7. 根据如下解方程$\dfrac{0.3x+0.5}{0.2}=\dfrac{x-1}{3}$的过程,仿照实例在每个步骤前面的括号内填写该步骤的名称,后面的括号内填写这样变形的依据,在最后的横线上写出方程的解.
原方程可变形为$\dfrac{3x+5}{2}=\dfrac{x-1}{3}$.(分数的基本性质)
去分母,得$3(3x+5)=2(x-1),$()
去括号,得$9x+15=2x-2,$()
(),得$9x-2x=-15-2,$()
合并同类项,得$7x=-17,$
(),得$x=$.

原方程可变形为$\dfrac{3x+5}{2}=\dfrac{x-1}{3}$.(分数的基本性质)
去分母,得$3(3x+5)=2(x-1)$,(等式的基本性质)
去括号,得$9x+15=2x-2$,(乘法分配律)
(移项),得$9x-2x=-15-2$,(等式的基本性质)
合并同类项,得$7x=-17$,
(系数化为1),得$x=-\dfrac{17}{7}$.

【分析】本题考查一元一次方程的解法步骤，需明确解方程各操作的名称及对应的数学依据，核心是掌握等式的基本性质、分数的基本性质、乘法分配律等在解方程中的应用，依次完成去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，每一步变形均有明确的数学规则支撑。
【解析】
1. 去分母：等式两边同时乘分母2和3的最小公倍数6，将分数系数化为整数，依据是等式的基本性质（等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立），因此得到$3(3x+5)=2(x-1)$；
2. 去括号：根据乘法分配律，将括号外的数分别乘括号内的每一项，去掉括号，依据是乘法分配律，得到$9x+15=2x-2$；
3. 移项：将含$x$的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，移项时需变号，依据是等式的基本性质（等式两边同时加或减同一个数，等式仍然成立），因此得到$9x-2x=-15-2$；
4. 合并同类项：将同类项合并，得到$7x=-17$；
5. 系数化为1：等式两边同时除以$x$的系数7，依据是等式的基本性质，得到$x=-\dfrac{17}{7}$。
【答案】
去分母,得$3(3x+5)=2(x-1),$(等式的基本性质)
去括号,得$9x+15=2x-2,$(乘法分配律)
(移项),得$9x-2x=-15-2,$(等式的基本性质)
合并同类项,得$7x=-17,$
(系数化为1),得$x=-\dfrac{17}{7}$.
【知识点】
一元一次方程的解法、等式的基本性质、分数的基本性质
【点评】
本题是对一元一次方程解法的基础考查，要求学生熟练掌握解方程各步骤的操作及依据，属于常规基础题型，能帮助学生巩固一元一次方程的解法逻辑。
【难度系数】
0.2

8. 已知关于 $x$ 的一元一次方程 $\dfrac{5}{2}x-n=\dfrac{5}{8}x+$142,当 $n$ 为某些自然数时,方程的解也为自然数. 试求最小的自然数 $n$.

原方程变形为$5x× \dfrac{3}{8}=n+142$.
因为右端要被5整除,
所以$n$可取3,8,13,18,23,28,33,$\dots$.
同时右端要被3整除,
故最小的$n$应取8,此时方程的解为$x=80$.

【分析】首先将原一元一次方程移项、合并同类项，整理得到解关于x的表达式；根据方程的解为自然数，结合自然数的性质，利用整除关系推导最小的自然数n。
【解析】解：对原方程$\dfrac{5}{2}x - n = \dfrac{5}{8}x +142$移项，得：
$\dfrac{5}{2}x - \dfrac{5}{8}x = n +142$
合并同类项，左边计算得：$\dfrac{20}{8}x - \dfrac{5}{8}x = \dfrac{15}{8}x$，因此：
$\dfrac{15}{8}x = n +142$
整理得：$x = \dfrac{8(n +142)}{15}$
因为x是自然数，n是自然数，所以$8(n +142)$必须能被15整除。由于8和15互质，因此$n +142$必须是15的倍数。
要找最小的自然数n，即找最小的15的倍数，使得$n = 15k -142$（k为正整数）且n≥0：
当k=9时，$n=15×9 -142=-7$（不符合自然数要求）；
当k=10时，$n=15×10 -142=8$（符合自然数要求）。
将n=8代入x的表达式，得$x=\dfrac{8×(8+142)}{15}=80$，是自然数，满足条件。
【答案】8
【知识点】一元一次方程、整除性质
【点评】本题通过整理方程得到解的表达式，利用互质数的整除特性结合自然数的条件求解最小n，关键在于明确倍数关系的推导，难度适中。
【难度系数】0.5

9. (2025·福建厦门期末)小玲解方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$,去分母时,忘记将方程右边的“$-1$”乘6,因而求得了方程的解为$x=2$.请根据上述信息:
(1)求$a$的值；
(2)求方程正确的解.

