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8. 下列从左到右的变形,属于因式分解的是(
A.$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
B.$m^2n + 8n = n(m^2 + 8)$
C.$12xy^2 = 2x · 6y^2$
D.$x^2 - 4x + 2 = x(x - 4) + 2$
B
).A.$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
B.$m^2n + 8n = n(m^2 + 8)$
C.$12xy^2 = 2x · 6y^2$
D.$x^2 - 4x + 2 = x(x - 4) + 2$
答案
【点拨】本题考查因式分解,熟练掌握因式分解的概念是解题的关键.
【解析】A.是整式的乘法,故此选项不符合题意;B.把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫因式分解,故此选项符合题意;C.不是因式分解,故此选项不符合题意;D.不是因式分解,故此选项不符合题意.故选B.
【解析】A.是整式的乘法,故此选项不符合题意;B.把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫因式分解,故此选项符合题意;C.不是因式分解,故此选项不符合题意;D.不是因式分解,故此选项不符合题意.故选B.
解析
【分析】首先明确因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解。解题时需紧扣定义，逐一分析每个选项的变形是否符合要求：一是变形的对象是否为多项式，二是变形后的结果是否为几个整式的积，同时要注意与整式乘法（从整式积到多项式）的区别。
【解析】根据因式分解的定义，逐一分析选项：
选项A：$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$，是将两个整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项B：$m^2n + 8n = n(m^2 + 8)$，是将多项式$m^2n + 8n$转化为整式$n$与整式$(m^2 + 8)$的积，符合因式分解的定义；
选项C：$12xy^2 = 2x · 6y^2$，变形对象是单项式，而因式分解的对象是多项式，因此不属于因式分解；
选项D：$x^2 - 4x + 2 = x(x - 4) + 2$，变形后的结果是整式的积与常数的和，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义。
综上，属于因式分解的是选项B。
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【点评】本题考查因式分解的核心概念，属于基础题型，解题关键是准确把握因式分解的两个判定条件：①变形的对象必须是多项式；②变形的结果必须是几个整式的乘积形式，需注意区分整式乘法、单项式拆分等易混淆的情况。
【难度系数】0.8
【解析】根据因式分解的定义，逐一分析选项：
选项A：$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$，是将两个整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项B：$m^2n + 8n = n(m^2 + 8)$，是将多项式$m^2n + 8n$转化为整式$n$与整式$(m^2 + 8)$的积，符合因式分解的定义；
选项C：$12xy^2 = 2x · 6y^2$，变形对象是单项式，而因式分解的对象是多项式，因此不属于因式分解；
选项D：$x^2 - 4x + 2 = x(x - 4) + 2$，变形后的结果是整式的积与常数的和，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义。
综上，属于因式分解的是选项B。
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【点评】本题考查因式分解的核心概念，属于基础题型，解题关键是准确把握因式分解的两个判定条件：①变形的对象必须是多项式；②变形的结果必须是几个整式的乘积形式，需注意区分整式乘法、单项式拆分等易混淆的情况。
【难度系数】0.8
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
9. 若分式$\dfrac{1}{x - 2}$有意义,则$x$的取值范围为________.
9. 若分式$\dfrac{1}{x - 2}$有意义,则$x$的取值范围为________.
答案
【点拨】本题考查分式有意义的条件.
【解析】若分式$\frac{1}{x-2}$有意义,则$x-2≠0$,解得$x≠2$.
$\therefore x$的取值范围为$x≠2$.故答案为$x≠2$.
【解析】若分式$\frac{1}{x-2}$有意义,则$x-2≠0$,解得$x≠2$.
$\therefore x$的取值范围为$x≠2$.故答案为$x≠2$.
解析
【分析】首先回忆分式有意义的条件：分式的分母不能为0。对于分式$\dfrac{1}{x - 2}$，其分母为$x - 2$，因此只需让分母不等于0，即可求出$x$的取值范围。
【解析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得不等式：$x - 2 ≠ 0$，解这个不等式得：$x ≠ 2$。
【答案】$x ≠ 2$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题是分式章节的基础题，直接考查分式有意义的核心规则，属于对基础知识的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得不等式：$x - 2 ≠ 0$，解这个不等式得：$x ≠ 2$。
【答案】$x ≠ 2$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题是分式章节的基础题，直接考查分式有意义的核心规则，属于对基础知识的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.9
10. 方程$x^2 + 6x = 0$的根是$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
【点拨】本题考查解一元二次方程.
