1. 如图,在平面直角坐标系中,点$D(4,-2)$,将$\mathrm{Rt}△ OCD$绕点$O$逆时针旋转$90°$到$△ OAB$的位置,则点$B$的坐标为 （）

A.$(2,4)$
B.$(4,2)$
C.$(-4,-2)$
D.$(-2,4)$

1. A

2. (南京市玄武区校级月考)已知点 $A(3,3),B$ 为 $x$ 轴负半轴上一点,直线 $BA$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45°$ 交 $y$ 轴于点 $C$,当 $BC=BO+2$ 时,则点 $B$ 的坐标为（）

A.$(-12,0)$
B.$(-9,0)$
C.$(-6,0)$
D.$(-3,0)$

2. D 提示:如图,过点 A 作 y 轴的平行线,交x 轴于点 H,过点 C 作 y 轴的垂线,与直线 AH 交于点G,过点 A 作$AF⊥AC$,交 x 轴于点 F. 因为点$A(3,3)$,$CG⊥GH$,$GH⊥x$ 轴,所以 $AH = CG = 3$, 易证$△ACG≌△FAH(ASA)$,所以 $AG=FH,AC=FA$. 因为$∠CAB=45°$,所以$∠FAB=90°-∠CAB=45°$,所以$∠FAB=∠CAB$,所以$△ACB≌△AFB(SAS)$,所以$BC=BF$. 因为 $BC = BO + 2$,$BC = BO + OF$,所以$OF=2$,所以$FH=AG=1$,所以$HG=4$,所以$OC=4$.设 $BO = x$, 则 $BC = x + 2$. 在 $\mathrm{Rt}△BOC$ 中, $BO^2 =$$BC^2-OC^2$, 即 $x^2=(x+2)^2-4^2$, 所以 $x=3$, 所以点$B(-3,0)$.

3. 在平面直角坐标系中,有若干个相同的直角三角形,按如图规律摆放.已知$∠ A_{1}=$$∠ A_{3}=∠ A_{5}=\dots=90°,OA_{1}=A_{3}A_{4}=$$A_{4}A_{5}=\dots=4,A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=A_{5}A_{6}=\dots=$3,动点$P$从原点$O$出发,第一次运动到点$A_{1}$,第二次运动到点$A_{2}$,第三次运动到点$A_{3},\dots$,按这样的运动规律,动点$P$第 101次运动到点$A_{101}$的坐标为（）


A.$(256\dfrac{4}{5},-\dfrac{12}{5})$
B.$(253\dfrac{1}{5},\dfrac{12}{5})$
C.$(252\dfrac{1}{2},\dfrac{12}{5})$
D.$(252\dfrac{1}{2},0)$

3. B 提示:过点 $A_1$ 作 $A_1E⊥x$ 轴于点 $E$. 在$\mathrm{Rt}△OA_1A_2$ 中,由勾股定理,得 $OA_2=\sqrt{OA_1^2+A_1A_2^2}=5$. 因为 $S_{△OA_1A_2}=\frac{1}{2}OA_1·A_1A_2=\frac{1}{2}OA_2·A_1E$,所以$A_1E=\frac{OA_1·A_1A_2}{OA_2}=\frac{12}{5}$,所以 $OE=\sqrt{OA_1^2-A_1E^2}=$$\frac{16}{5}$,所以点 $A_1(\frac{16}{5},\frac{12}{5})$,$A_2(5,0)$. 同理,得点 $A_3(\frac{34}{5},-\frac{12}{5})$,$A_4(10,0)$. 观察可知,点 $A_n$ 的纵坐标是$\frac{12}{5},0$,$-\frac{12}{5},0……$循环出现,点 $A_n$ 的横坐标是每 4 次一个循环,每个循环横坐标增加 10. 因为 $101÷4=25……1$,所以点 $A_{101}$ 的纵坐标与点 $A_1$ 相同,为$\frac{12}{5}$,横坐标为$\frac{16}{5}+25×10=253\frac{1}{5}$,所以点 $A_{101}(253\frac{1}{5},\frac{12}{5})$.

