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21. (6分)一个不透明的袋子中有若干个白球和黄球,每个球除颜色外无其他差别. 现从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后放回并搅匀,经过大量重复试验,发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近.
(1)估计摸到白球的概率是
(2)如果袋子中原有5个黄球,现又放入$ a $个黄球,再经过大量重复试验,发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近,求$ a $的值.
(1)估计摸到白球的概率是
0.8
;(2)如果袋子中原有5个黄球,现又放入$ a $个黄球,再经过大量重复试验,发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.6附近,求$ a $的值.
答案
【点拨】本题考查用频率估计概率,分式方程的应用.
【解析】(1)$\because$ 经过大量重复试验,发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近,$\therefore$ 估计摸到黄球的概率为0.2,$\therefore$ 摸到白球的概率为$1-0.2=0.8$.故答案为0.8.
(2)设袋子中原有$m$个球,根据题意得$\frac{5}{m}=0.2$,解得$m=25$.
经检验,$m=25$是该分式方程的解,且符合题意.
现又放入$a$个黄球,根据题意得$\frac{5+a}{25+a}=0.6$,解得$a=25$.
经检验,$a=25$是该分式方程的解,且符合题意.
$\therefore a=25$.
【解析】(1)$\because$ 经过大量重复试验,发现摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近,$\therefore$ 估计摸到黄球的概率为0.2,$\therefore$ 摸到白球的概率为$1-0.2=0.8$.故答案为0.8.
(2)设袋子中原有$m$个球,根据题意得$\frac{5}{m}=0.2$,解得$m=25$.
经检验,$m=25$是该分式方程的解,且符合题意.
现又放入$a$个黄球,根据题意得$\frac{5+a}{25+a}=0.6$,解得$a=25$.
经检验,$a=25$是该分式方程的解,且符合题意.
$\therefore a=25$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用“大量重复试验中，频率稳定值可估计概率”的原理，已知黄球频率稳定值，用1减去黄球概率即可得到白球概率；第(2)问先根据原有黄球数和其频率求出袋子原有总球数，再根据放入a个黄球后黄球的频率稳定值，列出关于a的分式方程，求解并检验解的合理性即可得到a的值。
【解析】
(1) 大量重复试验中，摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近，根据用频率估计概率的方法，估计摸到黄球的概率为0.2，因此摸到白球的概率为 $1 - 0.2 = 0.8$。
(2) 设袋子中原有 $m$ 个球，根据题意得 $\frac{5}{m} = 0.2$，解得 $m = 25$。经检验，$m = 25$是分式方程的解，且符合实际意义。
现放入 $a$ 个黄球后，袋子中球的总数为 $25 + a$，黄球总数为 $5 + a$，根据摸到黄球的频率稳定在0.6附近，得 $\frac{5 + a}{25 + a} = 0.6$，解得 $a = 25$。经检验，$a = 25$是分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) $0.8$；(2) $25$
【知识点】
用频率估计概率、分式方程的应用
【点评】
本题考查用频率估计概率和分式方程的应用，属于基础题型，解题关键是理解频率与概率的关系，以及根据题意准确列出分式方程并检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问利用“大量重复试验中，频率稳定值可估计概率”的原理，已知黄球频率稳定值，用1减去黄球概率即可得到白球概率；第(2)问先根据原有黄球数和其频率求出袋子原有总球数，再根据放入a个黄球后黄球的频率稳定值，列出关于a的分式方程，求解并检验解的合理性即可得到a的值。
【解析】
(1) 大量重复试验中，摸到黄球的频率逐渐稳定在0.2附近，根据用频率估计概率的方法，估计摸到黄球的概率为0.2，因此摸到白球的概率为 $1 - 0.2 = 0.8$。
(2) 设袋子中原有 $m$ 个球，根据题意得 $\frac{5}{m} = 0.2$，解得 $m = 25$。经检验，$m = 25$是分式方程的解，且符合实际意义。
现放入 $a$ 个黄球后，袋子中球的总数为 $25 + a$，黄球总数为 $5 + a$，根据摸到黄球的频率稳定在0.6附近，得 $\frac{5 + a}{25 + a} = 0.6$，解得 $a = 25$。经检验，$a = 25$是分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) $0.8$；(2) $25$
【知识点】
用频率估计概率、分式方程的应用
【点评】
本题考查用频率估计概率和分式方程的应用，属于基础题型，解题关键是理解频率与概率的关系，以及根据题意准确列出分式方程并检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
22. (6分)分解因式.
(1)$m^3n - 9mn$;
(2)$(x^2 + 4)^2 - 16x^2$;
(3)$x^2 - 4y^2 - x + 2y$.
(1)$m^3n - 9mn$;
(2)$(x^2 + 4)^2 - 16x^2$;
(3)$x^2 - 4y^2 - x + 2y$.
答案
【点拨】本题考查分解因式、平方差公式的应用.