【解析】$x^2+6x=0$
$x(x+6)=0$,
$\therefore x=0$或$x+6=0$,
$\therefore x_1=0,x_2=-6$.故答案为$x_1=0,x_2=-6$.
【解析】$x^2+6x=0$
$x(x+6)=0$,
$\therefore x=0$或$x+6=0$,
$\therefore x_1=0,x_2=-6$.故答案为$x_1=0,x_2=-6$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，观察方程左边的式子可通过提公因式法因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 6x = 0$左边提公因式，得：
$x(x + 6) = 0$
根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”，可得：
$x = 0$ 或 $x + 6 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -6$
【答案】
$x_1=0,x_2=-6$
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查因式分解法解一元二次方程，步骤清晰简单，是一元二次方程章节的核心基础知识点，适合学生巩固练习，能帮助学生快速掌握因式分解法解一元二次方程的基本思路。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的求解，观察方程左边的式子可通过提公因式法因式分解，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，分别求解两个一次方程，即可得到原方程的根。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 6x = 0$左边提公因式，得：
$x(x + 6) = 0$
根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”，可得：
$x = 0$ 或 $x + 6 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -6$
【答案】
$x_1=0,x_2=-6$
【知识点】
一元二次方程的解法（因式分解法）
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，考查因式分解法解一元二次方程，步骤清晰简单，是一元二次方程章节的核心基础知识点，适合学生巩固练习，能帮助学生快速掌握因式分解法解一元二次方程的基本思路。
【难度系数】
0.9
11. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ D=45°,∠ CAD=30°$,则$∠ BAC=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
【点拨】本题考查平行四边形的性质.
【解析】$\because$ 在$□ ABCD$中,$∠ D=45°$,$AB// CD$,$\therefore ∠ BAD+∠ D=180°$,$\therefore ∠ BAD=180°-∠ D=180°-45°=135°$,$\therefore ∠ BAC=∠ BAD-∠ CAD=135°-30°=105°$.故答案为105.
【解析】$\because$ 在$□ ABCD$中,$∠ D=45°$,$AB// CD$,$\therefore ∠ BAD+∠ D=180°$,$\therefore ∠ BAD=180°-∠ D=180°-45°=135°$,$\therefore ∠ BAC=∠ BAD-∠ CAD=135°-30°=105°$.故答案为105.
解析
【分析】要计算∠BAC的度数，需利用平行四边形的性质：平行四边形的邻角互补，即相邻两个内角的和为180°。先根据∠D的度数求出∠BAD的度数，再结合∠BAD由∠BAC和∠CAD组成，用∠BAD减去已知的∠CAD，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形邻角互补的性质，得∠BAD + ∠D = 180°。
已知∠D=45°，代入得∠BAD = 180° - 45° = 135°。
又
∵∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，且∠CAD=30°，
∴∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 135° - 30° = 105°。
【答案】105
【知识点】平行四边形的性质，角度和差计算
【点评】本题考查平行四边形的基础性质，解题思路清晰，步骤简单，属于常规基础题，主要考查学生对平行四边形邻角互补性质的掌握及角度和差运算能力。
【难度系数】0.6
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形邻角互补的性质，得∠BAD + ∠D = 180°。
已知∠D=45°，代入得∠BAD = 180° - 45° = 135°。
又
∵∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，且∠CAD=30°，
∴∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 135° - 30° = 105°。
【答案】105
【知识点】平行四边形的性质，角度和差计算
【点评】本题考查平行四边形的基础性质，解题思路清晰，步骤简单，属于常规基础题，主要考查学生对平行四边形邻角互补性质的掌握及角度和差运算能力。
【难度系数】0.6
12. 一个二次根式与$\sqrt{2}$的乘积是有理数，这个二次根式可以是________.(只需写出一个即可)
答案
【点拨】本题考查有理化因式的定义.
【解析】一个二次根式与$\sqrt{2}$的乘积是有理数,则这个二次根式为$\sqrt{2}$的有理化因式,即可取$\sqrt{2}$(答案不唯一).故答案为$\sqrt{2}$(答案不唯一).
【解析】一个二次根式与$\sqrt{2}$的乘积是有理数,则这个二次根式为$\sqrt{2}$的有理化因式,即可取$\sqrt{2}$(答案不唯一).故答案为$\sqrt{2}$(答案不唯一).
