24. (7分)观察下列等式：
$\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}},\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}},···$
(1)请你根据上述规律填空：$\sqrt{5 + \frac{5}{24}} =$ ；
(2)①把你发现的规律用含有$n$的等式表示出来：$\sqrt{n + \frac{n}{n^2 - 1}} =$ ；
②证明①中的等式是正确的,并注明$n$的取值范围.

【点拨】本题考查数字的变化规律,归纳思想,二次根式的性质与化简.
【解析】(1)$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$,$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$,$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$,$\dots$
观察以上三个式子可得$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$.
故答案为$5\sqrt{\frac{5}{24}}$.
(2)①根据(1)中发现的规律,用含有$n$的等式表示出来是$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$.故答案为$n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$.
②证明:左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{n(1+\frac{1}{n^2-1})}=\sqrt{n·\frac{n^2}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$($n$为大于1的自然数),右边$=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$.
即左边=右边,①中的等式是正确的.

【分析】先观察给出的等式，明确等式左右两边的结构规律：左边根号内是“整数 + 分数”，分数的分子等于整数，分母是整数的平方减1；右边是整数乘以根号下的分数，分数与左边对应。据此先解决第(1)问，再归纳通用规律完成第(2)问，最后通过化简左边验证等式成立，确定n的取值范围。
【解析】(1) 已知等式中，当整数为2时，分母为$2^2-1=3$；整数为3时，分母为$3^2-1=8$；整数为4时，分母为$4^2-1=15$，因此当整数为5时，分母为$5^2-1=24$，对应等式为$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$。
(2) ① 归纳规律可得，用n表示的等式为$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。
② 证明：左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3 -n +n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{n^2·\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，右边$=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，故左边=右边，等式成立。n的取值范围是n为大于1的自然数（分母$n^2-1≠0$，且根号内的数需非负，因此n＞1）。
【答案】(1)$5\sqrt{\frac{5}{24}}$；(2)①$n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$；②证明如上，n为大于1的自然数。
【知识点】二次根式的性质、数字规律探索、代数式化简
【点评】本题通过观察特殊等式归纳一般规律，再利用二次根式性质化简证明，考查归纳思想与二次根式运算，是典型的规律探究题，难度适中。
【难度系数】0.5

25. (10分)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB=4,BC=8,AD=6,∠B=90°,点M从点B出发,以每秒$\frac{5}{2}$个单位长度的速度沿BC向右运动,移动到点C时立即沿原路按原速返回,点N从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段DA向左运动.若M,N两点同时出发,当点N运动到点A时,M,N两点同时停止运动,设运动时间为t(秒).
(1)当t=时,四边形ABMN为矩形;
(2)在整个运动过程中,当t为何值时,以C,D,N,M为顶点的四边形为平行四边形?

【点拨】本题考查矩形的性质与判定,平行四边形的性质与判定.
【解析】(1)$\because AD// BC$,$∠ B=90°$,
$\therefore$ 当$AN=BM$时,四边形$ABMN$为矩形.
由题意可知,$AN=AD-DN=6-t$,
当点$M$从点$B$运动到点$C$时,$BM=\frac{5}{2}t$,
令$6-t=\frac{5}{2}t$,解得$t=\frac{12}{7}$;
当点$M$从点$C$返回到点$B$时,$BM=8-(\frac{5}{2}t-8)=16-\frac{5}{2}t$,
令$6-t=16-\frac{5}{2}t$,解得$t=\frac{20}{3}$.
当$t=6$时,点$M$,$N$同时停止运动,故$t=\frac{20}{3}$不符合题意,舍去.
$\therefore$ 当$t=\frac{12}{7}$时,四边形$ABMN$为矩形.故答案为$\frac{12}{7}$.
(2)$\because AD// BC$,$\therefore$ 当$DN=CM$时,以$C,D,N,M$为顶点的四边形为平行四边形.
由题意可知,$DN=t$,
当点$M$从点$B$运动到点$C$时,$CM=8-\frac{5}{2}t$.
令$t=8-\frac{5}{2}t$,解得$t=\frac{16}{7}$;
当点$M$从点$C$返回到点$B$时,$CM=\frac{5}{2}t-8$,
令$t=\frac{5}{2}t-8$,解得$t=\frac{16}{3}$.
经检验,$t=\frac{16}{7}$和$t=\frac{16}{3}$均符合题意.
$\therefore$ 当$t$为$\frac{16}{7}$或$\frac{16}{3}$时,以$C,D,N,M$为顶点的四边形为平行四边形.

【分析】
本题是直角梯形背景下的动点问题，需结合矩形、平行四边形的判定条件，分阶段讨论点M的运动状态（从B到C的去程、从C返回B的返程），结合线段长度的表达式建立等量关系求解。
第(1)问：四边形ABMN为矩形，因AD//BC且∠B=90°，只需满足AN=BM即可，需考虑M的两种运动阶段，同时结合N的运动停止时间（t≤6）筛选有效解。
第(2)问：以C、D、N、M为顶点的四边形为平行四边形，因AD//BC，只需满足DN=CM即可，同样分M的两种运动阶段，检验解的合理性。
【解析】
(1) 已知AD//BC，∠B=90°，当AN=BM时，四边形ABMN为矩形。
由题意：点N的速度为1，故DN=t，AN=AD-DN=6-t；
点M的速度为$\frac{5}{2}$，分两种情况：
① M从B向C运动时（$0≤t≤\frac{8}{\frac{5}{2}}=\frac{16}{5}$），$BM=\frac{5}{2}t$，令$6-t=\frac{5}{2}t$，解得$t=\frac{12}{7}$，符合范围；
② M从C返回B时（$t＞\frac{16}{5}$），$BM=8-(\frac{5}{2}t-8)=16-\frac{5}{2}t$，令$6-t=16-\frac{5}{2}t$，解得$t=\frac{20}{3}$，因N运动到A时t=6，$\frac{20}{3}＞6$，舍去。
故t=$\frac{12}{7}$。
(2) 已知AD//BC，当DN=CM时，以C、D、N、M为顶点的四边形为平行四边形。
DN=t，分两种情况：
① M从B向C运动时（$0≤t≤\frac{16}{5}$），$CM=8-\frac{5}{2}t$，令$t=8-\frac{5}{2}t$，解得$t=\frac{16}{7}$，符合范围；
② M从C返回B时（$t＞\frac{16}{5}$），$CM=\frac{5}{2}t-8$，令$t=\frac{5}{2}t-8$，解得$t=\frac{16}{3}$，$\frac{16}{3}＜6$，符合范围。
故t为$\frac{16}{7}$或$\frac{16}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{12}{7}$；(2) $\frac{16}{7}$或$\frac{16}{3}$
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的判定、动点问题
【点评】
本题为直角梯形中的动点问题，需运用分类讨论思想分析点M的运动阶段，结合矩形、平行四边形的判定条件建立方程求解，考查学生的几何逻辑与方程应用能力，是初中几何的典型题型。
【难度系数】
0.5