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18. (8分)解方程.
(1)$x^2 + 4x - 5 = 0$;
(2)$\dfrac{4 + x}{x - 1} - 5 = \dfrac{2x}{x - 1}$.
(1)$x^2 + 4x - 5 = 0$;
(2)$\dfrac{4 + x}{x - 1} - 5 = \dfrac{2x}{x - 1}$.
答案
【点拨】本题考查解一元二次方程与分式方程.
【解析】(1)$x^2+4x-5=0$
$(x+5)(x-1)=0$
$\therefore x+5=0$或$x-1=0$
解得$x=-5$或$x=1$.
(2)$\frac{4+x}{x-1}-5=\frac{2x}{x-1}$
两边同乘$(x-1)$,得$4+x-5x+5=2x$.
移项,合并同类项,得$-6x=-9$.
解得$x=\frac{3}{2}$.
经检验,$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解.
【解析】(1)$x^2+4x-5=0$
$(x+5)(x-1)=0$
$\therefore x+5=0$或$x-1=0$
解得$x=-5$或$x=1$.
(2)$\frac{4+x}{x-1}-5=\frac{2x}{x-1}$
两边同乘$(x-1)$,得$4+x-5x+5=2x$.
移项,合并同类项,得$-6x=-9$.
解得$x=\frac{3}{2}$.
经检验,$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解.
解析
【分析】
本题包含两个方程的求解，第(1)问是一元二次方程，适合用因式分解法，将方程左边分解为两个一次式的乘积后转化为一元一次方程求解；第(2)问是分式方程，需先去分母转化为整式方程，最后必须检验解是否使原分式方程分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$
对左边因式分解得：$(x + 5)(x - 1) = 0$
则$x + 5 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_1 = -5$，$x_2 = 1$。
(2) 解方程$\dfrac{4 + x}{x - 1} - 5 = \dfrac{2x}{x - 1}$
原方程分母为$x - 1$，故$x ≠ 1$。
两边同乘最简公分母$(x - 1)$去分母得：
$4 + x - 5(x - 1) = 2x$
展开整理左边：$4 + x - 5x + 5 = 2x$
合并同类项得：$9 - 4x = 2x$
移项得：$-6x = -9$
解得$x = \dfrac{3}{2}$。
检验：当$x = \dfrac{3}{2}$时，$x - 1 = \dfrac{1}{2} ≠ 0$，故$x = \dfrac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x = -5$或$x = 1$；(2) $x = \dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法、分式方程解法
【点评】
本题考查初中数学基础解方程知识，一元二次方程用因式分解法步骤简洁，分式方程需注意去分母时常数项要乘公分母及解的检验，是中考常见基础题型，侧重对解方程基本方法的掌握。
【难度系数】
0.7
本题包含两个方程的求解，第(1)问是一元二次方程，适合用因式分解法，将方程左边分解为两个一次式的乘积后转化为一元一次方程求解；第(2)问是分式方程，需先去分母转化为整式方程，最后必须检验解是否使原分式方程分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$
对左边因式分解得：$(x + 5)(x - 1) = 0$
则$x + 5 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_1 = -5$，$x_2 = 1$。
(2) 解方程$\dfrac{4 + x}{x - 1} - 5 = \dfrac{2x}{x - 1}$
原方程分母为$x - 1$，故$x ≠ 1$。
两边同乘最简公分母$(x - 1)$去分母得：
$4 + x - 5(x - 1) = 2x$
展开整理左边：$4 + x - 5x + 5 = 2x$
合并同类项得：$9 - 4x = 2x$
移项得：$-6x = -9$
解得$x = \dfrac{3}{2}$。
检验：当$x = \dfrac{3}{2}$时，$x - 1 = \dfrac{1}{2} ≠ 0$，故$x = \dfrac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x = -5$或$x = 1$；(2) $x = \dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法、分式方程解法
【点评】
本题考查初中数学基础解方程知识，一元二次方程用因式分解法步骤简洁，分式方程需注意去分母时常数项要乘公分母及解的检验，是中考常见基础题型，侧重对解方程基本方法的掌握。
【难度系数】
0.7
19. (5 分)先化简,再求值:$\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ (a + 2 - \dfrac{5}{a - 2})$,其中 $a = \sqrt{3} - 3$.
答案
【点拨】本题考查分式通分,分式运算及化简求值.
【解析】$\frac{a-3}{a-2}÷(a+2-\frac{5}{a-2})$
$=\frac{a-3}{a-2}÷(\frac{a^2-4}{a-2}-\frac{5}{a-2})$
$=\frac{a-3}{a-2}÷\frac{a^2-9}{a-2}$
$=\frac{a-3}{a-2}·\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{1}{a+3}$.
当$a=\sqrt{3}-3$时,原式$=\frac{1}{\sqrt{3}-3+3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
【解析】$\frac{a-3}{a-2}÷(a+2-\frac{5}{a-2})$
$=\frac{a-3}{a-2}÷(\frac{a^2-4}{a-2}-\frac{5}{a-2})$
$=\frac{a-3}{a-2}÷\frac{a^2-9}{a-2}$
$=\frac{a-3}{a-2}·\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}$
$=\frac{1}{a+3}$.
