9. 在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿$x$轴翻折,再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图,已知等边三角形$ABC$的顶点$B,C$的坐标分别是$(-1,-1),(-3,-1)$,把等边三角形$ABC$经过连续9次这样的变换得到三角形$A'B'C'$,求点$A$的对应点$A'$的坐标.

9. 解:过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$.因为$△ ABC$是等边三角形,点$B(-1,-1)$,$C(-3,-1)$,所以$BD=1$,$AB=2$,$AD=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,所以点$A(-2,-1-\sqrt{3})$.根据题意,可得规律:当$n$为奇数时,第$n$次变换后的点$A$的对应点的坐标为$(2n-2,1+\sqrt{3})$;当$n$为偶数时,第$n$次变换后的点$A$的对应点的坐标为$(2n-2,-1-\sqrt{3})$.所以把$△ ABC$经过连续9次这样的变换得到$△ A'B'C'$,此时点$A$的对应点$A'$的坐标是$(16,1+\sqrt{3})$.

10. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是$(-3,0)$,点 B 的坐标是$(0,4)$,M 是 y 轴上一点,将$△ ABM$沿 AM 折叠,点 B 恰好落在 x 轴上的点$B'$处,则点 M 的坐标为.

10. $(0,\frac{3}{2})$或$(0,-6)$ 提示:①当点$B'$在点$A$的右侧时,如图1所示. 因为点$A$的坐标是$(-3,0)$,点$B$的坐标是$(0,4)$,所以$OA=3$,$OB=4$. 因为$∠ AOB=90°$,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.由折叠的性质,得$AB'=AB=5$,$MB'=MB$,所以$OB'=AB'-OA=5-3=2$. 设$OM=m$,则$MB'=MB=4-m$. 在$\mathrm{Rt}△ MOB'$中,$OM^2+OB'^2=MB'^2$,所以$m^2+2^2=(4-m)^2$,解得$m=\frac{3}{2}$,所以$OM=\frac{3}{2}$,所以点$M$的坐标为$(0,\frac{3}{2})$.
②当点$B'$在点$A$的左侧时,如图2所示. 由折叠的性质,得$AB'=AB=5$,$MB'=MB$,所以$OB'=AB'+OA=5+3=8$. 设$OM=n$,则$MB'=MB=4+n$. 在$\mathrm{Rt}△ MOB'$中,$OM^2+OB'^2=MB'^2$,所以$n^2+8^2=(4+n)^2$,解得$n=6$,所以$OM=6$,所以点$M$的坐标为$(0,-6)$.
综上所述,点$M$的坐标为$(0,\frac{3}{2})$或$(0,-6)$.

11. 对于平面直角坐标系中任一点$(a,b)$，规定以下三种“变换”：
①$A(a,b)=(-a,b)$；②$B(a,b)=(b,a)$；
③$C(a,b)=(-a,-b)$。例如：$A[B(2,-3)]=A(-3,2)=(3,2)$。
请回答下列问题。
(1) $A[C(5,-3)]=$(填坐标)。
(2) 通过以上变换得到的坐标叫作“对称”坐标，规定坐标可以进行如下运算：
$(a,c)+(b,d)=(a+b,c+d),(a,c)-(b,d)=(a-b,c-d)$。
①计算：$C[A(-3,-2)]+B[C(-1,-2)]$(结果用坐标表示)。
②已知当$(a,c)=(b,d)$时，$a=b$且$c=d$。若“对称”坐标$P(x,y)$在第四象限，且满足$A[B(2x,-kx)]-C[A(1+y,-2)]=C[B(ky-1,-1)]+A[C(y,x)]$，求满足条件的正整数$k$的值。

11. (1) $(5,3)$
(2) 解:①$C[A(-3,-2)]+B[C(-1,-2)]=C(3,-2)+B(1,2)=(-3,2)+(2,1)=(-1,3)$.
② 原式左边 = $A(-kx,2x)-C(-1-y,-2)=(kx,2x)-(1+y,2)=(kx-1-y,2x-2)$,右边=$C(-1,ky-1)+A(-y,-x)=(1,-ky+1)+(y,-x)=(1+y,1-ky-x)$,则$(kx-1-y,2x-2)=(1+y,1-ky-x)$,所以$kx-1-y=1+y$且$2x-2=1-ky-x$,解得$\begin{cases}x=\dfrac{6+2k}{k^2+6},\\y=\dfrac{3k-6}{k^2+6}.\end{cases}$ 因为点$P(x,y)$在第四象限,所以$x＞0$,$y＜0$,即$\begin{cases}\dfrac{6+2k}{k^2+6}＞0,\\\dfrac{3k-6}{k^2+6}＜0,\end{cases}$ 解得$-3＜k＜2$,所以正整数$k$的值为1.