆心O。
1. 已知正方形内切圆的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，正方形内切圆的直径等于正方形的边长，因此正方形的边长$AC=BC=2r=4\ \mathrm{cm}$。
2. 正方形的外接圆（外圆）的直径等于正方形的对角线AB的长度，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
因此外圆的半径$R=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 阴影部分为圆环，其面积为外圆面积减去内圆面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=π R^2 - π r^2 = π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2 = 8π -4π =4π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形性质，勾股定理
【点评】
本题结合传统玉瑗的实际场景出题，考察圆与正方形结合的基础几何计算，只要理清正方形内切圆、外接圆分别和正方形边长、对角线的对应关系，就能顺利求出外圆半径进而算出圆环面积，是圆面积相关的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
我们首先明确阴影部分是同心圆组成的圆环，圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，已知内圆（内切圆）半径为2cm，解题核心是求出外圆（正方形外接圆）的半径：第一步，根据正方形内切圆的性质，内切圆的直径等于正方形的边长，由此可算出正方形的边长；第二步，正方形的外接圆的直径恰好是正方形的对角线，利用勾股定理计算出正方形对角线长度，取一半就得到外圆半径；最后代入圆环面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连接正方形的两条对角线AB、DC，两线交点即为两同心圆的圆心O。
1. 已知正方形内切圆的半径$r=2\ \mathrm{cm}$，正方形内切圆的直径等于正方形的边长，因此正方形的边长$AC=BC=2r=4\ \mathrm{cm}$。
2. 正方形的外接圆（外圆）的直径等于正方形的对角线AB的长度，在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
因此外圆的半径$R=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 阴影部分为圆环，其面积为外圆面积减去内圆面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=π R^2 - π r^2 = π×(2\sqrt{2})^2 - π×2^2 = 8π -4π =4π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
D
【知识点】
圆环面积计算，正方形性质，勾股定理
【点评】
本题结合传统玉瑗的实际场景出题，考察圆与正方形结合的基础几何计算，只要理清正方形内切圆、外接圆分别和正方形边长、对角线的对应关系，就能顺利求出外圆半径进而算出圆环面积，是圆面积相关的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
2. 如图,从一张半圆形的铁片(圆心为点$ O $)上剪下一个小的半圆形铁片,为了计算剩余部分的面积,在图中作出小半圆的一条切线,并使它平行于大半圆的直径. 设这条切线交大半圆于点$ A$,$B$,量得$ AB $的长是5 cm,则剩余部分的面积是（
A.$25π \ \mathrm{cm}^2$
B.$\dfrac{25}{2}π \ \mathrm{cm}^2$
C.$\dfrac{25}{4}π \ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{25}{8}π \ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$25π \ \mathrm{cm}^2$
B.$\dfrac{25}{2}π \ \mathrm{cm}^2$
C.$\dfrac{25}{4}π \ \mathrm{cm}^2$
D.$\dfrac{25}{8}π \ \mathrm{cm}^2$
答案
2. D 如图,平移小半圆,使小半圆的圆心与点O重合,小半圆与直线AB相切于点C,连接OC,OA.
∵ 直线AB切小半圆于点C,
∴ OC⊥AB.
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$ cm. 在Rt△AOC中,由勾股定理,得 $OA^2-OC^2=AC^2=\frac{25}{4}\ \mathrm{cm}^2$,
∴ 剩余部分的面积为 $\frac{1}{2}×π×OA^2-\frac{1}{2}×π×OC^2=\frac{1}{2}π·(OA^2-OC^2)=\frac{1}{2}π×\frac{25}{4}=\frac{25}{8}π(\mathrm{cm}^2)$.