解析
【分析】
要找到与$\sqrt{2}$相乘结果为有理数的二次根式，需结合有理化因式的概念思考：若两个二次根式相乘的积是有理数，则这两个二次根式互为有理化因式。因此，只需构造出能与$\sqrt{2}$相乘后消去根号的二次根式即可，这类二次根式的被开方数通常包含因数2，或本身是$\sqrt{2}$的倍数形式。
【解析】
根据有理化因式的定义，两个二次根式相乘结果为有理数时，二者互为有理化因式。取二次根式$\sqrt{2}$，计算乘积：$\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2$，2是有理数，满足题目要求，故该二次根式可以是$\sqrt{2}$（答案不唯一）。
【答案】$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】有理化因式，二次根式的乘法
【点评】
本题考查二次根式有理化的基础概念，核心是理解有理化因式的含义，属于二次根式章节的基础题型，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
要找到与$\sqrt{2}$相乘结果为有理数的二次根式，需结合有理化因式的概念思考：若两个二次根式相乘的积是有理数，则这两个二次根式互为有理化因式。因此，只需构造出能与$\sqrt{2}$相乘后消去根号的二次根式即可，这类二次根式的被开方数通常包含因数2，或本身是$\sqrt{2}$的倍数形式。
【解析】
根据有理化因式的定义，两个二次根式相乘结果为有理数时，二者互为有理化因式。取二次根式$\sqrt{2}$，计算乘积：$\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2$，2是有理数，满足题目要求，故该二次根式可以是$\sqrt{2}$（答案不唯一）。
【答案】$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】有理化因式，二次根式的乘法
【点评】
本题考查二次根式有理化的基础概念，核心是理解有理化因式的含义，属于二次根式章节的基础题型，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在$△ ABC$中,$P$是$AB$上一点,下列四个条件中,①$∠ ACP = ∠ B$;②$∠ ACP = ∠ A$;③$AC^2 =$
答案
解：
在△ACP和△ABC中，∠A是公共角，即∠A=∠A。
① 当∠ACP=∠B时：
∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
② 当∠APC=∠ACB时：
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
③ 当$AC^2=AP· AB$时，变形得$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$：
∵∠A=∠A，两边对应成比例且夹角相等，
∴△ACP∽△ABC。
④ 当$AB· CP=AP· CB$时，变形得$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，此时∠A不是对应成比例两边的夹角，无法判定△ACP与△ABC相似。
综上，能判定△ACP∽△ABC的条件为①②③。
在△ACP和△ABC中，∠A是公共角，即∠A=∠A。
① 当∠ACP=∠B时：
∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
② 当∠APC=∠ACB时：
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
③ 当$AC^2=AP· AB$时，变形得$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$：
∵∠A=∠A，两边对应成比例且夹角相等，
∴△ACP∽△ABC。
④ 当$AB· CP=AP· CB$时，变形得$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，此时∠A不是对应成比例两边的夹角，无法判定△ACP与△ABC相似。
综上，能判定△ACP∽△ABC的条件为①②③。
解析
【分析】要判定△ACP与△ABC相似，已知两个三角形有公共角∠A，可结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等），逐个分析每个条件是否满足相似的判定要求。
【解析】在△ACP和△ABC中，∠A是公共角，即∠A=∠A。
① 当∠ACP=∠B时：
∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACP∽△ABC；
② 当∠APC=∠ACB时：
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACP∽△ABC；
③ 当$AC^2=AP·AB$时，变形为$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$：
∵∠A是两边AC与AP、AB与AC的夹角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ACP∽△ABC；
④ 当$AB·CP=AP·CB$时，变形为$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，此时∠A不是这组对应边的夹角，无法满足相似三角形的判定条件，不能判定△ACP∽△ABC。
综上，能判定△ACP∽△ABC的条件为①②③。
【答案】能判定△ACP∽△ABC的条件为①②③。
【知识点】相似三角形的判定
【点评】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理，尤其注意“两边成比例且夹角相等”中夹角必须是两组对应边的夹角，避免因对应关系错误导致判断失误。
【难度系数】0.6
【解析】在△ACP和△ABC中，∠A是公共角，即∠A=∠A。
① 当∠ACP=∠B时：
∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACP∽△ABC；
② 当∠APC=∠ACB时：
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ACP∽△ABC；
③ 当$AC^2=AP·AB$时，变形为$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$：
∵∠A是两边AC与AP、AB与AC的夹角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得△ACP∽△ABC；
④ 当$AB·CP=AP·CB$时，变形为$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，此时∠A不是这组对应边的夹角，无法满足相似三角形的判定条件，不能判定△ACP∽△ABC。
综上，能判定△ACP∽△ABC的条件为①②③。
【答案】能判定△ACP∽△ABC的条件为①②③。
【知识点】相似三角形的判定
【点评】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理，尤其注意“两边成比例且夹角相等”中夹角必须是两组对应边的夹角，避免因对应关系错误导致判断失误。
【难度系数】0.6
$AP· AB$;④$AB· CP=AP· CB$,一定能满足$△ APC$与$△ ACB$相似的条件是________. (填序号)
答案
【点拨】本题考查相似三角形的判定.
