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7. 新情境 生活实际 如图,边长为$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$的正六边形螺帽,中心为点$O$,$OA$垂直平分边$CD$,垂足为$B$,$AB=17\ \mathrm{cm}$,用扳手拧动螺帽旋转$90°$,则点$A$在该过程中所经过的路径长为 （
A.$(17+\sqrt{3})π\ \mathrm{cm}$
B.$(17+2\sqrt{3})π\ \mathrm{cm}$
C.$10π\ \mathrm{cm}$
D.$20π\ \mathrm{cm}$
C
）A.$(17+\sqrt{3})π\ \mathrm{cm}$
B.$(17+2\sqrt{3})π\ \mathrm{cm}$
C.$10π\ \mathrm{cm}$
D.$20π\ \mathrm{cm}$
答案
7. C 如图,连接 OC,OD.根据题意,得$∠ DOC=\frac{360°}{6}=$
$60°,OC=OD,\therefore △ ODC$ 是等边三角形. $\therefore OD=OC=$
$CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}. \because OB⊥ CD,\therefore BC=BD=\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}\ \mathrm{cm},$
$∠ OBD=90°. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OBD$ 中,$OB=\sqrt{OD^2-BD^2}=$
$\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3(\mathrm{cm}). \because AB=17\ \mathrm{cm},\therefore OA=OB+$
$AB=3+17=20(\mathrm{cm}). \therefore$ 点 $A$ 在该过程中所经过的路径长为
$\frac{90×π×20}{180}=10π(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
要计算点A运动的路径长，首先明确点A绕旋转中心O旋转90°，运动轨迹是一段圆心角为90°的圆弧，根据弧长公式，只需要求出旋转半径OA的长度即可。我们可以把OA拆分为OB+AB，已知AB=17cm，因此只需要求出OB的长度：利用正六边形的性质，连接OC、OD，正六边形的中心角为60°，可证△OCD是等边三角形，再结合OA垂直平分CD，在直角三角形OBD中用勾股定理即可算出OB，进而得到OA，最后代入弧长公式就能得到路径长。
【解析】
1. 连接OC、OD，正六边形的中心角为$∠ DOC=\frac{360°}{6}=60°$，又OC=OD，因此$△ ODC$是等边三角形，可得$OD=OC=CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 已知OA垂直平分边CD，垂足为B，因此$BC=BD=\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，且$∠ OBD=90°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OD^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3\ \mathrm{cm}$。
4. 已知$AB=17\ \mathrm{cm}$，因此$OA=OB+AB=3+17=20\ \mathrm{cm}$。
5. 点A绕点O旋转90°，运动路径为圆心角90°、半径20cm的圆弧，代入弧长公式：
路径长$l=\frac{90×π× OA}{180}=\frac{90×π×20}{180}=10π\ \mathrm{cm}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正六边形性质，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题结合生活中拧动螺帽的实际场景命题，将正六边形的性质与圆弧路径长的计算结合，解题的关键是先明确点A的运动轨迹是圆弧，找准旋转圆心和旋转半径，通过正六边形的性质求出OB的长度进而得到OA，代入弧长公式即可求解，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要计算点A运动的路径长，首先明确点A绕旋转中心O旋转90°，运动轨迹是一段圆心角为90°的圆弧，根据弧长公式，只需要求出旋转半径OA的长度即可。我们可以把OA拆分为OB+AB，已知AB=17cm，因此只需要求出OB的长度：利用正六边形的性质，连接OC、OD，正六边形的中心角为60°，可证△OCD是等边三角形，再结合OA垂直平分CD，在直角三角形OBD中用勾股定理即可算出OB，进而得到OA，最后代入弧长公式就能得到路径长。
【解析】
1. 连接OC、OD，正六边形的中心角为$∠ DOC=\frac{360°}{6}=60°$，又OC=OD，因此$△ ODC$是等边三角形，可得$OD=OC=CD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
2. 已知OA垂直平分边CD，垂足为B，因此$BC=BD=\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，且$∠ OBD=90°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OD^2-BD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3\ \mathrm{cm}$。
