24. (7分)如图,在$□ ABCD$中,分别以$AB,CD$为边向内作$△ ABE$和$△ CDF$,且$△ ABE≌△ CDF$,连接$AF,CE$.
(1)求证:四边形$AECF$为平行四边形;
(2)若点$E$在对角线$BD$上,且$AE$所在直线平分$BC$,当四边形$AECF$的面积为$6$时,$□ ABCD$的面积为________.

24. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等底同高三角形的面积关系.
【解析】(1)证明:$\because △ ABE ≌ △ CDF$,
$\therefore AE = CF$,$∠ ABE = ∠ CDF$,$BE = DF$.
$\because$ 四边形$ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD = BC$,$∠ ABC = ∠ ADC$,
$\therefore ∠ CBE = ∠ ADF$,$\therefore △ ADF ≌ △ CBE(\mathrm{SAS})$,$\therefore AF = CE$,$\therefore$ 四边形$AECF$ 为平行四边形.
(2)如题图,连接$AC$,$BD$,记$AC$ 交$BD$ 于点$O$.
$\because$ 点$E$ 在对角线$BD$ 上,$△ ABE ≌ △ CDF$,
$\therefore$ 点$F$ 在对角线$BD$ 上. 由(1)可知四边形$AECF$ 是平行四边形,且$S_{□ AECF} = 6$.
$\therefore S_{△ AEC} = \frac{1}{2}S_{□ AECF} = \frac{1}{2} × 6 = 3$.
设$M$ 是$BC$ 的中点,连接$EM$,$\therefore BM = CM$,$\therefore S_{△ BEM} = S_{△ CEM}$,$S_{△ ABM} = S_{△ ACM}$,$\therefore S_{△ ABE} = S_{△ AEC} = 3$.
$\because$ 四边形$ABCD$ 是平行四边形,$\therefore OA = OC$,$\therefore S_{△ AOE} = S_{△ COE} = \frac{1}{2}S_{△ AEC} = \frac{3}{2}$,$\therefore S_{△ AOB} = S_{△ ABE} + S_{△ AOE} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$,$\therefore S_{□ ABCD} = 4S_{△ AOB} = 4 × \frac{9}{2} = 18$. 故答案为18.

【分析】
要解决这道题，分两小问逐步推导：
(1) 证明四边形AECF为平行四边形，需依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理。已知△ABE≌△CDF，可得AE=CF、BE=DF；结合平行四边形ABCD的性质（对边相等、对角相等），可推出∠ADF=∠CBE，进而证明△ADF≌△CBE，得到AF=CE，即可证得四边形AECF是平行四边形。
(2) 计算平行四边形ABCD的面积，需利用面积的等积变换：AE所在直线平分BC，说明E在BC的中线上，结合“等底同高的三角形面积相等”的性质，可得△ABE与△AEC面积相等；再利用平行四边形对角线平分面积的性质，逐步推导△AOB的面积，最终得到平行四边形ABCD的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABE ≌ △CDF，
∴ AE = CF，BE = DF，∠ABE = ∠CDF。
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，∠ADC = ∠ABC，
∴ ∠ADC - ∠CDF = ∠ABC - ∠ABE，即∠ADF = ∠CBE。
在△ADF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l} AD = CB \\ ∠ADF = ∠CBE \\ DF = BE \end{array} $
∴ △ADF ≌ △CBE（SAS），
∴ AF = CE。
∵ AE = CF，AF = CE，
∴ 四边形AECF为平行四边形。
(2) 解：
连接AC、BD，记AC交BD于点O。
∵ 四边形AECF是平行四边形，且其面积为6，
∴ $S_{△AEC} = \frac{1}{2}S_{□AECF} = \frac{1}{2}×6 = 3$。
设BC的中点为M，连接EM，则BM = CM。
∵ 等底同高的三角形面积相等，
∴ $S_{△BEM} = S_{△CEM}$，$S_{△ABM} = S_{△ACM}$，
∴ $S_{△ABM} - S_{△BEM} = S_{△ACM} - S_{△CEM}$，即$S_{△ABE} = S_{△AEC} = 3$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，即O为AC中点，
∴ $S_{△AOE} = S_{△COE} = \frac{1}{2}S_{△AEC} = \frac{3}{2}$，
∴ $S_{△AOB} = S_{△ABE} + S_{△AOE} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$。
又
∵ 平行四边形的对角线将其分成面积相等的四个三角形，
∴ $S_{□ABCD} = 4S_{△AOB} = 4×\frac{9}{2} = 18$。
【答案】
18
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的应用及面积等积变换，解题需熟练运用相关定理，对逻辑推理和面积转换能力有一定要求，是一道综合性较强的中等题。
【难度系数】
0.5

25. (7 分)如图,在梯形 ABCD 中,$AD // BC$,连接 BD,过点 B,C 分别作 CD,BD 的平行线交于点 E,连接 AE 交 BC 于点 F,求证:点 F 是 AE 的中点.

25. 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质.
【解析】证明:如图,过点$D$ 作$DM // AF$,交$BC$ 于点$M$,则$∠ BFE = ∠ AFC = ∠ DMC$.
$\because AD // BC$,$DM // AF$,$\therefore$ 四边形$AFMD$ 是平行四边形,
$\therefore AF = DM$.$\because BE // CD$,$BD // CE$,
$\therefore ∠ EBC = ∠ DCB$,四边形$BDCE$ 是平行四边形,
$\therefore BE = CD$. 在$△ EBF$ 和$△ DCM$ 中,$\begin{cases} ∠ BFE = ∠ CMD, \\ ∠ EBF = ∠ DCM, \\ EB = DC, \end{cases}$
$\therefore △ EBF ≌ △ DCM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore EF = DM$,$\therefore EF = AF$,
$\therefore$ 点$F$ 是$AE$ 的中点.

【分析】要证明点F是AE的中点，即需证AF=EF。结合已知条件AD//BC、BE//CD、BD//CE，可通过构造辅助线转化线段：过D作DM//AF交BC于M，先证四边形AFMD是平行四边形得AF=DM；再证△EBF与△DCM全等，得EF=DM，从而推出AF=EF，即可得结论。
【解析】证明：如图，过点D作DM//AF，交BC于点M。
∵ AD//BC，DM//AF，
∴ 四边形AFMD是平行四边形，
∴ AF = DM。
∵ BE//CD，BD//CE，
∴ 四边形BDCE是平行四边形，
∴ BE = CD，且∠EBC = ∠DCB。
在△EBF和△DCM中，
$\begin{cases} ∠BFE = ∠DMC, \\∠EBF = ∠DCM, \\EB = DC, \end{cases}$
∴ △EBF ≌ △DCM（AAS），
∴ EF = DM。
又
∵ AF = DM，
∴ EF = AF，
∴ 点F是AE的中点。
【答案】点F是AE的中点
【知识点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，梯形的性质
【点评】本题通过构造辅助线，利用平行四边形和全等三角形的性质实现线段的等量转化，综合考查了几何证明中常用的方法，需要学生熟练掌握平行四边形和全等三角形的相关知识，难度适中。
【难度系数】0.5