(第2题)
解析
【分析】
我们的目标是求剩余部分的面积，也就是大半圆的面积减去小半圆的面积，但题目没有直接给出两个半圆的半径，无法直接代入公式计算。首先可以利用平移的思路，将小半圆平移，让它的圆心和大半圆的圆心O重合，这样不会改变小半圆的面积，也不会改变AB和小半圆的相切关系。接下来根据切线的性质，连接切点C和圆心O，就得到OC垂直于AB，再用垂径定理可以得到AC的长度是AB的一半，也就是2.5cm。接着在直角三角形AOC里用勾股定理，就能得到大半圆半径OA的平方减去小半圆半径OC的平方的值，最后把这个值整体代入两个半圆面积相减的表达式里，不需要算出两个半径的具体数值，就能直接得到剩余部分的面积。
【解析】
平移小半圆，使小半圆的圆心与点O重合，小半圆与直线AB相切于点C，连接OC，OA。
1. 由切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OC⊥AB。
2. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理可得：
$OA^2 - OC^2 = AC^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
4. 剩余部分的面积 = 大半圆面积 - 小半圆面积，代入面积公式得：
$S_{\mathrm{剩余}}=\frac{1}{2}×π× OA^2 - \frac{1}{2}×π× OC^2=\frac{1}{2}π·(OA^2 - OC^2)$
将$OA^2-OC^2=\frac{25}{4}$代入，得：
$S_{\mathrm{剩余}}=\frac{1}{2}π×\frac{25}{4}=\frac{25}{8}π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，切线性质，勾股定理
【点评】
本题巧妙运用平移转化的思想，将分散的条件集中到同一个直角三角形中，不需要分别求解两个半圆的半径，通过整体代换的方法直接求出面积差，简化了运算，是圆的面积计算中非常典型的整体思想应用题型。
【难度系数】
0.4
我们的目标是求剩余部分的面积，也就是大半圆的面积减去小半圆的面积，但题目没有直接给出两个半圆的半径，无法直接代入公式计算。首先可以利用平移的思路，将小半圆平移，让它的圆心和大半圆的圆心O重合，这样不会改变小半圆的面积，也不会改变AB和小半圆的相切关系。接下来根据切线的性质，连接切点C和圆心O，就得到OC垂直于AB，再用垂径定理可以得到AC的长度是AB的一半，也就是2.5cm。接着在直角三角形AOC里用勾股定理，就能得到大半圆半径OA的平方减去小半圆半径OC的平方的值，最后把这个值整体代入两个半圆面积相减的表达式里，不需要算出两个半径的具体数值，就能直接得到剩余部分的面积。
【解析】
平移小半圆，使小半圆的圆心与点O重合，小半圆与直线AB相切于点C，连接OC，OA。
1. 由切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OC⊥AB。
2. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理可得：
$OA^2 - OC^2 = AC^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}\ \mathrm{cm}^2$。
4. 剩余部分的面积 = 大半圆面积 - 小半圆面积，代入面积公式得：
$S_{\mathrm{剩余}}=\frac{1}{2}×π× OA^2 - \frac{1}{2}×π× OC^2=\frac{1}{2}π·(OA^2 - OC^2)$
将$OA^2-OC^2=\frac{25}{4}$代入，得：
$S_{\mathrm{剩余}}=\frac{1}{2}π×\frac{25}{4}=\frac{25}{8}π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，切线性质，勾股定理
【点评】
本题巧妙运用平移转化的思想，将分散的条件集中到同一个直角三角形中，不需要分别求解两个半圆的半径，通过整体代换的方法直接求出面积差，简化了运算，是圆的面积计算中非常典型的整体思想应用题型。
【难度系数】
0.4
3. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸(单位:mm)如图所示，则这枚古钱币的半径为
0.013
m.答案
3. 0.013 如图(单位:mm),设圆心为点O,延长正方形的边长,交⊙O于点A,B,过点O作OC⊥AB于点C,连接OB.根据题意,得 $OC=\frac{1}{2}×10=5$(mm),则CB=5+7=12(mm). 在Rt△OCB中,由勾股定理,得 $OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$(mm). 13 mm=0.013 m.