当$a=\sqrt{3}-3$时,原式$=\frac{1}{\sqrt{3}-3+3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题时需遵循分式混合运算的顺序：先算括号内的运算，再算除法。首先对括号内的异分母分式通分，转化为同分母分式后计算；接着将除法转化为乘法，利用因式分解分解分子分母，通过约分简化式子；最后将给定的a的值代入化简后的式子，计算最终结果。
【解析】
$\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ (a + 2 - \dfrac{5}{a - 2})$
$=\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ ( \dfrac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2} - \dfrac{5}{a - 2} )$
$=\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ \dfrac{a^2 - 4 - 5}{a - 2}$
$=\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ \dfrac{a^2 - 9}{a - 2}$
$=\dfrac{a - 3}{a - 2} · \dfrac{a - 2}{(a + 3)(a - 3)}$
$=\dfrac{1}{a + 3}$
当$a = \sqrt{3} - 3$时，原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3} - 3 + 3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
分式的化简求值、分式的通分与运算、因式分解（平方差公式）
【点评】
本题考查分式混合运算的基本技能，核心是通分、因式分解和约分的应用，运算顺序是解题关键，代入求值时化简后的式子可简化计算，属于分式运算的常规题型。
【难度系数】
0.5
本题是分式的化简求值题，解题时需遵循分式混合运算的顺序：先算括号内的运算，再算除法。首先对括号内的异分母分式通分，转化为同分母分式后计算；接着将除法转化为乘法，利用因式分解分解分子分母，通过约分简化式子；最后将给定的a的值代入化简后的式子，计算最终结果。
【解析】
$\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ (a + 2 - \dfrac{5}{a - 2})$
$=\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ ( \dfrac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2} - \dfrac{5}{a - 2} )$
$=\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ \dfrac{a^2 - 4 - 5}{a - 2}$
$=\dfrac{a - 3}{a - 2} ÷ \dfrac{a^2 - 9}{a - 2}$
$=\dfrac{a - 3}{a - 2} · \dfrac{a - 2}{(a + 3)(a - 3)}$
$=\dfrac{1}{a + 3}$
当$a = \sqrt{3} - 3$时，原式$=\dfrac{1}{\sqrt{3} - 3 + 3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
分式的化简求值、分式的通分与运算、因式分解（平方差公式）
【点评】
本题考查分式混合运算的基本技能，核心是通分、因式分解和约分的应用，运算顺序是解题关键，代入求值时化简后的式子可简化计算，属于分式运算的常规题型。
【难度系数】
0.5
20. (8分)为了掌握同学们对探月工程的了解程度,某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查,并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.
(1)本次抽取的学生人数为
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有1 200名学生,试估计“A.完全了解”的学生人数是多少?
(1)本次抽取的学生人数为
100
名;扇形统计图中,A所对应的扇形圆心角度数为144
°;(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有1 200名学生,试估计“A.完全了解”的学生人数是多少?
答案
【点拨】本题考查条形统计图,扇形统计图的应用,用样本估计总体.
【解析】(1)由题意可知,本次抽取的学生人数为$30÷30\%=100$(名).
A所对应的扇形圆心角度数为$360°×\frac{40}{100}=144°$.
故答案为100,144.
(2)C的人数有:$100-40-30-10=20$(名).
补全条形统计图如图所示.
(3)$1\ 200×\frac{40}{100}=480$(名).
答:估计“A.完全了解”的学生人数有480名.
解析
【分析】
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图的信息关联。首先，利用B类的人数和其对应的百分比，求出抽取的学生总人数；接着，根据A类人数与总人数的比例，计算A对应的扇形圆心角度数；然后，通过总人数减去A、B、D类人数得到C类人数，补全条形统计图；最后，用样本中A类的比例乘以全校总人数，估计全校A类学生人数。
【解析】
(1) 由扇形统计图可知，B类（大体了解）占总人数的30%，条形统计图中B类有30人，因此抽取的学生总人数为：$30 ÷ 30\% = 100$（名）。
A类（完全了解）有40人，其对应的扇形圆心角度数为：$360° × \frac{40}{100} = 144°$。
(2) C类（略微了解）的人数为总人数减去A、B、D类人数，即：$100 - 40 - 30 - 10 = 20$（名），据此补全条形统计图（C类条形高度对应20）。
(3) 该校共有1200名学生，估计“A.完全了解”的学生人数为：$1200 × \frac{40}{100} = 480$（名）。
【答案】
100；144；补全后的条形统计图（C类人数为20）；480名
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，关键是从两种图表中提取有效关联数据，利用统计基本公式解题，属于统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图的信息关联。首先，利用B类的人数和其对应的百分比，求出抽取的学生总人数；接着，根据A类人数与总人数的比例，计算A对应的扇形圆心角度数；然后，通过总人数减去A、B、D类人数得到C类人数，补全条形统计图；最后，用样本中A类的比例乘以全校总人数，估计全校A类学生人数。
【解析】
(1) 由扇形统计图可知，B类（大体了解）占总人数的30%，条形统计图中B类有30人，因此抽取的学生总人数为：$30 ÷ 30\% = 100$（名）。
A类（完全了解）有40人，其对应的扇形圆心角度数为：$360° × \frac{40}{100} = 144°$。
(2) C类（略微了解）的人数为总人数减去A、B、D类人数，即：$100 - 40 - 30 - 10 = 20$（名），据此补全条形统计图（C类条形高度对应20）。
(3) 该校共有1200名学生，估计“A.完全了解”的学生人数为：$1200 × \frac{40}{100} = 480$（名）。
【答案】
100；144；补全后的条形统计图（C类人数为20）；480名
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，关键是从两种图表中提取有效关联数据，利用统计基本公式解题，属于统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