4. 已知$AB=17\ \mathrm{cm}$，因此$OA=OB+AB=3+17=20\ \mathrm{cm}$。
5. 点A绕点O旋转90°，运动路径为圆心角90°、半径20cm的圆弧，代入弧长公式：
路径长$l=\frac{90×π× OA}{180}=\frac{90×π×20}{180}=10π\ \mathrm{cm}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正六边形性质，勾股定理，弧长计算
【点评】
本题结合生活中拧动螺帽的实际场景命题，将正六边形的性质与圆弧路径长的计算结合，解题的关键是先明确点A的运动轨迹是圆弧，找准旋转圆心和旋转半径，通过正六边形的性质求出OB的长度进而得到OA，代入弧长公式即可求解，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$∠ AOB=90^{ \circ }$,$OA=4$,$OB=4\sqrt{3}$,以点$O$为圆心,$OA$长为半径画弧,分别交$AB$,$OB$于点$C$,$D$,则图中阴影部分的面积为
$\boldsymbol{\frac{4π}{3}}$
.答案
8. $\frac{4π}{3}$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中,$∠ AOB=90°,OA=4,OB=4\sqrt{3},$
$\therefore AB = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2} = 8. \therefore$ 在
$\mathrm{Rt}△ AOB$ 中,$AO=\frac{1}{2}AB$,则易知$∠ B=30°. \therefore ∠ OAB=$
$90°-∠ B=60°.$ 如图,连接 OC. $\because OA=OC,\therefore △ AOC$ 为
等边三角形. $\therefore ∠ AOC=60°,AC=OA=4. \therefore CB=AB-$
$AC=8-4=4. \therefore OC=BC=AC. \therefore ∠ COB=∠ B=30°,$
$C$ 是 $AB$ 的中点. $\therefore S_{△ AOC}=S_{△ COB}=\frac{1}{2}S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×$
$4×4\sqrt{3}=4\sqrt{3}. \because S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8π}{3},S_{\mathrm{扇形}COD}=$
$\frac{30π×4^2}{360}=\frac{4π}{3},\therefore S_{\mathrm{阴影}}=(S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC})+(S_{△ COB}-$
$S_{\mathrm{扇形}COD})=(\frac{8π}{3}-4\sqrt{3})+(4\sqrt{3}-\frac{4π}{3})=\frac{4π}{3}.$
解析
【分析】
观察图形可知阴影部分是两个分散的不规则图形，无法直接用常规面积公式计算，因此优先考虑割补转化的思路：首先先在Rt△AOB中利用勾股定理算出斜边AB的长度，通过边长关系得到直角三角形的内角角度；接着连接辅助线OC，利用半径相等的性质得到△AOC是等边三角形，进而得到两个扇形的圆心角度数；再把两部分阴影分别转化为“扇形AOC减去△AOC”和“△COB减去扇形COD”的形式，相加后两个三角形的面积刚好抵消，大幅简化计算，最终直接得到两个扇形的面积差即为阴影总面积。
【解析】
1. 计算Rt△AOB的斜边长度
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=4$，$OB=4\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16+48}=8$
2. 推导三角形内角
由$OA=4=\frac{1}{2}AB$，根据直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半的性质，可得$∠ B=30°$，因此$∠ OAB=90°-∠ B=60°$。
3. 连接辅助线OC推导图形性质
连接OC，因为OA、OC都是圆O的半径，即$OA=OC$，结合$∠ OAB=60°$，可得$△ AOC$为等边三角形，因此$∠ AOC=60°$，$AC=OA=4$。
由此可得$CB=AB-AC=8-4=4$，即C是AB的中点，因此$S_{△ AOC}=S_{△ COB}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$，计算得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
$S_{△ AOC}=S_{△ COB}=4\sqrt{3}$
同时可得$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=90°-60°=30°$。
4. 计算两个扇形的面积
圆心角为60°的扇形AOC面积：
$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8π}{3}$
圆心角为30°的扇形COD面积：
$S_{\mathrm{扇形}COD}=\frac{30π×4^2}{360}=\frac{4π}{3}$
5. 合并计算阴影总面积
两部分阴影分别为：左侧阴影$=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}$，右侧阴影$=S_{△ COB}-S_{\mathrm{扇形}COD}$，因此总阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=(S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC})+(S_{△ COB}-S_{\mathrm{扇形}COD})$
