1. 如图,正五边形$ABCDE$的两条边$AE$,$CD$与$\odot O$相切,切点为$A$,$C$,点$F$在圆上且在正五边形$ABCDE$的外部,则$∠ AFC$的度数为（）

A.$52^{\circ }$
B.$72^{\circ }$
C.$88^{\circ }$
D.$90^{\circ }$

1. B 连接 OA,OC.
∵ 五边形 ABCDE 是正五边形，
$\therefore ∠ D=∠ E=\frac{1}{5}×(5-2)×180°=108°.$
∵ AE,CD 与
$\odot O$ 相切,切点为 A,C, $\therefore OA ⊥ AE, OC ⊥ CD.$
$\therefore ∠ OAE=∠ OCD=90°. \therefore ∠ AOC=(5-2)×180°-$
$2×90°-2×108°=144°. \therefore ∠ AFC=\frac{1}{2}∠ AOC=72°.$

【分析】
这道题的核心思路是利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需要先求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数，就能算出∠AFC。首先第一步先回忆正五边形的内角计算公式，算出正五边形的内角大小；第二步根据切线的性质，切线和过切点的半径垂直，得到两个90°的直角；第三步利用五边形OAEDC的内角和，减去已知的两个直角、两个正五边形的内角，就能得到圆心角∠AOC；最后代入圆周角定理直接计算出∠AFC的度数即可。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角$∠D=∠E=\frac{1}{5}×540°=108°$。
2. 利用切线性质得到直角：
已知AE、CD与$\odot O$相切，切点为A、C，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此$OA ⊥ AE$，$OC ⊥ CD$，即$∠OAE=∠OCD=90°$。
3. 计算圆心角$∠AOC$：
五边形OAEDC的内角和同样为$(5-2)×180°=540°$，因此：
$∠AOC = 540° - ∠OAE - ∠E - ∠D - ∠OCD$
代入已知角度得：$∠AOC=540°-90°-108°-108°-90°=144°$。
4. 利用圆周角定理求$∠AFC$：
∠AFC是弧AC对应的圆周角，根据圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，因此：
$∠AFC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×144°=72°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角和，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆与正多边形结合的基础综合题，解题关键是通过切线的垂直性质推导圆心角的大小，再结合圆周角定理得到所求角度，整体逻辑链条清晰，需要学生熟练掌握基础几何定理，理清不同角度之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

2. 如图,$BD$是$\odot O$的直径,点$A$,$C$在$\odot O$上,$AB=AD$,$AC$与$BD$相交于点$G$,$∠ BOC=54°$,则$∠ AGB$的度数为（）

A.$108°$
B.$110°$
C.$99°$
D.$117°$

2. A $\because BD$ 是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ DAB=90°. \because \overgroup{AB}=\overgroup{AD},\therefore AB=AD. \therefore ∠ ABD=∠ ADB=45°. \because ∠ BOC=54°,\therefore ∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=27°. \therefore ∠ AGB=180°-$
$∠ BAC-∠ ABD=180°-27°-45°=108°.$

【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：第一步，看到BD是⊙O的直径，首先联想到直径所对的圆周角是直角，得到∠DAB=90°；第二步，已知AB=AD，说明△ABD是等腰直角三角形，直接算出它的两个底角∠ABD和∠ADB都等于45°；第三步，已知圆心角∠BOC=54°，根据圆周角定理，同弧对应的圆周角是圆心角的一半，得到弧BC对应的圆周角∠BAC的度数为27°；第四步，所求的∠AGB是△ABG的内角，用三角形内角和180°减去已经求出的∠ABD和∠BAC，就能算出∠AGB的度数，选出对应选项。
【解析】
解：
1. 因为BD是⊙O的直径，由直径所对的圆周角为直角可得：
$∠ DAB = 90°$
2. 已知$AB=AD$，因此$△ ABD$是等腰直角三角形，两个底角相等：
$∠ ABD = ∠ ADB = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$
3. 已知$∠ BOC=54°$，$∠ BOC$是弧BC对应的圆心角，$∠ BAC$是弧BC对应的圆周角，根据圆周角定理：
$∠ BAC = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 54° = 27°$
4. 在$△ AGB$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AGB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABD = 180° - 27° - 45° = 108°$
【答案】
A.$108°$
【知识点】
直径的圆周角性质，圆周角定理，三角形内角和
【点评】
本题是圆内角度计算的基础综合题，考察圆周角相关的核心基础性质，解题逻辑清晰连贯，只要准确掌握直径的圆周角特征、圆周角和对应圆心角的倍数关系，就可以顺利推导结果，易错点是混淆同弧对应的圆心角和圆周角的对应关系，属于常规的基础题型。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,以点$A$为圆心,$3$为半径的圆与边$BC$相切于点$D$,与$AC$,$AB$分别交于点$E$,$G$,$F$是优弧$GE$上一点,$∠ CDE=18^{ \circ }$,则$∠ GFE$的度数是.

