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20.(真题·舟山定海)某班为选拔一名选手参加校 AI 知识竞赛，从自愿报名、综合表现等角度确定了甲、乙两名考察对象，在学校组织的辅导过程中，共安排了6次测试，满分10分，每次测试具体得分如图。
(1)将表格补充完整。
(2)请结合历次测试成绩，你将推荐谁参加校 AI 知识竞赛，并说明理由。
(1)将表格补充完整。
(2)请结合历次测试成绩，你将推荐谁参加校 AI 知识竞赛，并说明理由。
答案
(1)①6.5 ②6 ③$\frac{5}{3}$ 解析:把乙的6次成绩从小到大排列为:5,6,6,7,8,10,故中位数为$\frac{6+7}{2}=6.5$(分),出现次数最多的是6,故众数为6,甲的方差为:$\frac{1}{6}×[(5-7)^2+(6-7)^2+2×(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2]=\frac{5}{3}$,故答案为:①6.5,②6,③$\frac{5}{3}$。
(2)推荐甲参加校AI知识竞赛,理由如下:因为两人的平均数相同,$\frac{5}{3}＜\frac{8}{3}$,所以甲的方差比乙小,成绩更稳定,所以推荐甲参加校AI知识竞赛。(合理即可)
(2)推荐甲参加校AI知识竞赛,理由如下:因为两人的平均数相同,$\frac{5}{3}＜\frac{8}{3}$,所以甲的方差比乙小,成绩更稳定,所以推荐甲参加校AI知识竞赛。(合理即可)
解析
【分析】
首先解决第(1)问，需明确各统计量的计算方法：①中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据时取中间两个数的平均数；②众数是一组数据中出现次数最多的数；③方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_n-\bar{x})^2]$，代入对应数据计算即可。第(2)问需结合平均数和方差判断，平均数相同的情况下，方差越小成绩越稳定，据此推荐选手。
【解析】
(1) 整理成绩：乙的6次成绩从小到大排列为5,6,6,7,8,10，共6个数据，中位数为中间两数的平均数，即$\frac{6+7}{2}=6.5$；乙的成绩中6出现次数最多，故众数为6；甲的成绩为5,6,7,7,8,9，平均数$\bar{x}_甲=\frac{5+6+7+7+8+9}{6}=7$，方差$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(5-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2]=\frac{1}{6}×(4+1+0+0+1+4)=\frac{5}{3}$。
(2) 计算乙的平均数：$\bar{x}_乙=\frac{5+6+6+7+8+10}{6}=7$，两人平均数相同；计算乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(5-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(10-7)^2]=\frac{1}{6}×(4+1+1+0+1+9)=\frac{8}{3}$，因为$\frac{5}{3}＜\frac{8}{3}$，甲的方差更小，成绩更稳定，故推荐甲。
【答案】
(1) ①6.5；②6；③$\frac{5}{3}$；(2) 推荐甲参加校AI知识竞赛，理由：两人平均数相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
中位数、众数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，核心是掌握中位数、众数、方差的计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义，需准确计算统计量并结合结果合理分析。
【难度系数】
0.5
首先解决第(1)问，需明确各统计量的计算方法：①中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据时取中间两个数的平均数；②众数是一组数据中出现次数最多的数；③方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+…+(x_n-\bar{x})^2]$，代入对应数据计算即可。第(2)问需结合平均数和方差判断，平均数相同的情况下，方差越小成绩越稳定，据此推荐选手。
【解析】
(1) 整理成绩：乙的6次成绩从小到大排列为5,6,6,7,8,10，共6个数据，中位数为中间两数的平均数，即$\frac{6+7}{2}=6.5$；乙的成绩中6出现次数最多，故众数为6；甲的成绩为5,6,7,7,8,9，平均数$\bar{x}_甲=\frac{5+6+7+7+8+9}{6}=7$，方差$s^2_甲=\frac{1}{6}×[(5-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2]=\frac{1}{6}×(4+1+0+0+1+4)=\frac{5}{3}$。
(2) 计算乙的平均数：$\bar{x}_乙=\frac{5+6+6+7+8+10}{6}=7$，两人平均数相同；计算乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{6}×[(5-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(10-7)^2]=\frac{1}{6}×(4+1+1+0+1+9)=\frac{8}{3}$，因为$\frac{5}{3}＜\frac{8}{3}$，甲的方差更小，成绩更稳定，故推荐甲。
【答案】
(1) ①6.5；②6；③$\frac{5}{3}$；(2) 推荐甲参加校AI知识竞赛，理由：两人平均数相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
中位数、众数、方差
