26. (8 分)如图,梯形 ABCD 是一座水库大坝的横截面,其中 $AD // BC, ∠ B = 30°, ∠ C = 45°, AD = 6 \mathrm{ m}, CD = 20 \mathrm{ m}$,求 $BC$(坝底)的长及梯形 ABCD 的面积.

【点拨】本题考查梯形,关键是对坡度、坡角的掌握及解直角三角形的综合运用解答.
【解析】如图,作$AE⊥ BC$,$DF⊥ BC$,垂足分别为$E,F$,则$∠ AEF=∠ DFC=90°$,
$\therefore AE// DF$.
$\because$ 四边形$ABCD$为梯形,
$\therefore AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$AEFD$为平行四边形,
$\therefore EF=AD=6\ \mathrm{m}$,$AE=DF$.
在$\mathrm{Rt}△ DFC$中,由$∠ C=45°$,
得$FC=DF$.
由$CD=\sqrt{DF^2+FC^2}=20\ \mathrm{m}$,解得$DF=CF=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,$\therefore AE=10\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由$∠ B=30°$,得$AB=2AE=20\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,
$\therefore BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=10\sqrt{6}\ \mathrm{m}$,
$\therefore BC=BE+EF+FC=(6+10\sqrt{2}+10\sqrt{6})(\mathrm{m})$.
$\therefore$ 梯形$ABCD$的面积$=\frac{1}{2}(AD+BC)· AE=(100+60\sqrt{2}+100\sqrt{3})(\mathrm{m}^2)$.

【分析】本题是梯形的实际应用问题，核心思路是通过作梯形的高，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，利用直角三角形的特殊角度性质（30°角、45°角）计算各线段长度，进而求出坝底BC的长和梯形面积。具体步骤：①作两条高构造矩形和直角三角形；②在含45°角的直角三角形中，利用等腰直角三角形性质求高和一段底长；③在含30°角的直角三角形中，利用30°角的直角三角形性质求另一段底长；④将三段底长相加得BC，再用梯形面积公式计算面积。
【解析】过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则∠AEB=∠DFC=90°。
∵AD//BC，
∴AE//DF，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD=6 m，AE=DF。
在Rt△DFC中，∠C=45°，
∴△DFC为等腰直角三角形，故DF=CF。
由勾股定理：CD²=DF²+CF²，代入CD=20 m，得20²=2DF²，解得DF=CF=10√2 m，因此AE=10√2 m。
在Rt△ABE中，∠B=30°，
∴AB=2AE=20√2 m，由勾股定理：BE=√(AB² - AE²)=√[(20√2)² - (10√2)²]=√(800-200)=√600=10√6 m。
∴BC=BE+EF+CF=10√6 +6 +10√2=(6+10√2+10√6) m。
梯形ABCD的面积=1/2×(AD+BC)×AE=1/2×[6 + (6+10√2+10√6)]×10√2=1/2×(12+10√2+10√6)×10√2=(100+60√2+100√3) m²。
【答案】BC的长为(6+10√2+10√6) m，梯形ABCD的面积为(100+60√2+100√3) m²
【知识点】梯形的性质，解直角三角形，特殊直角三角形性质
【点评】本题结合大坝横截面的实际场景，考查梯形的辅助线作法及直角三角形的性质应用，是梯形相关计算的典型题型，需掌握“作高法”转化梯形为直角三角形和矩形的解题技巧。
【难度系数】0.5