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26. (8分)如图,菱形ABCD的边长为6,∠ADC=120°,点P在AB边上,且AP=4,Q是AD边上的一个动点,点Q从点A运动到点D.连接PQ,将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得线段PQ'.
(1)当点Q与点A重合时,在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段PQ';
(2)在点Q运动过程中,求证:点Q'在某一固定线段上运动;
(3)直接写出线段DQ'长度的取值范围.
(1)当点Q与点A重合时,在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段PQ';
(2)在点Q运动过程中,求证:点Q'在某一固定线段上运动;
(3)直接写出线段DQ'长度的取值范围.
答案
26. 【点拨】本题考查旋转变换的性质,菱形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等边三角形的判定与性质,动点的轨迹.
【解析】(1)如图1,以点$P$ 为圆心,$AP$ 的长为半径画弧,交$AD$ 于点$Q'$,连接$PQ'$,$PQ'$ 即为所求作的线段
.(2)证明:如图2,在$AD$ 上截取$AE = AP$,连接$EP$,$EQ'$
,$\because$ 四边形$ABCD$ 是菱形,$∠ ADC = 120°$,$\therefore AD = AB$,$∠ A = 60°$.
$\because AP = AE$,$\therefore △ APE$ 是等边三角形,$\therefore AP = PE$,$∠ APE = 60°$.
$\because$ 将线段$PQ$ 绕点$P$ 顺时针旋转$60°$ 得到线段$PQ'$,$\therefore PQ = PQ'$,$∠ QPQ' = 60°$,$\therefore ∠ APE = ∠ QPQ' = 60°$,$\therefore ∠ APQ = ∠ EPQ'$,
$\therefore △ APQ ≌ △ EPQ'(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ A = ∠ PEQ' = 60°$,
$\therefore ∠ APE = ∠ PEQ' = 60°$,$\therefore EQ' // AB$,$\therefore$ 点$Q'$ 在过点$E$ 且平行于$AB$ 的直线上运动.
记$EQ'$ 交$BC$ 于点$Q''$,$\because Q$ 是$AD$ 边上一个动点,点$Q$ 从点$A$ 运动到点$D$,$\therefore$ 点$Q'$ 从点$E$ 出发,运动的距离为$AD$ 的长,即$EQ''$,$\therefore$ 点$Q'$ 在固定的线段$EQ''$ 上运动.
(3)如图2,过点$D$ 作$DN ⊥ EQ'$ 于点$N$.
$\because AE = AP = 4$,$AD = 6$,$\therefore DE = 2$.$\because EQ' // AB$,$\therefore ∠ A = ∠ DEN = 60°$.
$\because DN ⊥ EQ'$,$\therefore ∠ EDN = 30°$,$\therefore EN = \frac{1}{2}DE = 1$,$DN = \sqrt{3}EN = \sqrt{3}$.
$\because EQ' // AB$,$AB // CD$,$\therefore EQ' // CD$,
$\therefore$ 四边形$DCQ''E$ 是平行四边形,$\therefore DC = EQ'' = 6$.
$\therefore Q''N = 5$,$\therefore DQ'' = \sqrt{DN^2 + Q''N^2} = \sqrt{3 + 25} = 2\sqrt{7}$,$\therefore \sqrt{3} ≤ DQ' ≤ 2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
本题是菱形与旋转变换结合的几何综合题，解题思路如下：
(1) 当Q与A重合时，线段PQ为PA，将PA绕P顺时针旋转60°得到PQ'，根据旋转性质，以P为圆心、PA长为半径画弧，结合菱形中∠A=60°，即可确定Q'的位置；
(2) 要证明Q'在固定线段上，需构造辅助线：在AD上截取AE=AP，连接EP，先证△APE是等边三角形，再结合旋转的性质（PQ=PQ'，∠QPQ'=60°），证明△APQ≌△EPQ'，得到∠PEQ'=∠A=60°，进而推出EQ'//AB，故Q'在过E且平行于AB的固定线段上；
(3) 求DQ'的取值范围，需找到Q'轨迹线段的两个端点（E和Q''），过D作DN⊥EQ'，利用直角三角形性质计算最小距离（DN）和最大距离（DQ''），从而得到范围。
【解析】
(1) 作图：以点P为圆心，AP的长为半径画弧，交AD于点Q'，连接PQ'，线段PQ'即为所求（如图1）。
(2) 证明：如图2，在AD上截取AE=AP，连接EP、EQ'。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴ AD=AB，∠A=180°-120°=60°。
又
∵ AP=AE，
∴ △APE是等边三角形，
∴ AP=PE，∠APE=60°。
由旋转性质知：PQ=PQ'，∠QPQ'=60°，
∴ ∠APE=∠QPQ'=60°，
∴ ∠APE - ∠QPE = ∠QPQ' - ∠QPE，即∠APQ=∠EPQ'。
在△APQ和△EPQ'中：
$\{\begin{array}{l} AP=EP \\ ∠APQ=∠EPQ' \\ PQ=PQ' \end{array} $
