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7. 凸四边形是指四边形内任意两点间的线段全部位于该四边形内部,且四个内角均小于$180^{\circ }$的四边形. 在平面直角坐标系中,已知凸四边形$AOBC$的边$OA=OB=BC≠$$AC$,且点$O(0,0)$,点$A(0,16)$,点$B$在$x$轴的正半轴. 如果对角线$OC$把四边形$AOBC$分割成了两个等腰三角形,那么点$C$的坐标为
$(8,\sqrt{192})$或$(16+\sqrt{192},8)$
.答案
7. $(8,\sqrt{192})$或$(16+\sqrt{192},8)$ 提示:因为$OB=BC=16$,所以$△OBC$是等腰三角形,所以当对角线 $OC$ 把四边形 $AOBC$ 分割成了两个等腰三角形时,$△OAC$ 也是等腰三角形,因为 $OA≠AC$,所以有以下两种情况:
①当 $OC=OA=16$ 时,过点 $C$ 作 $CD⊥x$ 轴于点$D$,如图1所示. 因为 $OC=OA=OB=BC=16$,所以$△OBC$ 是等边三角形,所以 $OD=BD=\frac{1}{2}OB=8$. 在$\mathrm{Rt}△OCD$ 中,由勾股定理,得 $CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=$$\sqrt{192}$,所以点 $C$ 的坐标为$(8,\sqrt{192})$.
②当 $AC=OC$ 时,过点 $C$ 分别作 $CE⊥y$ 轴于点 $E$,$CF⊥x$ 轴于点 $F$,如图2所示. 易得 $AE=OE=8$,$CF=OE=8$,$OF=OB+BF=16+BF$. 在 $\mathrm{Rt}△BCF$ 中,$BC=16$,$CF=8$,由勾股定理,得 $BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=\sqrt{192}$,所以 $OF=16+\sqrt{192}$,所以点 $C$ 的坐标为$(16+\sqrt{192},8)$.
综上所述,点 $C$ 的坐标为 $(8,\sqrt{192})$ 或 $(16+\sqrt{192},8)$.
8. 如图,已知A为y轴正半轴上一点,B为x轴正半轴上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，A,B,C按顺时针方向排列. 若$AB=10$,$△ AOB$的面积为24，则点C的坐标为
$(-1,1)$或$(1,-1)$
.答案
8. $(-1,1)$或$(1,-1)$ 提示:设点 $A(0,a)$,$B(b,0)$,且由题意知, $a＞0,b＞0$, 则有$\begin{cases}a^2+b^2=100,\\\frac{1}{2}ab=24.\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}(a+b)^2=196,\\(a-b)^2=4,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}a+b=14,\\a-b=2\end{cases}$ 或$\begin{cases}a+b=14,\\a-b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=8,\\b=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=6,\\b=8.\end{cases}$ 如图,过点 $C$ 作$CH⊥y$ 轴于点 $H$,过点 $B$ 作 $BG⊥CH$,交 $CH$ 所在直线于点 $G$. 易证$△AHC≌△CGB$. 所以 $AH=CG$,$CH=BG$. 设点 $C(m,n)$. 如图 1,当 $\begin{cases}a=8,\\b=6\end{cases}$ 时,$AH=8-n$,$CH=-m$,$CG=6-m$,$BG=n$,所以 $\begin{cases}8-n=6-m,\\-m=n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-1,\\n=1,\end{cases}$ 所以点 $C(-1,1)$; 如图 2,当 $\begin{cases}a=6,\\b=8\end{cases}$ 时,$AH=6-n$,$CH=m$,$CG=8-m$,$BG=-n$,所以$\begin{cases}6-n=8-m,\\m=-n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$ 所以点 $C(1,-1)$. 综上所述,点 $C$ 的坐标为$(-1,1)$或$(1,-1)$.
三、解答题
9.【类比学习】一动点沿着数轴向右平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,相当于向右平移1个单位长度.用实数加法表示为 $3+(-2)=1$. 若坐标平面上的点作如下平移:沿$x$轴方向平移$a$(向右为正,向左为负,平移$|a|$个单位长度),沿$y$轴方向平移$b$(向上为正,向下为负,平移$|b|$个单位长度),则把有序数对$\{a,b\}$叫作这一平移的“平移量”;“平移量”$\{a,b\}$与“平移量”$\{c,d\}$的加法运算法则为$\{a,b\}+\{c,d\}=\{a+c,b+d\}$.