【解析】在$△ ABC$中,$P$是$AB$上一点,在$△ APC$与$△ ACB$中,$∠ A=∠ A$.①若$∠ ACP=∠ B$,则$△ APC$与$△ ACB$相似,①符合题意;②若$∠ ACP=∠ A$,不能判定$△ APC$与$△ ACB$相似,②不符合题意;③若$AC^2=AP· AB$,则$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$,$△ APC$与$△ ACB$相似,③符合题意;④若$AB· CP=AP· CB$,则$\frac{AB}{CB}=\frac{AP}{CP}$,而$∠ B$不一定等于$∠ APC$,故不能判定$△ APC$与$△ ACB$相似,④不符合题意.
$\therefore$ 一定能满足$△ APC$与$△ ACB$相似的条件是①或③.故答案为①或③.
【解析】在$△ ABC$中,$P$是$AB$上一点,在$△ APC$与$△ ACB$中,$∠ A=∠ A$.①若$∠ ACP=∠ B$,则$△ APC$与$△ ACB$相似,①符合题意;②若$∠ ACP=∠ A$,不能判定$△ APC$与$△ ACB$相似,②不符合题意;③若$AC^2=AP· AB$,则$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$,$△ APC$与$△ ACB$相似,③符合题意;④若$AB· CP=AP· CB$,则$\frac{AB}{CB}=\frac{AP}{CP}$,而$∠ B$不一定等于$∠ APC$,故不能判定$△ APC$与$△ ACB$相似,④不符合题意.
$\therefore$ 一定能满足$△ APC$与$△ ACB$相似的条件是①或③.故答案为①或③.
解析
【分析】要判定△APC与△ACB相似，已知两个三角形有公共角∠A=∠A，可结合相似三角形的判定定理逐一分析每个条件：①利用“两角分别相等的两个三角形相似”判断；②仅一组角相等无法判定；③利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判断；④比例式对应的夹角不相等，无法判定。
【解析】在△ABC中，P是AB上一点，△APC与△ACB有公共角∠A=∠A，根据相似三角形判定定理分析：
1. 条件①：若∠ACP=∠B，结合∠A=∠A，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，符合题意；
2. 条件②：若∠ACP=∠A，仅一组角相等，无法判定两三角形相似，不符合题意；
3. 条件③：若$AC^2=AP·AB$，变形为$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$，结合∠A=∠A，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，符合题意；
4. 条件④：若$AB·CP=AP·CB$，变形为$\frac{AB}{CB}=\frac{AP}{CP}$，此时夹角为∠B和∠APC，二者不一定相等，无法判定两三角形相似，不符合题意。
综上，符合条件的是①和③。
【答案】①或③
【知识点】相似三角形的判定
【点评】本题考查相似三角形的判定，核心是利用公共角∠A，结合两角相等、两边成比例且夹角相等的判定定理逐一验证，需注意比例式变形时对应边和夹角的匹配，避免混淆对应关系。
【难度系数】0.5
【解析】在△ABC中，P是AB上一点，△APC与△ACB有公共角∠A=∠A，根据相似三角形判定定理分析：
1. 条件①：若∠ACP=∠B，结合∠A=∠A，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，符合题意；
2. 条件②：若∠ACP=∠A，仅一组角相等，无法判定两三角形相似，不符合题意；
3. 条件③：若$AC^2=AP·AB$，变形为$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$，结合∠A=∠A，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定△APC∽△ACB，符合题意；
4. 条件④：若$AB·CP=AP·CB$，变形为$\frac{AB}{CB}=\frac{AP}{CP}$，此时夹角为∠B和∠APC，二者不一定相等，无法判定两三角形相似，不符合题意。
综上，符合条件的是①和③。
【答案】①或③
【知识点】相似三角形的判定
【点评】本题考查相似三角形的判定，核心是利用公共角∠A，结合两角相等、两边成比例且夹角相等的判定定理逐一验证，需注意比例式变形时对应边和夹角的匹配，避免混淆对应关系。
【难度系数】0.5
14. 如图,在矩形ABCD中,$BD=13$,E,F分别是AB,BC的中点,连接EF,则EF的长为
$\frac{13}{2}$
.答案
【点拨】本题考查矩形的性质,三角形中位线定理.