代入数值后$S_{△ AOC}$和$S_{△ COB}$的$4\sqrt{3}$相互抵消，得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{8π}{3}-\frac{4π}{3}=\frac{4π}{3}$
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
勾股定理，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题是典型的不规则阴影面积计算题型，核心考察割补转化的几何思想，通过辅助线构造等边三角形后，发现相加过程中三角形面积项完全抵消的巧算规律，避免了复杂的分步运算，能有效锻炼学生对图形面积关系的灵活推导能力。
【难度系数】
0.5
观察图形可知阴影部分是两个分散的不规则图形，无法直接用常规面积公式计算，因此优先考虑割补转化的思路：首先先在Rt△AOB中利用勾股定理算出斜边AB的长度，通过边长关系得到直角三角形的内角角度；接着连接辅助线OC，利用半径相等的性质得到△AOC是等边三角形，进而得到两个扇形的圆心角度数；再把两部分阴影分别转化为“扇形AOC减去△AOC”和“△COB减去扇形COD”的形式，相加后两个三角形的面积刚好抵消，大幅简化计算，最终直接得到两个扇形的面积差即为阴影总面积。
【解析】
1. 计算Rt△AOB的斜边长度
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OA=4$，$OB=4\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16+48}=8$
2. 推导三角形内角
由$OA=4=\frac{1}{2}AB$，根据直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半的性质，可得$∠ B=30°$，因此$∠ OAB=90°-∠ B=60°$。
3. 连接辅助线OC推导图形性质
连接OC，因为OA、OC都是圆O的半径，即$OA=OC$，结合$∠ OAB=60°$，可得$△ AOC$为等边三角形，因此$∠ AOC=60°$，$AC=OA=4$。
由此可得$CB=AB-AC=8-4=4$，即C是AB的中点，因此$S_{△ AOC}=S_{△ COB}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$，计算得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
$S_{△ AOC}=S_{△ COB}=4\sqrt{3}$
同时可得$∠ COB=∠ AOB-∠ AOC=90°-60°=30°$。
4. 计算两个扇形的面积
圆心角为60°的扇形AOC面积：
$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{60π×4^2}{360}=\frac{8π}{3}$
圆心角为30°的扇形COD面积：
$S_{\mathrm{扇形}COD}=\frac{30π×4^2}{360}=\frac{4π}{3}$
5. 合并计算阴影总面积
两部分阴影分别为：左侧阴影$=S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC}$，右侧阴影$=S_{△ COB}-S_{\mathrm{扇形}COD}$，因此总阴影面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=(S_{\mathrm{扇形}AOC}-S_{△ AOC})+(S_{△ COB}-S_{\mathrm{扇形}COD})$
代入数值后$S_{△ AOC}$和$S_{△ COB}$的$4\sqrt{3}$相互抵消，得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{8π}{3}-\frac{4π}{3}=\frac{4π}{3}$
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
勾股定理，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题是典型的不规则阴影面积计算题型，核心考察割补转化的几何思想，通过辅助线构造等边三角形后，发现相加过程中三角形面积项完全抵消的巧算规律，避免了复杂的分步运算，能有效锻炼学生对图形面积关系的灵活推导能力。
【难度系数】
0.5
9. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$上一点,以$BD$为直径的$\odot O$经过点$A$,且$∠ CAD=∠ ABC$.
(1) 求证:直线$AC$是$\odot O$的切线.
(2) 若$\odot O$的直径为$6$,$CD+CA=6$,求$AC$的长.
(1) 求证:直线$AC$是$\odot O$的切线.
(2) 若$\odot O$的直径为$6$,$CD+CA=6$,求$AC$的长.
答案
9. (1) 连接 OA. $\because BD$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BAD=90°,$
即$∠ BAO+∠ OAD=90°. \because OA=OB,\therefore ∠ BAO=∠ B.$
$\therefore ∠ ABC + ∠ OAD = 90°. \because ∠ CAD = ∠ ABC,$
$\therefore ∠ CAD+∠ OAD=90°$,即$∠ OAC=90°. \therefore OA⊥ AC.$
$\because OA$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore$ 直线 $AC$ 是$\odot O$ 的切线.