4. 如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标是$(1,1)$.若记点A的坐标为$(a_{1},$$a_{2})$,则一个点从点A出发,沿图中路线依次经过点$B(a_{3},a_{4}),C(a_{5},a_{6}),D(a_{7},$$a_{8}),···$,每个点的横纵坐标都是整数,按此规律一直运动下去,则$a_{2\ 024}+a_{2\ 025}+$$a_{2\ 026}$的值为 （）


A.1 012
B.1 013
C.1 014
D.1 015

4. C 提示:由平面直角坐标系可知,点 $A(1,1),B(2,-1),C(3,2),D(4,-2),…$,即 $a_1=1,a_2=1$,$a_3=2,a_4=-1,a_5=3,a_6=2,a_7=4,a_8=-2,…$. 对于$a_n$($n$ 为正整数),当 $n$ 为奇数时,$a_n=\frac{n+1}{2}$. 当 $n$ 为偶数时,若 $n$ 能被 4 整除,则 $a_n=-\frac{n}{4}$;若不能,则 $a_n=$$\frac{n+2}{4}$. 所以 $a_{2024}=-\frac{2024}{4}=-506$,$a_{2025}=\frac{2025+1}{2}=1013$,$a_{2026}=\frac{2026+2}{4}=507$. 故 $a_{2024}+a_{2025}+a_{2026}=1014$.

5. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A$的坐标是$(0,2)$,以$OA$为边在其右侧作等边三角形
$OAA_1$,过点$A_1$作$x$轴的垂线,垂足为$O_1$,以$O_1A_1$为边在其右侧作等边三角形$O_1A_1A_2$,再过点$A_2$作$x$轴的垂线,垂足为$O_2$,以$O_2A_2$为边在其右侧作等边三角形$O_2A_2A_3$,$···$,按此规律继续作下去,得等边三角形$O_{2\ 025}A_{2\ 025}A_{2\ 026}$,则点$A_{2\ 026}$的纵坐标是（）

A.$(\dfrac{1}{2})^{2\ 026}$
B.$(\dfrac{1}{2})^{2\ 025}$
C.$(\dfrac{1}{2})^{2\ 024}$
D.$(\dfrac{1}{2})^{2\ 023}$

5. B 提示: 因为 $∠A_1OO_1=90°-60°=30°$,$OA_1=OA=2$,所以 $A_1O_1=\frac{1}{2}OA_1=2×\frac{1}{2}$,点 $A_1$ 的纵坐标是 $2×\frac{1}{2}$. 又因为 $∠A_2O_1O_2=90°-60°=30°$,$O_1A_2=A_1O_1=2×\frac{1}{2}$,所以 $A_2O_2=\frac{1}{2}O_1A_2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$,所以点 $A_2$ 的纵坐标是 $2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$,即 $2×(\frac{1}{2})^2$. 同理可得点 $A_3$ 的纵坐标是 $2×(\frac{1}{2})^3$. 按此规律继续作下去,得点 $A_{2026}$ 的纵坐标是 $2×(\frac{1}{2})^{2026}$,即 $(\frac{1}{2})^{2025}$.

6. 在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,若点$Q$的坐标为$(x-ay,ax+y)$,则称点$Q$是点$P$的“$a$阶好运点”($a$为常数,且$a ≠ 0$).例如:点$P(1,3)$的“2阶好运点”为点$(1-2 × 3,2 × 1+3)$,即点$Q(-5,5)$.若点$C(m+2,1-3m)$的“$-5$阶好运点”到$x$轴的距离为6,则$m=$.

6. $-\dfrac{3}{8}$或$-\dfrac{15}{8}$ 提示:由题意,得点 $C(m+2,1-3m)$的“$-5$阶好运点”为$(-14m+7,-8m-9)$. 所以$|-8m-9|=6$,解得 $m=-\dfrac{3}{8}$或 $m=-\dfrac{15}{8}$.