【解析】如题图,连接$AC$,在矩形$ABCD$中,$AC=BD=13$.
$\because E,F$分别是$AB,BC$的中点,$\therefore EF$为$△ ABC$的中位线,
$\therefore EF// AC$,$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$.故答案为$\frac{13}{2}$.
【解析】如题图,连接$AC$,在矩形$ABCD$中,$AC=BD=13$.
$\because E,F$分别是$AB,BC$的中点,$\therefore EF$为$△ ABC$的中位线,
$\therefore EF// AC$,$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$.故答案为$\frac{13}{2}$.
解析
【分析】要计算EF的长度，首先利用矩形对角线相等的性质，得到AC与BD长度相等；再根据E、F分别是AB、BC的中点，判断出EF是△ABC的中位线，结合三角形中位线定理即可求出EF的长。
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等，即AC=BD=13。又
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴EF=½AC=½×13=13/2。
【答案】13/2
【知识点】矩形性质，三角形中位线定理
【点评】本题考查矩形性质与三角形中位线定理的综合应用，属于基础几何题，解题关键是准确识别中位线并利用矩形对角线相等的性质，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线相等，即AC=BD=13。又
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴EF=½AC=½×13=13/2。
【答案】13/2
【知识点】矩形性质，三角形中位线定理
【点评】本题考查矩形性质与三角形中位线定理的综合应用，属于基础几何题，解题关键是准确识别中位线并利用矩形对角线相等的性质，难度适中。
【难度系数】0.6
15. 设$x_1,x_2$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根，则$x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 =$
9
.答案
【点拨】本题考查方程的解的定义,一元二次方程根与系数的关系,整体代入法求代数式的值.
【解析】设$x_1,x_2$是方程$x^2-3x+1=0$的两个根,则$x^2=3x-1$,$x_1^2=3x_1-1$,$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=1$,
$\therefore x_1^2+3x_2+x_1x_2$
$=(3x_1-1)+3x_2+x_1x_2$
$=3(x_1+x_2)+x_1x_2-1$
$=3×3+1-1$
$=9$.
故答案为9.
【解析】设$x_1,x_2$是方程$x^2-3x+1=0$的两个根,则$x^2=3x-1$,$x_1^2=3x_1-1$,$x_1+x_2=3$,$x_1x_2=1$,
$\therefore x_1^2+3x_2+x_1x_2$
$=(3x_1-1)+3x_2+x_1x_2$
$=3(x_1+x_2)+x_1x_2-1$
$=3×3+1-1$
$=9$.
故答案为9.
解析
【分析】首先，利用一元二次方程根的定义，将方程的根$x_1$代入原方程，可把$x_1^2$降次为$3x_1 -1$；再根据韦达定理（根与系数的关系），得到两根之和$x_1+x_2=3$、两根之积$x_1x_2=1$；最后将降次后的式子和韦达定理的结果整体代入所求代数式，计算得出结果。
【解析】因为$x_1$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根，所以$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 - 1$；又因为$x_1,x_2$是方程的两个根，根据韦达定理，得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$。将上述结果代入所求代数式：
$x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 = (3x_1 - 1) + 3x_2 + x_1x_2 = 3(x_1 + x_2) + x_1x_2 - 1$，
把$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$代入上式，得$3×3 + 1 - 1 = 9$。
【答案】9
【知识点】一元二次方程的解；根与系数的关系；整体代入法
【点评】本题考查一元二次方程根的定义、韦达定理及整体代入法的应用，是基础题型，通过降次和整体代入简化计算，需掌握相关知识点的结合运用。
【难度系数】0.6
【解析】因为$x_1$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的根，所以$x_1^2 - 3x_1 + 1 = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 - 1$；又因为$x_1,x_2$是方程的两个根，根据韦达定理，得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$。将上述结果代入所求代数式：
$x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 = (3x_1 - 1) + 3x_2 + x_1x_2 = 3(x_1 + x_2) + x_1x_2 - 1$，
把$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$代入上式，得$3×3 + 1 - 1 = 9$。
【答案】9
【知识点】一元二次方程的解；根与系数的关系；整体代入法
【点评】本题考查一元二次方程根的定义、韦达定理及整体代入法的应用，是基础题型，通过降次和整体代入简化计算，需掌握相关知识点的结合运用。
【难度系数】0.6
16. 如图,将$□ ABCD$绕点$A$逆时针旋转到$□ AEDF$的位置,此时点$E$落在$BC$上.若$AB=\sqrt{10}$,$CE=3$,则$△ ECD$的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
【点拨】本题考查旋转变换的性质,平行四边形的性质,勾股定理.
