1. 下面图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是().

A.＜五角星在圆内的图形＞
B.＜太极图图形＞

C.＜风车图形＞
D.＜正八边形相关图形＞

【点拨】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义.
【解析】根据定义,只有D选项图形既是轴对称图形,也是中心对称图形.故选D.

【分析】要解决本题，需先明确轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称图形是沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合；中心对称图形是绕图形的中心旋转180°后，能与原图形完全重合。接下来逐一分析每个选项，判断是否同时满足这两个条件。
【解析】
1. 选项A：该图形是轴对称图形（沿过五角星顶点和对边中点的直线对折可重合），但绕中心旋转180°后，五角星的角方向改变，无法与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求。
2. 选项B：该图形沿任何直线对折，两侧都无法完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转180°后，阴阳鱼及小圆的位置与原图形不匹配，也不是中心对称图形，不符合要求。
3. 选项C：该图形绕中心旋转180°后能与原图形重合，是中心对称图形，但找不到一条直线使图形对折后完全重合，不是轴对称图形，不符合要求。
4. 选项D：该图形沿多条直线对折后，两侧部分能完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后也能与原图形完全重合，是中心对称图形，符合要求。
【答案】D
【知识点】轴对称图形、中心对称图形
【点评】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，需准确区分两种图形的定义，逐一判断即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】0.6

2. 若二次根式$\sqrt{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是().

A.$x＞1$
B.$x≠1$
C.$x≥1$
D.$x=1$

【点拨】本题考查二次根式有意义的条件.
【解析】若二次根式$\sqrt{x-1}$有意义,则$x-1≥0$,即$x≥1$.故选C.

【分析】要确定二次根式有意义时x的取值范围，需牢记二次根式有意义的核心条件：被开方数必须为非负数（即大于等于0）。据此列出关于x的不等式，解不等式后对应选项即可得出答案。
【解析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足非负，因此对于$\sqrt{x-1}$，有$x-1≥0$，解这个不等式得$x≥1$，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】本题是二次根式的基础概念题，直接考查二次根式有意义的基本条件，只要掌握“被开方数非负”这一核心知识点，即可快速解题，属于巩固基础的典型题目。
【难度系数】0.9

3. 下列计算正确的是().

A.$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=4$
B.$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=5\sqrt{5}$
C.$2+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
D.$2× 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

【点拨】本题考查二次根式的运算与化简,合并同类二次根式.
【解析】$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$,A错误;$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$不是同类二次根式,不能合并,B错误;2与$2\sqrt{2}$不是同类二次根式,不能合并,C错误;$2 × 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$,D正确.故选D.

【分析】本题考查二次根式的运算，需掌握二次根式的除法、乘法法则及同类二次根式的合并规则，通过逐一分析选项判断正误：A选项利用二次根式除法法则计算，B、C选项判断是否为同类二次根式，D选项利用二次根式乘法法则计算。
【解析】根据二次根式运算法则逐一判断：
选项A：由二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，得$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2≠4$，故A错误；
选项B：$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故B错误；
选项C：2是常数项，$2\sqrt{2}$是二次根式，二者不是同类二次根式，不能合并，故C错误；
选项D：根据二次根式乘法法则，系数相乘、根式不变，得$2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，故D正确。
【答案】D
【知识点】二次根式的运算，同类二次根式的合并，二次根式的乘除
【点评】本题属于二次根式运算的基础题，重点考查二次根式的除法、乘法运算及同类二次根式的判断，需牢记运算法则，避免错误合并非同类二次根式。
【难度系数】0.7

4. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AB,AC$上,且$DE// BC$,若$AD = 2,BD = 3,DE = 2$,则$BC$的长是().

A.3
B.$\dfrac{5}{2}$
C.5
D.$\dfrac{15}{2}$

【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质.
【解析】$\because DE// BC,\therefore △ ABC∽ △ ADE$,
$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{AD+BD}{AD}$,即$\frac{BC}{2}=\frac{2+3}{2}$,$\therefore BC=5$.故选C.

【分析】
要解决这道题，首先观察到DE平行于BC，根据平行线的性质可判定△ADE与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，先计算AB的长度，最后代入比例式求出BC的长。
【解析】
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C，又∠A是△ADE和△ABC的公共角，
∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$。
已知AD=2，BD=3，所以AB=AD+BD=2+3=5，又DE=2，代入比例式得：
$\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$，解得BC=5。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质
【点评】
本题考查相似三角形的基础应用，利用平行线构造相似三角形，通过对应边成比例求解边长，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6

5. 下列条件中,能使平行四边形 ABCD 成为菱形的是().