【解决问题】
(1) 计算:$\{3,1\}+\{1,2\}$;$\{1,2\}+\{3,1\}$.
(2) 动点$P$从坐标原点$O$出发,先按照“平移量”$\{3,1\}$平移到点$A$,再按照“平移量”$\{1,2\}$平移到点$B$.若先把动点$P$按照“平移量”$\{1,2\}$平移到点$C$,再按照“平移量”$\{3,1\}$平移,最后的位置还是点$B$吗? 如果是,请在图1中画出四边形$OABC$;如果不是,请说明理由.
(3) 如图2,一艘船从码头$O$出发,先航行到湖心岛码头$P(2,3)$,再从码头$P$航行到码头$Q(5,5)$,最后回到出发点$O$.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.
9.【类比学习】一动点沿着数轴向右平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,相当于向右平移1个单位长度.用实数加法表示为 $3+(-2)=1$. 若坐标平面上的点作如下平移:沿$x$轴方向平移$a$(向右为正,向左为负,平移$|a|$个单位长度),沿$y$轴方向平移$b$(向上为正,向下为负,平移$|b|$个单位长度),则把有序数对$\{a,b\}$叫作这一平移的“平移量”;“平移量”$\{a,b\}$与“平移量”$\{c,d\}$的加法运算法则为$\{a,b\}+\{c,d\}=\{a+c,b+d\}$.
【解决问题】
(1) 计算:$\{3,1\}+\{1,2\}$;$\{1,2\}+\{3,1\}$.
(2) 动点$P$从坐标原点$O$出发,先按照“平移量”$\{3,1\}$平移到点$A$,再按照“平移量”$\{1,2\}$平移到点$B$.若先把动点$P$按照“平移量”$\{1,2\}$平移到点$C$,再按照“平移量”$\{3,1\}$平移,最后的位置还是点$B$吗? 如果是,请在图1中画出四边形$OABC$;如果不是,请说明理由.
(3) 如图2,一艘船从码头$O$出发,先航行到湖心岛码头$P(2,3)$,再从码头$P$航行到码头$Q(5,5)$,最后回到出发点$O$.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.
答案
9. 解: (1) $\{3,1\}+\{1,2\}=\{4,3\}$;$\{1,2\}+\{3,1\}=\{4,3\}$.
(2) 最后的位置仍是点 $B$,画图如图所示.
(3) $\{2,3\}+\{3,2\}+\{-5,-5\}=\{0,0\}$.
10. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 对于点 $A(x_1,$ $y_1),B(x_2,y_2)$, 记 $d_x=|x_1-x_2|,d_y=$ $|y_1-y_2|$, 将 $|d_x-d_y|$ 称为点 $A,B$ 的横纵偏差, 记为 $μ(A,B)$, 即 $μ(A,B)=$ $|d_x-d_y|$. 若点 $B$ 在线段 $PQ$ 上, 将 $μ(A,$ $B)$ 的最大值称为线段 $PQ$ 关于点 $A$ 的横纵偏差, 记为 $μ(A,PQ)$.
(1) 点 $A(-1,0),B(4,2)$.
① $μ(A,B)$ 的值是
②点 $K$ 在 $y$ 轴上, 若 $μ(B,K)=0$, 则点 $K$ 的坐标是
(2) 点 $P,Q$ 在 $x$ 轴上, 点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧, $PQ=5$, 点 $M$ 的坐标为 $(0,-4)$.
①当点 $P$ 的坐标为 $(1,0)$ 时, 求 $μ(M,$ $PQ)$ 的值;
②当线段 $PQ$ 在 $x$ 轴上运动时, 求 $μ(M,PQ)$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.
(1) 点 $A(-1,0),B(4,2)$.
① $μ(A,B)$ 的值是
$3$
;②点 $K$ 在 $y$ 轴上, 若 $μ(B,K)=0$, 则点 $K$ 的坐标是
$(0,-2)$或$(0,6)$
.(2) 点 $P,Q$ 在 $x$ 轴上, 点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧, $PQ=5$, 点 $M$ 的坐标为 $(0,-4)$.