【解析】如图,过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$,过点$E$作$EN⊥ AD$于点$N$,则四边形$AMEN$是矩形.$\therefore AM=EN$,$AN=ME$.
$\because$ 将$□ ABCD$绕点$A$逆时针旋转到$□ AEDF$的位置,点$E$落在$BC$上,$\therefore AB=AE$,$DE=BC$.
$\because AM⊥ BE$,$\therefore BM=EM$.设$BM=EM=x$,
则$AN=x$,$\therefore BC=BE+CE=2x+3$,$\therefore BC=AD=DE=2x+3$,$\therefore DN=AD-AN=x+3$.
$\because AM^2=AB^2-BM^2$,$NE^2=DE^2-DN^2$,
$\therefore (\sqrt{10})^2-x^2=(2x+3)^2-(x+3)^2$,解得$x=-\frac{5}{2}$(舍去)或$x=1$,
$\therefore BM=EM=1$,$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-1^2}=3$,
$\therefore S_{△ ECD}=\frac{1}{2}CE· AM=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$.故答案为$\frac{9}{2}$.
解析
【分析】
本题是平行四边形旋转后的面积计算问题，解题思路如下：
1. 利用旋转变换性质：旋转前后对应边相等，得AB=AE，AD=DE；结合平行四边形对边相等，得AD=BC，铺垫线段关系。
2. 构造辅助线：过A作AM⊥BC，过E作EN⊥AD，形成矩形AMEN，得AM=EN，便于等量代换。
3. 利用等腰三角形三线合一：由AB=AE，AM⊥BC，得BM=EM，设BM=EM=x，用x表示相关线段长度（BC、AD、DN）。
4. 结合勾股定理列方程：在Rt△ABM和Rt△DEN中，用勾股定理表示AM²和EN²，因AM=EN建立方程，求解得x，进而求出高AM。
5. 最后用三角形面积公式计算△ECD的面积。
【解析】
如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AD于点N，则四边形AMEN是矩形，故AM=EN，AN=ME。
∵将□ABCD绕点A逆时针旋转到□AEDF的位置，点E落在BC上，
∴AB=AE，DE=BC。
∵AM⊥BE，AB=AE，
∴BM=EM。
设BM=EM=x，则AN=x，
∴BC=BE+CE=2x+3，又平行四边形中AD=BC，故AD=DE=2x+3，
∴DN=AD-AN=(2x+3)-x=x+3。
根据勾股定理：AM²=AB²-BM²，NE²=DE²-DN²，
又AM=EN，
∴AB²-BM²=DE²-DN²，
代入AB=√10，DE=2x+3，BM=x，DN=x+3，得：
(√10)² - x² = (2x+3)² - (x+3)²，
化简得：10 - x² = 3x² + 6x，
整理为：2x² + 3x -5=0，
解得x=1（x=-5/2舍去，长度为正）。
∴AM=√(AB² - BM²)=√(10 -1)=3，
∴S△ECD=1/2 × CE × AM=1/2 ×3×3=9/2。
【答案】
9/2
【知识点】
旋转变换性质、平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转变换、平行四边形性质及勾股定理的应用，关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一和方程思想求解，需具备几何推理与代数运算结合的能力。
【难度系数】
0.5
本题是平行四边形旋转后的面积计算问题，解题思路如下：
1. 利用旋转变换性质：旋转前后对应边相等，得AB=AE，AD=DE；结合平行四边形对边相等，得AD=BC，铺垫线段关系。
2. 构造辅助线：过A作AM⊥BC，过E作EN⊥AD，形成矩形AMEN，得AM=EN，便于等量代换。
3. 利用等腰三角形三线合一：由AB=AE，AM⊥BC，得BM=EM，设BM=EM=x，用x表示相关线段长度（BC、AD、DN）。
4. 结合勾股定理列方程：在Rt△ABM和Rt△DEN中，用勾股定理表示AM²和EN²，因AM=EN建立方程，求解得x，进而求出高AM。
5. 最后用三角形面积公式计算△ECD的面积。
【解析】
如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AD于点N，则四边形AMEN是矩形，故AM=EN，AN=ME。
∵将□ABCD绕点A逆时针旋转到□AEDF的位置，点E落在BC上，
∴AB=AE，DE=BC。
∵AM⊥BE，AB=AE，
∴BM=EM。
设BM=EM=x，则AN=x，
∴BC=BE+CE=2x+3，又平行四边形中AD=BC，故AD=DE=2x+3，
∴DN=AD-AN=(2x+3)-x=x+3。
