1. 解方程：$\dfrac{x+1}{0.4} - \dfrac{0.2x-1}{0.7} = 1.$

去分母,得$7(x+1)-4(0.2x-1)=2.8$,
去括号,得$7x+7-0.8x+4=2.8$,
移项、合并同类项,得$6.2x=-8.2$,
系数化为1,得$x=-\dfrac{41}{31}.$

【分析】本题是含小数分母的一元一次方程，解题思路是先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数分母，再按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1）逐步求解，计算时需注意符号和系数的准确性。
【解析】原方程为$\dfrac{x+1}{0.4} - \dfrac{0.2x-1}{0.7} = 1$，
利用分数的基本性质化小数分母为整数分母，再两边同乘2.8去分母，得：
$7(x+1)-4(0.2x-1)=2.8$，
去括号，得：
$7x+7 - 0.8x + 4 = 2.8$，
移项、合并同类项，得：
$6.2x = -8.2$，
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{41}{31}$。
【答案】$x=-\dfrac{41}{31}$
【知识点】一元一次方程的解法，分数的基本性质
【点评】本题考查含小数分母的一元一次方程的求解，核心是将小数分母转化为整数分母，再按常规步骤计算，需注意去分母时的等式性质应用以及去括号时的符号处理，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

2. 分类讨论思想 先阅读下列解题过程，然后解答问题.
例:解绝对值方程:$|2x|=1.$
解:①当$x≥ 0$时,原方程可化为$2x=1$,它的解是$x=\dfrac{1}{2}$;②当$x＜0$时,原方程可化为$-2x=1$,它的解是$x=-\dfrac{1}{2}$.所以原方程的解为$x=\dfrac{1}{2}$或$x=-\dfrac{1}{2}$.
(1)依例题的解法,方程$\left|\dfrac{1}{2}x\right|=2$的解是;
(2)尝试解绝对值方程:$2|x-2|=6$;
(3)在理解绝对值方程解法的基础上,解方程:$|x-2|+|x-1|=5.$

(1)$x=4$或$x=-4$ [解析]①当$x≥0$时,原方程可化为$\dfrac{1}{2}x=2$,解得$x=4$;②当$x＜0$时,原方程可化为$-\dfrac{1}{2}x=2$,解得$x=-4$.所以原方程的解为$x=4$或$x=-4$.
(2)①$x≥2$时,原方程可化为$2(x-2)=6$,它的解是$x=5$;②当$x＜2$时,原方程可化为$-2(x-2)=6$,它的解是$x=-1$.所以原方程的解为$x=5$或$x=-1$.
(3)①当$x≥2$时,原方程可化为$x-2+x-1=5$,解得$x=4$;
②当$x≤1$时,原方程可化为$2-x+1-x=5$,解得$x=-1$;
③当$1＜x＜2$时,原方程可化为$2-x+x-1=5$,此时方程无解.所以原方程的解为$x=4$或$x=-1$.

【分析】
本题运用分类讨论思想解绝对值方程，核心是根据绝对值内表达式的正负性，分情况去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为一元一次方程求解，最后需验证解是否满足对应情况的取值范围，确保解的正确性。
【解析】
(1) 对于方程$\left|\dfrac{1}{2}x\right|=2$：
①当$x≥0$时，原方程可化为$\dfrac{1}{2}x=2$，解得$x=4$；
②当$x＜0$时，原方程可化为$-\dfrac{1}{2}x=2$，解得$x=-4$。
所以原方程的解为$x=4$或$x=-4$。
(2) 先将方程$2|x-2|=6$化简为$|x-2|=3$，再分情况：
①当$x≥2$时，原方程可化为$x-2=3$，解得$x=5$；
②当$x＜2$时，原方程可化为$-(x-2)=3$，即$-x+2=3$，解得$x=-1$。
所以原方程的解为$x=5$或$x=-1$。
(3) 方程$|x-2|+|x-1|=5$的绝对值零点为$x=1$和$x=2$，分三种情况：
①当$x≥2$时，原方程可化为$x-2+x-1=5$，合并得$2x-3=5$，解得$x=4$；
②当$x≤1$时，原方程可化为$2-x+1-x=5$，合并得$3-2x=5$，解得$x=-1$；
③当$1＜x＜2$时，原方程可化为$2-x+x-1=5$，化简得$1=5$，方程无解。
所以原方程的解为$x=4$或$x=-1$。
【答案】
(1)$x=4$或$x=-4$；(2)$x=5$或$x=-1$；(3)$x=4$或$x=-1$
【知识点】
绝对值方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题通过例题引导学生掌握分类讨论思想在绝对值方程中的应用，关键是找到绝对值内表达式的零点，分情况去掉绝对值转化为普通方程，同时需验证解的范围是否匹配讨论条件，是基础的分类应用题型，帮助学生深化对绝对值性质的理解。
【难度系数】
0.6

3. 裂项相消法 类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论. 在异分母分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如:$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{2×3}-\frac{2}{3×2}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$，我们将上述计算过程倒过来，得到$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-$$\frac{1}{3}$，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项. 类似地，对于$\frac{1}{2×4}$可以用裂项的方法变形为$\frac{1}{2×4}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$. 类比上述方法，解决以下问题.
(1)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}=$；
(2)求解关于$x$的方程:$\frac{1}{-2×4}+\frac{1}{-4×6}+\dots+$$\frac{1}{-48×50}=\frac{19}{25}-2x.$

(1)$\dfrac{4}{5}$ [解析]原式$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$.
(2)方程整理,得$-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+\dots+\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{50})=\dfrac{19}{25}-2x$,即$-\dfrac{6}{25}=\dfrac{19}{25}-2x$,解得$x=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
本题运用裂项相消法解题，首先需理解题目给出的裂项规则：对于形如$\frac{1}{n(n+1)}$的项，可裂为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；对于形如$\frac{1}{n(n+2)}$的项，可裂为$\frac{1}{2}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$。解题时将算式中的每一项按规则裂项，相加后中间项会相互抵消，仅保留首尾项，从而简化计算；求解方程时同理，先对左边的式子裂项抵消，再通过移项、合并同类项等步骤解一元一次方程。
【解析】
(1) 对各项进行裂项：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，
则原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
$=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$。
(2) 先整理方程左边的式子，各项均为负的$\frac{1}{n(n+2)}$形式，裂项得：
左边$=\frac{1}{-2×4}+\frac{1}{-4×6}+…+\frac{1}{-48×50}$
$=-[\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+…+\frac{1}{48×50}]$
$=-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{48}-\frac{1}{50})$
中间项抵消后，得：
$=-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{50})=-\frac{1}{2}×\frac{24}{50}=-\frac{6}{25}$，
原方程变为：$-\frac{6}{25}=\frac{19}{25}-2x$，
移项得：$2x=\frac{19}{25}+\frac{6}{25}=1$，
解得：$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{4}{5}$；(2)$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
裂项相消法，一元一次方程的解法
【点评】
本题通过类比推理给出裂项规则，核心考查裂项相消法的应用，利用裂项后中间项抵消简化计算，再结合一元一次方程的基本解法求解，属于初中数学的基础题型，需准确掌握不同形式分数的裂项系数与符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.6