1. 数学李老师让同学们解方程$\dfrac{1}{3}(10-2x)=6-\dfrac{4}{3}(2x-10)$.小亮认为“方程两边有分母,应该先去分母”,小颖认为“方程中有$10-2x$及$2x-10$,且互为相反数,应该用整体思想求解”.请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程.

小亮:去分母,得 10−2x=18−4(2x−10),
去括号,得 10−2x=18−8x+40,
移项,得−2x+8x=18+40−10,
合并同类项,得 6x=48,
系数化为 1,得 x=8.
小颖:原方程可化为$\frac{1}{3}(10−2x)+\frac{4}{3}(2x−10)=6$,
$\therefore -\frac{1}{3}(2x−10)+\frac{4}{3}(2x−10)=6,\therefore 2x−10=6$,
$\therefore 2x=16,\therefore x=8$.

【分析】
本题要求用两种方法解一元一次方程，小亮的方法是去分母法，思路是利用等式的性质，给方程两边同乘分母的最小公倍数去掉分母，再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解；小颖的方法是整体思想法，思路是观察到方程中$10-2x$与$2x-10$互为相反数，将$10-2x$替换为$-(2x-10)$，合并同类项后简化计算，快速求解。
【解析】
小亮的方法（去分母法）
1. 去分母：方程两边同时乘3，得 $10 - 2x = 18 - 4(2x - 10)$；
2. 去括号：$10 - 2x = 18 - 8x + 40$；
3. 移项：将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得 $-2x + 8x = 18 + 40 - 10$；
4. 合并同类项：$6x = 48$；
5. 系数化为1：两边同时除以6，得 $x = 8$。
小颖的方法（整体思想法）
1. 原方程变形：移项得 $\frac{1}{3}(10 - 2x) + \frac{4}{3}(2x - 10) = 6$；
2. 利用相反数替换：因为$10 - 2x = -(2x - 10)$，代入得 $-\frac{1}{3}(2x - 10) + \frac{4}{3}(2x - 10) = 6$；
3. 合并同类项：$\frac{3}{3}(2x - 10) = 6$，即 $2x - 10 = 6$；
4. 求解：移项得 $2x = 16$，系数化为1得 $x = 8$。
【答案】
$x = 8$
【知识点】
一元一次方程的解法、整体思想
【点评】
本题通过两种不同方法求解一元一次方程，既考查了常规的去分母解方程步骤，又体现了整体思想在简化计算中的优势，有助于培养学生的观察能力和灵活解题的意识。
【难度系数】
0.6

2. 换元思想 用整体思想解方程：$(3y - 2) - \dfrac{(3y - 2) - 1}{2} = 2 - \dfrac{(3y - 2) + 2}{3}.$

设 k=3y−2,则原方程可变形为 $k-\frac{k-1}{2}=2-\frac{k+2}{3}$,
去分母,得 6k−3(k−1)=12−2(k+2),
去括号,得 6k−3k+3=12−2k−4,
移项、合并同类项,得 5k=5,
解得 k=1,
∴3y−2=1,解得 y=1.

【分析】
本题方程中多次出现相同的整体$(3y-2)$，可利用换元思想简化计算：先设该整体为$k$，将原方程转化为关于$k$的一元一次方程，解出$k$后再回代求$y$，化繁为简。
【解析】
设$k=3y-2$，则原方程变形为：
$k - \frac{k-1}{2} = 2 - \frac{k+2}{3}$
去分母（两边同乘6），得：
$6k - 3(k-1) = 12 - 2(k+2)$
去括号，得：
$6k - 3k + 3 = 12 - 2k - 4$
移项、合并同类项，得：
$5k = 5$
解得：$k=1$
将$k=1$代入$k=3y-2$，得：
$3y - 2 = 1$
解得：$y=1$
【答案】
$y=1$
【知识点】
换元思想、解一元一次方程
【点评】
本题通过换元（整体）思想，将含重复整体的复杂方程转化为简单的一元一次方程，降低了解题难度，是换元法解方程的典型应用，体现了化繁为简的数学思维。
【难度系数】
0.6

3. 阅读理解:在解形如 $3|x-2|=|x-2|+4$ 这类含有绝对值的方程时，
解法一:我们可以运用整体思想来解. 移项，得 $3|x-2|-|x-2|=4,2|x-2|=4$，$|x-2|=2,x-2=\pm2,x=4$ 或 $x=0$.
解法二:运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分 $x＜2$ 和 $x≥2$ 两种情况讨论：
①当 $x＜2$ 时，原方程可化为 $-3(x-2)=-(x-2)+4$，解得 $x=0$，符合 $x＜2$；
②当 $x≥2$ 时，原方程可化为 $3(x-2)=(x-2)+4$，解得 $x=4$，符合 $x≥2$.
$\therefore$ 原方程的解为 $x=0$ 或 $x=4$.
解题回顾:本解法中 2 为 $x-2$ 的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了 $x＜2$ 和 $x≥2$ 两部分，所以分 $x＜2$ 和 $x≥2$ 两种情况讨论.
问题:结合上面阅读材料，解下列方程：
(1)解方程:$|x-3|+8=3|x-3|$；
(2)解方程:$|2-x|-3|x+1|=x-9$.

(1)移项,得$|x-3|-3|x-3|=-8$,
合并,得$-2|x-3|=-8$,
两边同时除以−2,得$|x-3|=4$,
所以$x-3=\pm4$,
所以$x=-1$或$x=7$.
(2)当$x≤-1$时,原方程可化为$2-x+3(x+1)=x-9$,
解得$x=-14$,符合$x≤-1$;
当$-1＜x≤2$时,原方程可化为$2-x-3(x+1)=x-9$,
解得$x=\frac{8}{5}$,符合$-1＜x≤2$;
当$x＞2$时,原方程可化为$-2+x-3(x+1)=x-9$,解得$x=\frac{4}{3}$,不符合$x＞2$,舍去.
所以原方程的解为$x=-14$或$x=\frac{8}{5}$.

【分析】
对于含绝对值的方程，可运用整体思想或分类讨论思想求解。（1）题将|x-3|视为整体，转化为普通绝对值方程；（2）题根据绝对值内式子的零点划分区间，分情况去绝对值后转化为一元一次方程，最后检验解是否符合对应区间。
【解析】
（1）把|x-3|看作整体，移项得：|x-3| - 3|x-3| = -8，合并同类项得：-2|x-3| = -8，两边同除以-2得：|x-3| = 4，根据绝对值性质，x-3=±4，解得x=7或x=-1。
（2）绝对值内式子的零点为x=-1和x=2，分三种情况讨论：
①当x≤-1时，原方程化为：2 - x + 3(x + 1) = x - 9，解得x=-14，符合x≤-1；
②当-1＜x≤2时，原方程化为：2 - x - 3(x + 1) = x - 9，解得x=8/5，符合-1＜x≤2；
③当x＞2时，原方程化为：-2 + x - 3(x + 1) = x - 9，解得x=4/3，不符合x＞2，舍去。
综上，方程的解为x=-14或x=8/5。
【答案】
（1）x=-1或x=7；（2）x=-14或x=8/5
【知识点】
含绝对值的一元一次方程、整体思想、分类讨论思想
【点评】
本题结合阅读材料考查含绝对值方程的解法，核心是利用绝对值性质去绝对值，整体思想简化计算，分类讨论保证解的正确性，需注意检验解的合理性。
【难度系数】
0.3