【解析】(1)$m^3n-9mn=mn(m^2-9)=mn(m+3)(m-3)$.
(2)$(x^2+4)^2-16x^2=(x^2+4+4x)(x^2+4-4x)=(x+2)^2(x-2)^2$.
(3)$x^2-4y^2-x+2y$
$=(x-2y)(x+2y)-(x-2y)$
$=(x-2y)(x+2y-1)$.
【解析】(1)$m^3n-9mn=mn(m^2-9)=mn(m+3)(m-3)$.
(2)$(x^2+4)^2-16x^2=(x^2+4+4x)(x^2+4-4x)=(x+2)^2(x-2)^2$.
(3)$x^2-4y^2-x+2y$
$=(x-2y)(x+2y)-(x-2y)$
$=(x-2y)(x+2y-1)$.
解析
【分析】分解因式的核心思路是“一提二套三分组”，即先提取公因式，再套用平方差、完全平方等公式，无法直接分解时考虑分组分解。本题中：(1)先提取公因式mn，剩余部分符合平方差公式，继续分解；(2)整体符合平方差公式结构，套用后得到两个完全平方式，再分解；(3)前两项为平方差形式，后两项提取负号后可找到公共因式，用分组分解法完成。
【解析】(1) $m^3n - 9mn = mn(m^2 - 9) = mn(m + 3)(m - 3)$；
(2) $(x^2 + 4)^2 - 16x^2 = (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x + 2)^2(x - 2)^2$；
(3) $x^2 - 4y^2 - x + 2y = (x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y - 1)$。
【答案】(1) $mn(m + 3)(m - 3)$；(2) $(x + 2)^2(x - 2)^2$；(3) $(x - 2y)(x + 2y - 1)$
【知识点】分解因式、平方差公式、完全平方公式
【点评】本题考查分解因式的基础方法，涵盖提公因式法、公式法、分组分解法，是初中代数核心基础题型，需熟练掌握各类方法的适用场景。
【难度系数】0.6
【解析】(1) $m^3n - 9mn = mn(m^2 - 9) = mn(m + 3)(m - 3)$；
(2) $(x^2 + 4)^2 - 16x^2 = (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x + 2)^2(x - 2)^2$；
(3) $x^2 - 4y^2 - x + 2y = (x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y - 1)$。
【答案】(1) $mn(m + 3)(m - 3)$；(2) $(x + 2)^2(x - 2)^2$；(3) $(x - 2y)(x + 2y - 1)$
【知识点】分解因式、平方差公式、完全平方公式
【点评】本题考查分解因式的基础方法，涵盖提公因式法、公式法、分组分解法，是初中代数核心基础题型，需熟练掌握各类方法的适用场景。
【难度系数】0.6
23. (6分)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BD平分∠ABC.
(1)尺规作图:过点D作DE//AB,DE交BC于点E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:四边形ABED是菱形.
(1)尺规作图:过点D作DE//AB,DE交BC于点E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:四边形ABED是菱形.
答案
【点拨】本题考查尺规作图,作一个角等于已知角,角平分线的定义,平行四边形的判定与性质,菱形的判定.
【解析】(1)如图,$DE$即为所求.
(2)证明:$\because AD// BE$,$AB// DE$,
$\therefore$ 四边形$ABED$是平行四边形.
$\because BD$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABD=∠ DBC$.
$\because AD// BC$,$\therefore ∠ ADB=∠ DBC=∠ ABD$,$\therefore AB=AD$,
$\therefore$ 平行四边形$ABED$是菱形.
解析
【分析】
第(1)问需掌握尺规作平行线的方法，按要求保留作图痕迹即可；第(2)问要证明四边形ABED是菱形，先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定它为平行四边形，再结合角平分线的定义和平行线的性质，推出一组邻边相等，最后依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明。
【解析】
(1) 如图，DE即为所求。
(2) 证明：
∵ AD//BC，DE//AB，即AD//BE，AB//DE，
∴ 四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC（角平分线的定义）。
又
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD（等角对等边）。
∴ 平行四边形ABED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) 如图，DE即为所求。
(2) 四边形ABED是菱形，证明如上。
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形与菱形的判定，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理，按步骤推导即可完成。
【难度系数】
0.6
第(1)问需掌握尺规作平行线的方法，按要求保留作图痕迹即可；第(2)问要证明四边形ABED是菱形，先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定它为平行四边形，再结合角平分线的定义和平行线的性质，推出一组邻边相等，最后依据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明。
【解析】
(1) 如图，DE即为所求。
(2) 证明：
∵ AD//BC，DE//AB，即AD//BE，AB//DE，
∴ 四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC（角平分线的定义）。
又
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ABD = ∠ADB，
∴ AB = AD（等角对等边）。
∴ 平行四边形ABED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) 如图，DE即为所求。
(2) 四边形ABED是菱形，证明如上。
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形与菱形的判定，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理，按步骤推导即可完成。
【难度系数】
0.6