根据勾股定理：AM²=AB²-BM²，NE²=DE²-DN²，
又AM=EN，
∴AB²-BM²=DE²-DN²，
代入AB=√10，DE=2x+3，BM=x，DN=x+3，得：
(√10)² - x² = (2x+3)² - (x+3)²，
化简得：10 - x² = 3x² + 6x，
整理为：2x² + 3x -5=0，
解得x=1（x=-5/2舍去，长度为正）。
∴AM=√(AB² - BM²)=√(10 -1)=3，
∴S△ECD=1/2 × CE × AM=1/2 ×3×3=9/2。
【答案】
9/2
【知识点】
旋转变换性质、平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转变换、平行四边形性质及勾股定理的应用，关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一和方程思想求解，需具备几何推理与代数运算结合的能力。
【难度系数】
0.5
17. (8分)计算.
(1)$\sqrt{9}+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$；
(2)$\frac{2}{a+1}-\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}$.
(1)$\sqrt{9}+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$；
(2)$\frac{2}{a+1}-\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}$.
答案
【点拨】本题考查二次根式的运算与化简,平方差公式,分式的加减.
【解析】(1)$\sqrt{9}+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$
$=3+(2^2-3)$
$=3+4-3$
$=4$.
(2)$\frac{2}{a+1}-\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}$
$=\frac{2-1+a}{a+1}$
$=\frac{a+1}{a+1}$
$=1$.
【解析】(1)$\sqrt{9}+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$
$=3+(2^2-3)$
$=3+4-3$
$=4$.
(2)$\frac{2}{a+1}-\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}$
$=\frac{2-1+a}{a+1}$
$=\frac{a+1}{a+1}$
$=1$.
解析
【分析】第(1)小题，先化简二次根式$\sqrt{9}$得3，再观察$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入计算后与前面的结果相加即可；第(2)小题，三个分式为同分母，根据同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减，再对化简后的分子约分得到结果。
【解析】(1) $\sqrt{9}+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$
$=3+(2^2 - (\sqrt{3})^2)$
$=3+(4-3)$
$=3+1$
$=4$；
(2) $\frac{2}{a+1}-\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}$
$=\frac{2-1+a}{a+1}$
$=\frac{a+1}{a+1}$
$=1$；
【答案】(1) $4$；(2) $1$
【知识点】二次根式运算、平方差公式、分式的加减
【点评】本题为初中数学基础运算题，考查二次根式化简、平方差公式应用及同分母分式加减法则，知识点均为核心基础内容，只要掌握相关公式与法则即可正确解答，属于易得分题。
【难度系数】0.6
【解析】(1) $\sqrt{9}+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$
$=3+(2^2 - (\sqrt{3})^2)$
$=3+(4-3)$
$=3+1$
$=4$；
(2) $\frac{2}{a+1}-\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}$
$=\frac{2-1+a}{a+1}$
$=\frac{a+1}{a+1}$
$=1$；
【答案】(1) $4$；(2) $1$
【知识点】二次根式运算、平方差公式、分式的加减
【点评】本题为初中数学基础运算题，考查二次根式化简、平方差公式应用及同分母分式加减法则，知识点均为核心基础内容，只要掌握相关公式与法则即可正确解答，属于易得分题。
【难度系数】0.6