(1)$\dfrac{2x-1}{3}=\dfrac{x+a}{2}-1$,
去分母,得$2(2x-1)=3(x+a)-6$.
由题意,把$x=2$代入方程$2(2x-1)=3(x+a)-1$,得
$2×(4-1)=3(2+a)-1$,
解得$a=\dfrac{1}{3}$.
(2)由(1)可知,原方程为$\dfrac{2x-1}{3}=\dfrac{x+\dfrac{1}{3}}{2}-1$,
去分母,得$2(2x-1)=3(x+\dfrac{1}{3})-6$,
去括号,得$4x-2=3x+1-6$,
移项,得$4x-3x=-6+1+2$,
合并同类项,得$x=-3$.
归纳总结 本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程的应用,解此题的关键是能得出关于$a$的方程.

【分析】
本题是一元一次方程的错解问题，解题思路分两步：①根据错误的去分母操作（右边的“-1”未乘6）得到错误方程，将错解x=2代入该方程，求出参数a的值；②将a代入原方程，按解一元一次方程的正确步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求正确解。
【解析】
(1) 原方程去分母时，错误操作是右边的“-1”未乘6，因此错误的去分母结果为：$2(2x - 1) = 3(x + a) - 1$。
将错解$x=2$代入该错误方程：
左边：$2×(2×2 -1)=6$；
右边：$3×(2+a)-1=5+3a$；
令左右相等：$6=5+3a$，解得$a=\frac{1}{3}$。
(2) 将$a=\frac{1}{3}$代入原方程，得：$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+\frac{1}{3}}{2}-1$；
正确去分母（两边同乘6）：$2(2x -1)=3(x+\frac{1}{3})-6$；
去括号：$4x -2=3x +1 -6$；
移项：$4x -3x=1 -6 +2$；
合并同类项：$x=-3$。
【答案】
(1)$a=\frac{1}{3}$；(2)$x=-3$
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程的错解问题，核心是理解错误去分母的操作，利用错解建立参数方程，再正确求解原方程，需注意去分母时常数项要乘分母最小公倍数，避免漏乘错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

10. (2025·无锡锡山区天一中学期末)已知关于 $x$ 的方程$\dfrac{1}{2}(1-x)=k+1$ 的解与方程 $\dfrac{2}{5}(3x+2)=\dfrac{k}{10}+\dfrac{3}{2}(x-1)$的解互为相反数,求 $k$ 的值.
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精题详解

解方程$\dfrac{1}{2}(1-x)=k+1$,得$x=-1-2k$.
解方程$\dfrac{2}{5}(3x+2)=\dfrac{k}{10}+\dfrac{3}{2}(x-1)$,得$x=\dfrac{23-k}{3}$.
根据题意,得$(-1-2k)+\dfrac{23-k}{3}=0$,
解得$k=\dfrac{20}{7}$.

【分析】
要解决这个问题，需先分别解出两个关于$x$的一元一次方程，用$k$表示出它们的解；再根据“两个解互为相反数”的条件（即两解之和为$0$），建立关于$k$的方程，最后求解得到$k$的值。
【解析】
1. 解方程$\dfrac{1}{2}(1-x)=k+1$：
两边同乘$2$消分母，得$1 - x = 2k + 2$，
移项得$-x = 2k + 1$，
解得$x = -1 - 2k$。
2. 解方程$\dfrac{2}{5}(3x+2)=\dfrac{k}{10}+\dfrac{3}{2}(x-1)$：
两边同乘$10$（分母$5、10、2$的最小公倍数）消分母，得$4(3x + 2) = k + 15(x - 1)$，
展开得$12x + 8 = k + 15x - 15$，
移项合并同类项得$-3x = k - 23$，
解得$x = \dfrac{23 - k}{3}$。
3. 根据两方程的解互为相反数，得：
$(-1 - 2k) + \dfrac{23 - k}{3} = 0$，
两边同乘$3$消分母，得$-3 - 6k + 23 - k = 0$，
合并同类项得$20 - 7k = 0$，
解得$k = \dfrac{20}{7}$。
【答案】
$k = \dfrac{20}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法、相反数的性质
【点评】
本题结合一元一次方程的求解与相反数的性质，解题核心是准确解出两个方程的解，再利用“互为相反数的两数和为$0$”的条件建立方程，计算时需注意去分母、移项等步骤的符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.6