(2) $\because \odot O$ 的直径为 $6$,$\therefore OA=OD=3.$ 设 $AC=x.$
$\because CD+CA=6,\therefore CD=6-x. \therefore OC=OD+CD=9-x.$
由(1)知,$∠ OAC=90°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAC$ 中,由勾股定理,得
$OA^2+AC^2=OC^2$,即 $3^2+x^2=(9-x)^2$,解得 $x=4. \therefore AC$
的长为 $4.$
即$∠ BAO+∠ OAD=90°. \because OA=OB,\therefore ∠ BAO=∠ B.$
$\therefore ∠ ABC + ∠ OAD = 90°. \because ∠ CAD = ∠ ABC,$
$\therefore ∠ CAD+∠ OAD=90°$,即$∠ OAC=90°. \therefore OA⊥ AC.$
$\because OA$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore$ 直线 $AC$ 是$\odot O$ 的切线.
(2) $\because \odot O$ 的直径为 $6$,$\therefore OA=OD=3.$ 设 $AC=x.$
$\because CD+CA=6,\therefore CD=6-x. \therefore OC=OD+CD=9-x.$
由(1)知,$∠ OAC=90°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAC$ 中,由勾股定理,得
$OA^2+AC^2=OC^2$,即 $3^2+x^2=(9-x)^2$,解得 $x=4. \therefore AC$
的长为 $4.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明AC是⊙O的切线，我们采用切线判定的常规思路“连半径，证垂直”：首先连接OA，利用BD是直径的条件，得到直径所对的圆周角∠BAD为90°，再结合OA=OB的等边对等角性质，把∠BAO替换为∠ABC，代入题目给出的∠CAD=∠ABC的条件，就能推导出∠OAC=90°，也就是OA⊥AC，结合OA是半径即可完成证明。第二问已知圆的直径，我们可以设AC的长度为未知数x，根据CD+CA=6把CD用含x的式子表示，进而把OC的长度也用x表示，再利用第一问得到的△OAC是直角三角形的结论，用勾股定理列方程，解方程就能求出AC的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OA，
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BAD=90°，即∠BAO + ∠OAD = 90°，
又
∵ OA=OB，
∴ ∠BAO = ∠ABC，
代入得∠ABC + ∠OAD = 90°，
已知∠CAD = ∠ABC，
∴ ∠CAD + ∠OAD = 90°，即∠OAC = 90°，
∴ OA⊥AC，
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ 直线AC是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ ⊙O的直径为6，
∴ OA=OD=3，
设AC=x，
∵ CD + CA = 6，
∴ CD = 6 - x，
∴ OC = OD + CD = 3 + (6 - x) = 9 - x，
由(1)知∠OAC=90°，在Rt△OAC中，由勾股定理得：
OA² + AC² = OC²，
代入数值：3² + x² = (9 - x)²，
展开化简得9 + x² = 81 - 18x + x²，
消去x²后解得x=4。
【答案】
(1) 证明如上；(2) AC的长为4
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，第一问考查切线判定的经典辅助线作法“连半径证垂直”，通过角的等量代换推导垂直关系，第二问结合勾股定理设未知数列方程求解，整体思路清晰，是圆章节的经典常考题型，适合巩固切线判定的核心方法。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，第一问要证明AC是⊙O的切线，我们采用切线判定的常规思路“连半径，证垂直”：首先连接OA，利用BD是直径的条件，得到直径所对的圆周角∠BAD为90°，再结合OA=OB的等边对等角性质，把∠BAO替换为∠ABC，代入题目给出的∠CAD=∠ABC的条件，就能推导出∠OAC=90°，也就是OA⊥AC，结合OA是半径即可完成证明。第二问已知圆的直径，我们可以设AC的长度为未知数x，根据CD+CA=6把CD用含x的式子表示，进而把OC的长度也用x表示，再利用第一问得到的△OAC是直角三角形的结论，用勾股定理列方程，解方程就能求出AC的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OA，
∵ BD是⊙O的直径，
∴ ∠BAD=90°，即∠BAO + ∠OAD = 90°，
又
∵ OA=OB，
∴ ∠BAO = ∠ABC，
代入得∠ABC + ∠OAD = 90°，
已知∠CAD = ∠ABC，
∴ ∠CAD + ∠OAD = 90°，即∠OAC = 90°，
∴ OA⊥AC，
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ 直线AC是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ ⊙O的直径为6，
∴ OA=OD=3，
设AC=x，
∵ CD + CA = 6，
∴ CD = 6 - x，