3. 48° 连接 AD. $\because BC$ 与$\odot A$ 相切于点 D, $\therefore AD ⊥ BC.$
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°. \because AB=6,AG=AD=3,$
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,易得 $∠ B=30°.$
$\therefore ∠ GAD=60°. \because ∠ CDE=18°,\therefore ∠ ADE=∠ ADC-$
$∠ CDE=90°-18°=72°. \because AD=AE,\therefore ∠ ADE=∠ AED=72°. \therefore ∠ DAE=180°-∠ ADE-∠ AED=$
$180°-72°-72°=36°. \therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=$
$60°+36°=96°. \therefore ∠ GFE=\frac{1}{2}∠ GAE=\frac{1}{2}×96°=48°.$

【分析】
解题时首先看到圆和边BC相切，优先连接圆心与切点D，得到AD⊥BC，这是切线性质对应的常规辅助线做法。接下来已知AB=6，圆A半径为3，可得AD=3，也就是Rt△ABD中直角边AD等于斜边AB的一半，由此推出∠B=30°，进而得到∠BAD=60°。接着利用已知∠CDE=18°，结合∠ADC=90°算出∠ADE=72°，再由AD=AE都是圆的半径，在等腰△ADE中算出顶角∠DAE=36°，这样就能得到弧GE对应的圆心角∠GAE=∠BAD+∠DAE=96°。最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠GFE的度数。
【解析】
连接AD，
∵ BC与⊙A相切于点D，
∴ AD⊥BC，即∠ADB=∠ADC=90°，
∵ AB=6，⊙A半径为3，即AG=AD=AE=3，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB$，
在Rt△ADB中，直角边等于斜边的一半，可得∠B=30°，
∴ ∠BAD = 90° - ∠B = 60°，
∵ ∠CDE=18°，
∴ ∠ADE = ∠ADC - ∠CDE = 90° - 18° =72°，
又
∵ AD=AE，
∴ △ADE为等腰三角形，∠ADE=∠AED=72°，
∴ ∠DAE = 180° - 72° -72° =36°，
∴ ∠GAE = ∠BAD + ∠DAE =60°+36°=96°，
∵ ∠GFE是弧GE所对的圆周角，∠GAE是弧GE所对的圆心角，
∴ $∠GFE = \frac{1}{2} ∠GAE = \frac{1}{2} ×96°=48°$。
【答案】
48°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，核心突破口是通过连接辅助线AD利用切线性质得到垂直关系，后续依次结合直角三角形边角性质、等腰三角形性质推导圆心角，最后用圆周角定理得到结果，整体推导逻辑清晰，需要学生熟练掌握圆的基础性质，理清不同角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

4. 如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, C 是 $\odot O$ 上一点, D 是 $\overgroup{B C}$ 的中点, $D E ⊥ A B$ 于点 E, 交 B C 于点 F. 若$A C=2, \odot O$ 的半径为 2 , 则 D F 的长为.

4. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 如图,连接OC,OD,BD. $\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,C是$\odot O$ 上一点,$\odot O$ 的半径为 2, $\therefore OA=OC=OB=OD=$
2. $\because AC=2,\therefore OA=OC=AC=2. \therefore △ OAC$ 是等边三角形.
$\therefore ∠ AOC=60°. \therefore ∠ BOC=120°,∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=$
$30°. \because D$ 是 $\overgroup{BC}$ 的中点, $\therefore ∠ COD=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=$
$60°. \because OB = OD = 2,\therefore △ OBD$ 是等边三角形.
$\therefore ∠ ODB=60°. \because DE⊥ AB,\therefore OE=BE=\frac{1}{2}OB=1.$ 在
$\mathrm{Rt}△ ODE$ 中,由勾股定理,得 $DE = \sqrt{OD^2-OE^2} =$
$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,$∠ FBE=30°,\therefore BF=$
$2EF.$ 由勾股定理,得 $BE = \sqrt{BF^2-EF^2}=$
$\sqrt{(2EF)^2-EF^2}=\sqrt{3}EF. \therefore EF=\frac{\sqrt{3}}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{3}. \therefore DF=$
$DE-EF=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