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，核心是掌握中位数、众数、方差的计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义，需准确计算统计量并结合结果合理分析。
【难度系数】
0.5
21.10个苹果直径大小如图所示：
若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，怎样分组比较合理？
若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，怎样分组比较合理？
答案
将10个数据由小到大排序:65,69,70,75,76,76,78,80,80,81。把10个数据分成两组,共有9种情况:第一组1个数据{65},第二组9个数据{69,…,81};第一组2个数据{65,69},第二组8个数据{70,…,81};……;第一组9个数据{65,…,80},第二组1个数据{81}。以第2种分组情况为例,计算组内离差平方和。其中,第一组有2个数据{65,69},这2个数据的平均数是67,故第一组数据的组内离差平方和$D_1{}^2=(65-67)^2+(69-67)^2=8$;第二组有8个数据{70,75,76,76,78,80,80,81},这8个数据的平均数是77,故第二组数据的组内离差平方和$D_2{}^2=(70-77)^2+(75-77)^2+…+(81-77)^2=90$,因此第2种分组情况的组内离差平方和:$D_1{}^2+D_2{}^2=8+90=98$。
同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和,结果如下:
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个,第二组9个|146.889|
|第一组2个,第二组8个|98|
|第一组3个,第二组7个|48|
|第一组4个,第二组6个|74.25|
|第一组5个,第二组5个|98|
|第一组6个,第二组4个|107.583|
|第一组7个,第二组3个|136.095|
|第一组8个,第二组2个|182.375|
|第一组9个,第二组1个|218|
计算结果表明,第3种情况的组内离差平方和最小。因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65,69,70},{75,76,76,78,80,80,81},每组苹果的“个头”差不多。
同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和,结果如下:
|分组情况|组内离差平方和|
| ---- | ---- |
|第一组1个,第二组9个|146.889|
|第一组2个,第二组8个|98|
|第一组3个,第二组7个|48|
|第一组4个,第二组6个|74.25|
|第一组5个,第二组5个|98|
|第一组6个,第二组4个|107.583|
|第一组7个,第二组3个|136.095|
|第一组8个,第二组2个|182.375|
|第一组9个,第二组1个|218|
计算结果表明,第3种情况的组内离差平方和最小。因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65,69,70},{75,76,76,78,80,80,81},每组苹果的“个头”差不多。
解析
【分析】要将10个苹果分成两组使每组“个头”差不多，需保证每组内苹果直径的离散程度小，即组内数据的离差平方和最小。首先整理10个苹果的直径数据并排序，再计算不同分组（按数量1-9个分组）的组内离差平方和，选择离差平方和最小的分组即为合理分组。
【解析】步骤1：整理数据，将10个苹果的直径由小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81。
步骤2：明确分组原则：组内离差平方和越小，组内数据越集中，苹果个头越接近。计算所有可能的分组（第一组数量为1到9个，对应第二组为9到1个）的组内离差平方和：
第一组1个，第二组9个：离差平方和约146.889；
第一组2个，第二组8个：离差平方和98；
第一组3个，第二组7个：离差平方和48；
第一组4个，第二组6个：离差平方和约74.25；
第一组5个，第二组5个：离差平方和98；
其余分组的离差平方和均大于48。
步骤3：比较得第一组3个、第二组7个时，组内离差平方和最小，对应分组为{65,69,70}和{75,76,76,78,80,80,81}。
【答案】将10个苹果按直径大小分成两组：{65,69,70}和{75,76,76,78,80,80,81}。
【知识点】数据分组、离差平方和、数据排序
【点评】本题通过计算组内离差平方和确定合理分组，考查对数据离散程度的理解及离差平方和的计算应用，需掌握分组合理性的判断方法，计算过程需细致。
【难度系数】0.5
【解析】步骤1：整理数据，将10个苹果的直径由小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81。
步骤2：明确分组原则：组内离差平方和越小，组内数据越集中，苹果个头越接近。计算所有可能的分组（第一组数量为1到9个，对应第二组为9到1个）的组内离差平方和：
第一组1个，第二组9个：离差平方和约146.889；
第一组2个，第二组8个：离差平方和98；
第一组3个，第二组7个：离差平方和48；
第一组4个，第二组6个：离差平方和约74.25；
第一组5个，第二组5个：离差平方和98；
其余分组的离差平方和均大于48。
步骤3：比较得第一组3个、第二组7个时，组内离差平方和最小，对应分组为{65,69,70}和{75,76,76,78,80,80,81}。
【答案】将10个苹果按直径大小分成两组：{65,69,70}和{75,76,76,78,80,80,81}。
【知识点】数据分组、离差平方和、数据排序
【点评】本题通过计算组内离差平方和确定合理分组，考查对数据离散程度的理解及离差平方和的计算应用，需掌握分组合理性的判断方法，计算过程需细致。
【难度系数】0.5