∴ OC = OD + CD = 3 + (6 - x) = 9 - x，
由(1)知∠OAC=90°，在Rt△OAC中，由勾股定理得：
OA² + AC² = OC²，
代入数值：3² + x² = (9 - x)²，
展开化简得9 + x² = 81 - 18x + x²，
消去x²后解得x=4。
【答案】
(1) 证明如上；(2) AC的长为4
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题，第一问考查切线判定的经典辅助线作法“连半径证垂直”，通过角的等量代换推导垂直关系，第二问结合勾股定理设未知数列方程求解，整体思路清晰，是圆章节的经典常考题型，适合巩固切线判定的核心方法。
【难度系数】
0.7
10. 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,对角线 $AC$ 是$\odot O$ 的直径,$BD$ 平分$∠ ABC$,连接 $BO$ 并延长,交$\odot O$ 于点$E$,连接 $DE$ 并延长,交 $BA$ 的延长线于点 $F$.
(1) 求证:$AF=CB$.
(2) 若$BC=2$,求 $EF$ 的长.
(第 10 题)
(1) 求证:$AF=CB$.
(2) 若$BC=2$,求 $EF$ 的长.
(第 10 题)
答案
10. (1) $\because AC$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ABC=∠ ADC=90°.$
$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD=45°. \therefore \overgroup{AD}=$
$\overgroup{CD}. \therefore AD=CD. \because BE$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BDE=$
$∠ ADC=90°. \therefore ∠ BDE-∠ ADB=∠ ADC-∠ ADB$,即
$∠ FDA=∠ BDC. \because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,$
$\therefore ∠ FAD=180°-∠ BAD=∠ BCD. \therefore △ DAF≌△ DCB$
(ASA). $\therefore AF=CB.$
(2) 连接 $AE.$ 由(1)知,$AF=$
$BC=2,∠ ADF=∠ CDB,\therefore \overgroup{AE}=\overgroup{CB}. \therefore AE=CB=2.$
$\because BE$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BAE=90°. \therefore ∠ EAF=$
$180°-∠ BAE = 90°. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ EAF$ 中,$EF=$
$\sqrt{AF^2+AE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}.$
$\because BD$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD=45°. \therefore \overgroup{AD}=$
$\overgroup{CD}. \therefore AD=CD. \because BE$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BDE=$
$∠ ADC=90°. \therefore ∠ BDE-∠ ADB=∠ ADC-∠ ADB$,即
$∠ FDA=∠ BDC. \because$ 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,$
$\therefore ∠ FAD=180°-∠ BAD=∠ BCD. \therefore △ DAF≌△ DCB$
(ASA). $\therefore AF=CB.$
(2) 连接 $AE.$ 由(1)知,$AF=$
$BC=2,∠ ADF=∠ CDB,\therefore \overgroup{AE}=\overgroup{CB}. \therefore AE=CB=2.$
$\because BE$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ BAE=90°. \therefore ∠ EAF=$
$180°-∠ BAE = 90°. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ EAF$ 中,$EF=$
$\sqrt{AF^2+AE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}.$
解析
【分析】
要证明AF=CB，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等：
1. 首先利用AC是直径的性质，得到直径所对圆周角∠ABC=90°，结合BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠CBD=45°，由此推出弧AD等于弧CD，得到AD=CD；
2. 再利用BE是直径，得到∠BDE=90°，通过角的等量代换得到∠FDA=∠BDC；
3. 最后利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠FAD=∠BCD，即可通过ASA证明△DAF≌△DCB，直接得到AF=CB。