【分析】
这道题可以按以下思路逐步推导：首先，已知AB是⊙O的直径，半径为2，结合AC=2，可先判定△OAC是等边三角形，算出∠AOC=60°，进而得到∠BOC=120°，再通过圆周角定理得到∠ABC=30°。接着利用D是弧BC的中点的条件，得到两个相等的60°圆心角∠COD和∠BOD，判定△OBD是等边三角形。之后由DE⊥AB，结合等边三角形三线合一得到E是OB中点，算出OE、BE的长度，在Rt△ODE中用勾股定理求出DE的长。最后在Rt△BEF中，利用30°直角三角形的性质和勾股定理算出EF的长度，用DE减去EF即可得到DF的长，全程通过连接OC、OD、BD辅助线，把圆的性质和特殊三角形的性质结合求解。
【解析】
连接OC、OD、BD：
1. 因为AB是⊙O的直径，⊙O的半径为2，所以$OA=OC=OB=OD=2$。
2. 已知$AC=2$，因此$OA=OC=AC=2$，可得$△ OAC$是等边三角形，$∠ AOC=60°$。
3. 由此计算得$∠ BOC=180°-∠ AOC=120°$，根据圆周角定理，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ AOC=30°$。
4. 因为D是$\overgroup{BC}$的中点，所以$∠ COD=∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$，又$OB=OD=2$，因此$△ OBD$是等边三角形。
5. 因为$DE⊥ AB$，由等边三角形三线合一可得$OE=BE=\frac{1}{2}OB=1$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得：
$DE = \sqrt{OD^2-OE^2} = \sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
7. 在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ FBE=30°$，所以$BF=2EF$，由勾股定理得：
$BE = \sqrt{BF^2-EF^2}=\sqrt{(2EF)^2-EF^2}=\sqrt{3}EF$，代入$BE=1$，解得$EF=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
8. 最终计算得$DF=DE-EF=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基础性质与特殊三角形的计算，解题核心是通过已知边长快速识别等边三角形，结合弧中点的性质得到等角，再利用垂直条件分步计算线段长度，需要学生熟练关联圆和特殊三角形的性质，整体逻辑连贯，是圆相关计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.6

5. 如图,在$\odot O$中,直径$CD=4,AB ⊥ CD$于点$G$,且$OG=1$,$E$为$\overset{\frown}{BC}$上一点,连接$AE$,过点$C$作$CF ⊥ AE$于点$F$.若$FC=\sqrt{6}$,则$AE$的长为.

5. $\sqrt{6}+\sqrt{2}$ 如图,连接 AC,CE,OA,AD. $\because CD=4,$
$\therefore OD=\frac{1}{2}CD=2. \because OG=1,\therefore DG=OD-OG=2-1=$
$1. \therefore DG=OG.$ 又 $\because AB⊥ CD,\therefore AO=AD. \because OD=$
$OA,\therefore OD=OA=AD=2. \therefore △ AOD$ 是等边三角形.
$\therefore ∠ D=60°. \because CD$ 是$\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ CAD=90°.$
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ CAD$ 中,$AC=\sqrt{CD^2-AD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=$
$2\sqrt{3}. \because CF⊥ AE,FC=\sqrt{6},\therefore AF=\sqrt{AC^2-FC^2}=$
$\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}=\sqrt{6}. \because ∠ E=∠ D=60°,∠ CFE=$
$90°,\therefore ∠ FCE=30°. \therefore$ 易得 $EF=\sqrt{2}. \therefore AE=AF+$
$EF=\sqrt{6}+\sqrt{2}.$

【分析】
解题时我们可以按以下思路逐步推导：1. 首先结合已知的直径长度CD=4，得到圆的半径为2，再利用AB⊥CD、OG=1的条件，结合垂径定理推出△AOD是等边三角形，得到圆周角∠D=60°；2. 利用直径所对圆周角为直角的性质，在Rt△CAD中计算出AC的长度；3. 由于CF⊥AE，将AE拆分为AF和EF两段，先在Rt△ACF中用勾股定理求出AF的长；4. 再利用同弧所对圆周角相等，得到∠AEC=∠D=60°，在Rt△CFE中计算出EF的长度，最后将两段相加即可得到AE的总长。
【解析】
解：连接AC、CE、OA、AD，
∵ CD是⊙O的直径，CD=4，
∴ 圆的半径OA=OD=OC=2，
∵ OG=1，AB⊥CD，
∴ DG=OD - OG = 2 - 1 = 1，即G是OD的中点，AB垂直平分OD，
∴ AO=AD，又OA=OD=2，
∴ OD=OA=AD=2，△AOD是等边三角形，
∴ ∠ADC=60°，
∵ CD是⊙O的直径，
∴ ∠CAD=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△CAD中，由勾股定理得：
AC=√(CD² - AD²)=√(4² - 2²)=2√3，
∵ CF⊥AE，
∴ △AFC是直角三角形，已知FC=√6，
∴ AF=√(AC² - FC²)=√[(2√3)² - (√6)²]=√(12-6)=√6，
∵ ∠AEC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠AEC=∠ADC=60°，
在Rt△CFE中，∠CFE=90°，∠CEF=60°，
∴ ∠FCE=30°，设EF=x，则CE=2x，
由勾股定理得：EF² + CF² = CE²，即x² + (√6)²=(2x)²，
解得x=√2，即EF=√2，
∴ AE=AF + EF = √6 + √2。
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础计算题，核心思路是将所求线段AE拆分为两段分别在不同直角三角形中求解，需要学生熟练运用垂径定理、圆周角的等量转换，结合特殊直角三角形的性质完成计算，辅助线的构造是解题的突破口。
【难度系数】
0.6