①当点 $P$ 的坐标为 $(1,0)$ 时, 求 $μ(M,$ $PQ)$ 的值;
②当线段 $PQ$ 在 $x$ 轴上运动时, 求 $μ(M,PQ)$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.
答案
10. (1) ①3 ②$(0,-2)$或$(0,6)$
(2) 解:①因为点 $P,Q$ 在 $x$ 轴上,点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧,$PQ=5$,点 $P$ 的坐标为$(1,0)$,所以点 $Q(6,0)$. 设点 $T(t,0)$ 为线段 $PQ$ 上任意一点,则 $1≤ t≤ 6$. 因为点 $M$ 的坐标为$(0,-4)$,所以 $d_x=t$,$d_y=4$,所以 $μ(M,T)=|d_x-d_y|=|t-4|$. 由 $1≤ t≤ 6$,可得 $0≤ |t-4|≤ 3$. 所以 $μ(M,T)$ 的最大值是 3, 所以 $μ(M,PQ)=3$.
②设点 $P(a,0)$, 则点 $Q(a+5,0)$. 因为点 $M(0,-4)$, 所以 $μ(M,Q)=||a+5|-4|$,$μ(M,P)=||a|-4|$. 若 $a＞0$, 则当 $a$ 的值逐渐增大时,$μ(M,PQ)$ 的值先减小后增大, 当$||a+5|-4|=||a|-4|$, 即 $|a+5-4|=|a-4|$ 时,$μ(M,PQ)$ 的值最小, 最小值为 $\frac{5}{2}$,此时 $a=\frac{3}{2}$; 若 $-5≤ a≤ 0$, 则 $μ(M,PQ)=4$; 若$a＜-5$, 则当 $a$ 的值逐渐减少时,$μ(M,PQ)$ 的值先减小后增大, 当 $||a+5|-4|=||a|-4|$,即 $|-a-5-4|=|-a-4|$ 时,$μ(M,PQ)$ 的值最小, 最小值为 $\frac{5}{2}$, 此时 $a=-\frac{13}{2}$. 综上所述,$μ(M,PQ)$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$, 此时点 $P$ 的坐标为$(\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{13}{2},0)$.
(2) 解:①因为点 $P,Q$ 在 $x$ 轴上,点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧,$PQ=5$,点 $P$ 的坐标为$(1,0)$,所以点 $Q(6,0)$. 设点 $T(t,0)$ 为线段 $PQ$ 上任意一点,则 $1≤ t≤ 6$. 因为点 $M$ 的坐标为$(0,-4)$,所以 $d_x=t$,$d_y=4$,所以 $μ(M,T)=|d_x-d_y|=|t-4|$. 由 $1≤ t≤ 6$,可得 $0≤ |t-4|≤ 3$. 所以 $μ(M,T)$ 的最大值是 3, 所以 $μ(M,PQ)=3$.
②设点 $P(a,0)$, 则点 $Q(a+5,0)$. 因为点 $M(0,-4)$, 所以 $μ(M,Q)=||a+5|-4|$,$μ(M,P)=||a|-4|$. 若 $a＞0$, 则当 $a$ 的值逐渐增大时,$μ(M,PQ)$ 的值先减小后增大, 当$||a+5|-4|=||a|-4|$, 即 $|a+5-4|=|a-4|$ 时,$μ(M,PQ)$ 的值最小, 最小值为 $\frac{5}{2}$,此时 $a=\frac{3}{2}$; 若 $-5≤ a≤ 0$, 则 $μ(M,PQ)=4$; 若$a＜-5$, 则当 $a$ 的值逐渐减少时,$μ(M,PQ)$ 的值先减小后增大, 当 $||a+5|-4|=||a|-4|$,即 $|-a-5-4|=|-a-4|$ 时,$μ(M,PQ)$ 的值最小, 最小值为 $\frac{5}{2}$, 此时 $a=-\frac{13}{2}$. 综上所述,$μ(M,PQ)$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$, 此时点 $P$ 的坐标为$(\frac{3}{2},0)$或$(-\frac{13}{2},0)$.