(第3题)
解析
【分析】
要计算圆形古钱币的半径，我们无法直接从图中读出半径数值，因此可以通过构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解。首先梳理已知条件：正方形孔的边长为10mm，正方形右侧边缘到圆最右端的水平距离为7mm。第一步先作辅助线：设圆心为O，作过正方形右侧顶点的水平弦AB，过O作OC⊥AB于点C，连接OB，OB就是圆的半径。接下来先求OC的长度：由于圆心在正方形的中心位置，正方形边长为10mm，因此圆心到正方形右侧边的垂直距离（也就是OC的长度）等于正方形边长的一半，即5mm。再求CB的长度：垂足C刚好落在正方形的右侧边上，因此CB的长度等于正方形边长的一半加上正方形右侧到圆边缘的7mm，得到CB=12mm。最后在Rt△OCB中用勾股定理算出OB的长度，再将单位从毫米转换为米即可得到最终结果。
【解析】
解：设圆心为点O，延长正方形的水平边，交⊙O于点A、B，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB。
1. 计算OC的长度：
由正方形边长为10mm，圆心在正方形中心，可得 $OC=\frac{1}{2}×10=5$ mm。
2. 计算CB的长度：
由图中标注的正方形右侧到圆边缘的距离为7mm，可得 $CB=5+7=12$ mm。
3. 由勾股定理计算半径OB：
在Rt△OCB中，$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ mm。
4. 单位换算：
因为1mm = 0.001m，所以13mm = 0.013 m。
【答案】
0.013
【知识点】
垂径定理，勾股定理，长度单位换算
【点评】
本题结合古钱币的实际场景，考察垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的核心是正确构造包含半径的直角三角形，准确求出两条直角边的长度，容易出错的点是忽略题目要求的最终单位是米，忘记将毫米换算为米导致结果出错。
【难度系数】
0.6
要计算圆形古钱币的半径，我们无法直接从图中读出半径数值，因此可以通过构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解。首先梳理已知条件：正方形孔的边长为10mm，正方形右侧边缘到圆最右端的水平距离为7mm。第一步先作辅助线：设圆心为O，作过正方形右侧顶点的水平弦AB，过O作OC⊥AB于点C，连接OB，OB就是圆的半径。接下来先求OC的长度：由于圆心在正方形的中心位置，正方形边长为10mm，因此圆心到正方形右侧边的垂直距离（也就是OC的长度）等于正方形边长的一半，即5mm。再求CB的长度：垂足C刚好落在正方形的右侧边上，因此CB的长度等于正方形边长的一半加上正方形右侧到圆边缘的7mm，得到CB=12mm。最后在Rt△OCB中用勾股定理算出OB的长度，再将单位从毫米转换为米即可得到最终结果。
【解析】
解：设圆心为点O，延长正方形的水平边，交⊙O于点A、B，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB。
1. 计算OC的长度：
由正方形边长为10mm，圆心在正方形中心，可得 $OC=\frac{1}{2}×10=5$ mm。
2. 计算CB的长度：
由图中标注的正方形右侧到圆边缘的距离为7mm，可得 $CB=5+7=12$ mm。
3. 由勾股定理计算半径OB：
在Rt△OCB中，$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ mm。
4. 单位换算：
因为1mm = 0.001m，所以13mm = 0.013 m。
【答案】
0.013
【知识点】
垂径定理，勾股定理，长度单位换算
【点评】
本题结合古钱币的实际场景，考察垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的核心是正确构造包含半径的直角三角形，准确求出两条直角边的长度，容易出错的点是忽略题目要求的最终单位是米，忘记将毫米换算为米导致结果出错。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在中心为$O$的正六边形$ABCDEF$中,点$G,H$分别在边$AF,CD$上,且不同于正六边形的顶点,$CH=FG$.
(1) 求证:四边形$BGEH$为平行四边形.
(2) 若正六边形的边长为4,连接$OB,OF$,以点$O$为圆心,$OB$长为半径的扇形$BOF$与正六边形形成阴影部分,求图中阴影部分的面积.
(1) 求证:四边形$BGEH$为平行四边形.
(2) 若正六边形的边长为4,连接$OB,OF$,以点$O$为圆心,$OB$长为半径的扇形$BOF$与正六边形形成阴影部分,求图中阴影部分的面积.
答案
4. (1)
∵ 六边形ABCDEF是正六边形,
∴ ∠C=∠D=∠AFE=∠BAF=120°,AB=BC=CD=DE=EF=AF.
∵ CH=FG,
∴ CD-CH=AF-FG,即 HD=AG. 在
△BCH 和 △EFG 中, $\begin{cases} BC=EF, \\ ∠C=∠EFG, \\ CH=FG, \end{cases}$
∴ △BCH ≌
△EFG(SAS).
∴ BH=EG. 在△ABG 和 △DEH 中,
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠GAB=∠D, \\ AG=DH, \end{cases}$
∴ △ABG ≌ △DEH (SAS).
∴ BG=
EH.
∴ 四边形BGEH 为平行四边形.
(2) 如图,连接OA.
∵ 六边形ABCDEF是正六边形,
∴ ∠AOB=∠AOF=$\frac{360°}{6}=60°$,OA=OB=OF.
∴ △AOB,△AOF均为正三角形.
∴ OA=OB=OF=AB=4.
∴ $S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}BOF}-S_{△ AOB}-S_{△ AOF}=\frac{120π×4^2}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2×2=\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$.