A.$AC ⊥ BD$
B.$AB ⊥ BC$
C.$AB = CD$
D.$∠ BAD = ∠ ADC$

【点拨】本题考查菱形的判定.
【解析】在$□ ABCD$中,$AC⊥ BD$,则$□ ABCD$是菱形,A符合题意;在$□ ABCD$中,$AB⊥ BC$,则$□ ABCD$是矩形,不一定是菱形,B不符合题意;在$□ ABCD$中,$AB=CD$,则四边形ABCD不一定是菱形,C不符合题意;在$□ ABCD$中,$∠ BAD=∠ ADC$,又$\because ∠ BAD+∠ ADC=180°$,$\therefore ∠ BAD=∠ ADC=90°$,则$□ ABCD$是矩形,不一定是菱形,D不符合题意.故选A.

【分析】要判断平行四边形ABCD能否成为菱形，需结合菱形的判定定理和平行四边形的性质分析各选项：菱形的关键判定定理之一是“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；平行四边形具有对边相等、邻角互补等性质。逐个分析选项：A选项是对角线垂直，符合菱形判定；B选项邻边垂直会得到直角，属于矩形；C选项对边相等是平行四边形固有性质；D选项邻角相等会得到直角，属于矩形。
【解析】在平行四边形ABCD中：
选项A：若AC⊥BD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定ABCD为菱形，符合题意；
选项B：若AB⊥BC，则∠ABC=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是菱形，不符合；
选项C：平行四边形本身就满足对边相等（AB=CD），这是平行四边形的基本性质，无法判定其为菱形，不符合；
选项D：若∠BAD=∠ADC，又因为平行四边形邻角互补（∠BAD+∠ADC=180°），所以∠BAD=∠ADC=90°，此时ABCD是矩形，不一定是菱形，不符合。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】菱形的判定、平行四边形的性质
【点评】本题考查菱形判定与平行四边形性质的应用，需准确区分菱形、矩形的判定条件，牢记菱形的核心判定定理，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.7

6. 若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 5x + m = 0 $有两个不相等的实数根，则$ m $的值可以是().

A.6
B.7
C.8
D.9

【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式.
【解析】$b^2-4ac=(-5)^2-4×1· m＞0$,解得$m＜\frac{25}{4}$.
综合选项可知,$m$的值可以是6.故选A.

【分析】要解决这个问题，需利用一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。本题中先确定方程的$a、b、c$，再根据根的情况列出关于$m$的不等式，解不等式后对比选项选出符合条件的答案。
【解析】对于一元二次方程$x^2 -5x +m =0$，其中$a=1$，$b=-5$，$c=m$。因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 -4ac ＞0$，代入得：$(-5)^2 -4×1×m ＞0$，计算得$25 -4m ＞0$，移项后解得$m ＜ \frac{25}{4}=6.25$。观察选项，只有A选项的$6 ＜6.25$符合条件，故选A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于常规基础题，只要掌握判别式与根的关系即可快速解答。
【难度系数】0.7

7. 《四元玉鉴》中记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽. 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是:现请人代买一批椽,这批椽的总售价为6 210文,如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽的数量为x株,则符合题意的方程是().

A.$\frac{6210}{x}=3x$
B.$3(x-1)=6210$
C.$3(x-1)=\frac{6210}{x}$
D.$3(x-1)=\frac{6210}{x-1}$

【点拨】本题考查列分式方程解决实际问题.
【解析】设6210文能购买$x$株椽,则一株椽的价钱为$\frac{6\ 210}{x}$文,由题意得$3(x-1)=\frac{6\ 210}{x}$.故选C.

【分析】首先明确题目中的核心等量关系：少拿一株椽后，剩下椽的总运费恰好等于一株椽的价钱。设购买椽的数量为$x$株，需先分别表示出两个关键量：①一株椽的价钱（总售价除以椽的数量）；②少拿一株后剩下椽的总运费（剩余椽的数量×每株运费），再根据等量关系列方程即可选出正确选项。
【解析】设6210文购买椽的数量为$x$株，则一株椽的价钱为$\frac{6210}{x}$文。少拿一株椽后，剩下的椽数量为$(x-1)$株，剩下椽的总运费为$3(x-1)$文。根据题意，剩下椽的总运费等于一株椽的价钱，因此可列方程：$3(x-1)=\frac{6210}{x}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】列分式方程解决实际问题
【点评】本题以古代数学问题为背景，考查分式方程的实际应用，解题关键是准确梳理各量间的关系并找到等量关系，将实际问题转化为数学方程，属于难度适中的常规应用题。
【难度系数】0.6