第二问求EF的长，首先连接AE作为辅助线：由第一问的角相等关系推出弧AE等于弧CB，得到AE=BC=2，再利用BE是直径得到∠BAE=90°，因此∠EAF是直角，在Rt△EAF中，AF=BC=2，AE=2，用勾股定理即可算出EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC=∠ ADC=90°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD=∠ CBD=45°$，
∴ $\overgroup{AD}=\overgroup{CD}$，
∴ $AD=CD$。
∵ BE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BDE=90°$，
∴ $∠ BDE-∠ ADB=∠ ADC-∠ ADB$，即$∠ FDA=∠ BDC$。
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴ $∠ FAD=180°-∠ BAD=∠ BCD$，
在$△ DAF$和$△ DCB$中：
$\{\begin{array}{l}∠FDA=∠BDC \\AD=CD \\∠FAD=∠BCD\end{array} $
∴ $△ DAF≌△ DCB$（ASA），
∴ $AF=CB$。
(2) 解：连接$AE$，
由(1)知，$AF=BC=2$，$∠ ADF=∠ CDB$，
∴ $\overgroup{AE}=\overgroup{CB}$，
∴ $AE=CB=2$。
∵ BE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAE=90°$，
∴ $∠ EAF=180°-∠ BAE = 90°$，即$△ EAF$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ EAF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AF^2+AE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $EF=2\sqrt{2}$
【知识点】
直径对直角，全等三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问通过全等三角形证明线段相等，考察圆内接四边形性质、圆周角相关性质的综合应用，第二问通过构造辅助线AE，利用等弧对等弦转化边长，结合勾股定理计算，整体逻辑连贯，需要学生熟练掌握圆的基础性质，理清角、弧、弦之间的对应关系。
【难度系数】
0.6
要证明AF=CB，优先考虑证明两条线段所在的三角形全等：
1. 首先利用AC是直径的性质，得到直径所对圆周角∠ABC=90°，结合BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠CBD=45°，由此推出弧AD等于弧CD，得到AD=CD；
2. 再利用BE是直径，得到∠BDE=90°，通过角的等量代换得到∠FDA=∠BDC；
3. 最后利用圆内接四边形的外角等于内对角，得到∠FAD=∠BCD，即可通过ASA证明△DAF≌△DCB，直接得到AF=CB。
第二问求EF的长，首先连接AE作为辅助线：由第一问的角相等关系推出弧AE等于弧CB，得到AE=BC=2，再利用BE是直径得到∠BAE=90°，因此∠EAF是直角，在Rt△EAF中，AF=BC=2，AE=2，用勾股定理即可算出EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC=∠ ADC=90°$。
∵ BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD=∠ CBD=45°$，
∴ $\overgroup{AD}=\overgroup{CD}$，
∴ $AD=CD$。
∵ BE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BDE=90°$，
∴ $∠ BDE-∠ ADB=∠ ADC-∠ ADB$，即$∠ FDA=∠ BDC$。
∵ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
∴ $∠ FAD=180°-∠ BAD=∠ BCD$，
在$△ DAF$和$△ DCB$中：
$\{\begin{array}{l}∠FDA=∠BDC \\AD=CD \\∠FAD=∠BCD\end{array} $
∴ $△ DAF≌△ DCB$（ASA），
∴ $AF=CB$。
(2) 解：连接$AE$，
由(1)知，$AF=BC=2$，$∠ ADF=∠ CDB$，
∴ $\overgroup{AE}=\overgroup{CB}$，
∴ $AE=CB=2$。
∵ BE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAE=90°$，
∴ $∠ EAF=180°-∠ BAE = 90°$，即$△ EAF$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ EAF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AF^2+AE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $EF=2\sqrt{2}$
【知识点】
直径对直角，全等三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问通过全等三角形证明线段相等，考察圆内接四边形性质、圆周角相关性质的综合应用，第二问通过构造辅助线AE，利用等弧对等弦转化边长，结合勾股定理计算，整体逻辑连贯，需要学生熟练掌握圆的基础性质，理清角、弧、弦之间的对应关系。
【难度系数】
0.6