(第4题)
解析
【分析】
(1) 要证明四边形BGEH是平行四边形，可选用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定思路，只需证得BH=EG、BG=EH即可。首先利用正六边形各边相等、所有内角均为120°的性质，结合已知CH=FG，先证明△BCH≌△EFG得到BH=EG；再通过线段和差推导AG=DH，证明△ABG≌△DEH得到BG=EH，即可完成平行四边形的证明。
(2) 求阴影部分面积采用割补法：阴影面积等于扇形BOF的面积减去扇形内部两个空白三角形△AOB、△AOF的面积。先根据正六边形的中心角为60°，推出∠BOF=120°，且OB=OF=正六边形边长4，分别计算扇形面积和两个正三角形的面积，二者作差即可得到阴影部分的结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ ∠C=∠D=∠AFE=∠BAF=120°，AB=BC=CD=DE=EF=AF。
∵ CH=FG，
∴ CD-CH=AF-FG，即 HD=AG。
在△BCH 和 △EFG 中，
$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠C=∠EFG, \\ CH=FG, \end{cases}$
∴ △BCH ≌ △EFG(SAS)，
∴ BH=EG。
在△ABG 和 △DEH 中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠GAB=∠D, \\ AG=DH, \end{cases}$
∴ △ABG ≌ △DEH (SAS)，
∴ BG=EH。
∴ 四边形BGEH 两组对边分别相等，为平行四边形。
(2) 解：连接OA，
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ ∠AOB=∠AOF=$\frac{360°}{6}=60°$，OA=OB=OF，
∴ △AOB、△AOF均为等边三角形，
∴ OA=OB=OF=AB=4，∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°。
因此阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}BOF}-S_{△ AOB}-S_{△ AOF}$
$=\frac{120π×4^2}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2×2$
$=\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$。
【答案】
4. (1) 证明过程如上，四边形BGEH为平行四边形得证；
(2) 阴影部分面积为$\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$。
【知识点】
正六边形性质，全等三角形判定，扇形面积计算
【点评】
本题是正六边形与圆结合的基础综合题，难度梯度平缓，第一问依托正六边形的边角特征，通过两次全等证明平行四边形，考察了平行四边形的判定逻辑；第二问用割补法计算组合阴影面积，需要学生熟练掌握正三角形、扇形的面积公式，适合巩固多边形与圆结合的相关知识点。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形BGEH是平行四边形，可选用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定思路，只需证得BH=EG、BG=EH即可。首先利用正六边形各边相等、所有内角均为120°的性质，结合已知CH=FG，先证明△BCH≌△EFG得到BH=EG；再通过线段和差推导AG=DH，证明△ABG≌△DEH得到BG=EH，即可完成平行四边形的证明。
(2) 求阴影部分面积采用割补法：阴影面积等于扇形BOF的面积减去扇形内部两个空白三角形△AOB、△AOF的面积。先根据正六边形的中心角为60°，推出∠BOF=120°，且OB=OF=正六边形边长4，分别计算扇形面积和两个正三角形的面积，二者作差即可得到阴影部分的结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ ∠C=∠D=∠AFE=∠BAF=120°，AB=BC=CD=DE=EF=AF。
∵ CH=FG，
∴ CD-CH=AF-FG，即 HD=AG。
在△BCH 和 △EFG 中，
$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠C=∠EFG, \\ CH=FG, \end{cases}$
∴ △BCH ≌ △EFG(SAS)，
∴ BH=EG。
在△ABG 和 △DEH 中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠GAB=∠D, \\ AG=DH, \end{cases}$
∴ △ABG ≌ △DEH (SAS)，
∴ BG=EH。
∴ 四边形BGEH 两组对边分别相等，为平行四边形。
(2) 解：连接OA，
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ ∠AOB=∠AOF=$\frac{360°}{6}=60°$，OA=OB=OF，
∴ △AOB、△AOF均为等边三角形，
∴ OA=OB=OF=AB=4，∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°。
因此阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影部分}}=S_{\mathrm{扇形}BOF}-S_{△ AOB}-S_{△ AOF}$
$=\frac{120π×4^2}{360}-\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2×2$
$=\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$。
【答案】
4. (1) 证明过程如上，四边形BGEH为平行四边形得证；
(2) 阴影部分面积为$\frac{16}{3}π-8\sqrt{3}$。
【知识点】
正六边形性质，全等三角形判定，扇形面积计算
【点评】
本题是正六边形与圆结合的基础综合题，难度梯度平缓，第一问依托正六边形的边角特征，通过两次全等证明平行四边形，考察了平行四边形的判定逻辑；第二问用割补法计算组合阴影面积，需要学生熟练掌握正三角形、扇形的面积公式，适合巩固多边形与圆结合的相关知识点。
【难度系数】
0.6