6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$O$在$AC$上,以$OA$为半径的半圆$O$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,点$F$在$BC$上,且$BF=DF$.
(1) 求证:$DF$是半圆$O$的切线.
(2) 若$AC=4$,$BC=3$,$CF=1$,求半圆$O$的半径.

6. (1) 连接 OD. $\because BF=DF,\therefore ∠ B=∠ BDF. \because ∠ C=$
$90°,\therefore ∠ OAD+∠ B=90°. \because OA=OD,\therefore ∠ OAD=∠ ODA. \therefore ∠ ODA+∠ BDF=90°. \therefore ∠ ODF=180°-$
$(∠ ODA+∠ BDF)=90°. \therefore OD⊥ DF. \because OD$ 是半圆 $O$ 的半径,$\therefore DF$ 是半圆 $O$ 的切线.
(2) 连接 OF,OD.设半圆 $O$ 的半径为 $r$,则 $OD=OE=r. \because AC=4,BC=3,$
$CF=1,\therefore OC=4-r,DF=BF=BC-CF=3-1=2.$ 由
(1)知,$∠ ODF=90°$,又 $\because ∠ C=90°,\therefore$ 由勾股定理,得
$OD^2+DF^2=OF^2=OC^2+CF^2$,即 $r^2+2^2=(4-r)^2+1^2,$
解得 $r=\frac{13}{8}. \therefore$ 半圆 $O$ 的半径为 $\frac{13}{8}.$

【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明DF是半圆O的切线，根据切线的判定定理，需要证明DF垂直于过切点的半径，因此首先连接辅助线OD。接下来利用等腰三角形等边对等角的性质：由OA=OD得到∠OAD=∠ODA，由BF=DF得到∠B=∠BDF，再结合Rt△ABC中∠C=90°、两锐角互余即∠OAD+∠B=90°，等量代换后就能推出∠ODA+∠BDF=90°，进而得到∠ODF=90°，也就是OD⊥DF，完成切线证明。
第二问求半圆的半径，我们可以设半径为r，先把已知的各线段长度推导出来：BF=DF=BC-CF=2，OC=AC-OA=4-r。观察到Rt△ODF和Rt△OCF有公共斜边OF，根据勾股定理，两个直角三角形的斜边平方相等，就可以列出关于r的一元一次方程，解方程就能求出半径的值。
【解析】
(1) 证明：连接OD，
∵ BF=DF，
∴ ∠B=∠BDF，
∵ ∠C=90°，
∴ 在Rt△ABC中，∠OAD + ∠B = 90°，
又
∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA，
∴ ∠ODA + ∠BDF = 90°，
∴ ∠ODF = 180° - (∠ODA + ∠BDF) = 90°，即OD⊥DF，
又
∵ OD是半圆O的半径，
∴ DF是半圆O的切线。
(2) 解：连接OF、OD，设半圆O的半径为r，则OD=OE=r，
已知AC=4，BC=3，CF=1，
∴ OC = AC - OA = 4 - r，
DF = BF = BC - CF = 3 - 1 = 2，
由(1)可知∠ODF=90°，又∠C=90°，
在Rt△ODF中，由勾股定理得：$OF^2 = OD^2 + DF^2 = r^2 + 2^2$，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：$OF^2 = OC^2 + CF^2 = (4 - r)^2 + 1^2$，
因此可得方程：$r^2 + 2^2 = (4 - r)^2 + 1^2$，
展开化简：$r^2 + 4 = 16 - 8r + r^2 + 1$，
消去$r^2$后得：$4 = 17 - 8r$，
解得$r=\frac{13}{8}$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) 半圆O的半径为$\frac{13}{8}$
【知识点】
切线的判定，勾股定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的常规中档题，第一问考查切线判定的核心方法“连半径证垂直”，通过等腰三角形角的等量代换推导垂直关系，是切线证明的经典思路；第二问利用公共斜边构造勾股方程求解半径，避免了复杂的相似计算，是这类求圆半径问题的常用技巧，整体计算难度低，侧重几何逻辑推导。
【难度系数】
0.7