∴ △APQ≌△EPQ'（SAS），
∴ ∠A=∠PEQ'=60°，
又
∵ ∠APE=60°，
∴ ∠APE=∠PEQ'，
∴ EQ'//AB，
∵ Q从A运动到D，故Q'从E出发，沿EQ'（过E且平行AB的线段）运动到Q''，即Q'在固定线段EQ''上运动。
(3) 如图2，过D作DN⊥EQ'于N。
∵ AE=AP=4，AD=6，
∴ DE=AD - AE=6-4=2。
∵ EQ'//AB，∠A=60°，
∴ ∠DEN=∠A=60°，
在Rt△DEN中，DN⊥EQ'，
∴ ∠EDN=30°，
∴ EN=$\frac{1}{2}$DE=1，DN=$\sqrt{DE^2 - EN^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
∵ EQ'//AB，AB//CD，
∴ EQ'//CD，
又
∵ AD//BC，
∴ 四边形DCQ''E是平行四边形，
∴ DC=EQ''=6，
∴ Q''N=EQ'' - EN=6 -1=5，
在Rt△DNQ''中，DQ''=$\sqrt{DN^2 + Q''N^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 +5^2}=\sqrt{3+25}=2\sqrt{7}$。
当Q'与N重合时，DQ'最小，为DN=$\sqrt{3}$；当Q'与Q''重合时，DQ'最大，为2$\sqrt{7}$，
故DQ'的取值范围是$\sqrt{3} ≤ DQ' ≤ 2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 证明见解析；(3) $\sqrt{3} ≤ DQ' ≤ 2\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、动点轨迹
【点评】
本题是几何综合题，融合菱形、旋转变换、全等三角形等知识点，需通过构造辅助线转化问题，考查逻辑推理与几何作图能力，解题关键是利用旋转性质构造全等三角形确定Q'的轨迹。
【难度系数】
0.4
本题是菱形与旋转变换结合的几何综合题，解题思路如下：
(1) 当Q与A重合时，线段PQ为PA，将PA绕P顺时针旋转60°得到PQ'，根据旋转性质，以P为圆心、PA长为半径画弧，结合菱形中∠A=60°，即可确定Q'的位置；
(2) 要证明Q'在固定线段上，需构造辅助线：在AD上截取AE=AP，连接EP，先证△APE是等边三角形，再结合旋转的性质（PQ=PQ'，∠QPQ'=60°），证明△APQ≌△EPQ'，得到∠PEQ'=∠A=60°，进而推出EQ'//AB，故Q'在过E且平行于AB的固定线段上；
(3) 求DQ'的取值范围，需找到Q'轨迹线段的两个端点（E和Q''），过D作DN⊥EQ'，利用直角三角形性质计算最小距离（DN）和最大距离（DQ''），从而得到范围。
【解析】
(1) 作图：以点P为圆心，AP的长为半径画弧，交AD于点Q'，连接PQ'，线段PQ'即为所求（如图1）。
(2) 证明：如图2，在AD上截取AE=AP，连接EP、EQ'。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴ AD=AB，∠A=180°-120°=60°。
又
∵ AP=AE，
∴ △APE是等边三角形，
∴ AP=PE，∠APE=60°。
由旋转性质知：PQ=PQ'，∠QPQ'=60°，
∴ ∠APE=∠QPQ'=60°，
∴ ∠APE - ∠QPE = ∠QPQ' - ∠QPE，即∠APQ=∠EPQ'。
在△APQ和△EPQ'中：
$\{\begin{array}{l} AP=EP \\ ∠APQ=∠EPQ' \\ PQ=PQ' \end{array} $
∴ △APQ≌△EPQ'（SAS），
∴ ∠A=∠PEQ'=60°，
又
∵ ∠APE=60°，
∴ ∠APE=∠PEQ'，
∴ EQ'//AB，
∵ Q从A运动到D，故Q'从E出发，沿EQ'（过E且平行AB的线段）运动到Q''，即Q'在固定线段EQ''上运动。
(3) 如图2，过D作DN⊥EQ'于N。
∵ AE=AP=4，AD=6，
∴ DE=AD - AE=6-4=2。
∵ EQ'//AB，∠A=60°，
∴ ∠DEN=∠A=60°，
在Rt△DEN中，DN⊥EQ'，
∴ ∠EDN=30°，
∴ EN=$\frac{1}{2}$DE=1，DN=$\sqrt{DE^2 - EN^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$。
∵ EQ'//AB，AB//CD，
∴ EQ'//CD，
又
∵ AD//BC，
∴ 四边形DCQ''E是平行四边形，
∴ DC=EQ''=6，
∴ Q''N=EQ'' - EN=6 -1=5，
在Rt△DNQ''中，DQ''=$\sqrt{DN^2 + Q''N^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 +5^2}=\sqrt{3+25}=2\sqrt{7}$。
当Q'与N重合时，DQ'最小，为DN=$\sqrt{3}$；当Q'与Q''重合时，DQ'最大，为2$\sqrt{7}$，
故DQ'的取值范围是$\sqrt{3} ≤ DQ' ≤ 2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 证明见解析；(3) $\sqrt{3} ≤ DQ' ≤ 2\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、动点轨迹
【点评】
本题是几何综合题，融合菱形、旋转变换、全等三角形等知识点，需通过构造辅助线转化问题，考查逻辑推理与几何作图能力，解题关键是利用旋转性质构造全等三角形确定Q'的轨迹。
【难度系数】
0.4
