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1. 如右图,已知长方体的长是12.56cm,高是hcm。长方体表面积比圆柱增加了(
A.$12.56h$
B.$8h$
C.$4h$
D.$2h$
B
)$\mathrm{cm}^2$。A.$12.56h$
B.$8h$
C.$4h$
D.$2h$
答案
1.B 解析:长方体的长是圆周长的一半即πr=12.56cm,r=4cm,表面积增加左右两个长方形,面积为4×h×2=8h(cm²)。
解析
【分析】要解决这个问题，需明确圆柱切拼成近似长方体的变化规律：长方体的长等于圆柱底面周长的一半，据此先算出圆柱底面半径；再理解表面积增加的部分是2个以圆柱半径和高为边长的长方形，据此计算增加的面积。
【解析】1. 由题意，长方体的长是圆柱底面周长的一半，即$π r=12.56\mathrm{cm}$，代入$π=3.14$，可得圆柱底面半径$r=12.56÷3.14=4\mathrm{cm}$；2. 圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加了2个长方形的面积，每个长方形的长为圆柱半径$r$，宽为圆柱的高$h$，因此增加的总面积为$2× r× h=2×4× h=8h\ \mathrm{cm}^2$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆柱切拼、圆的周长、长方体表面积
【点评】本题考查圆柱切拼成长方体时的表面积变化，核心是掌握切拼后增加的面的特征，需结合圆周长公式先求半径，再计算增加的面积，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】1. 由题意，长方体的长是圆柱底面周长的一半，即$π r=12.56\mathrm{cm}$，代入$π=3.14$，可得圆柱底面半径$r=12.56÷3.14=4\mathrm{cm}$；2. 圆柱切拼成近似长方体后，表面积增加了2个长方形的面积，每个长方形的长为圆柱半径$r$，宽为圆柱的高$h$，因此增加的总面积为$2× r× h=2×4× h=8h\ \mathrm{cm}^2$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】圆柱切拼、圆的周长、长方体表面积
【点评】本题考查圆柱切拼成长方体时的表面积变化，核心是掌握切拼后增加的面的特征，需结合圆周长公式先求半径，再计算增加的面积，难度适中。
【难度系数】0.5
2.如图,小明试图用这个方法推导圆面积公式,请帮助他记录推导过程。
答案
转化后三角形的底是圆周长2πr,面积是2πr×r÷2=πr²。
解析
【分析】
要推导圆的面积公式，我们可以将圆沿半径剪开，分成若干个近似的扇形，再把这些扇形拼接成一个近似的三角形。这个近似三角形的高等于圆的半径r，三角形的底近似等于圆的周长2πr，接下来利用三角形的面积公式即可推导出圆的面积公式。
【解析】
将圆剪开拼接成近似三角形后，三角形的高为圆的半径r，三角形的底等于圆的周长，即2πr。根据三角形面积公式：面积=底×高÷2，代入对应数值计算：面积=2πr×r÷2=πr²，由此得到圆的面积为πr²。
【答案】
πr²
【知识点】
圆面积推导、图形转化、三角形面积公式
【点评】
本题运用转化思想，把曲线图形圆转化为直线图形三角形，借助已学的三角形面积公式推导圆的面积公式，清晰展现了圆面积公式的推导过程，帮助理解公式的本质。
【难度系数】
0.5
要推导圆的面积公式，我们可以将圆沿半径剪开，分成若干个近似的扇形，再把这些扇形拼接成一个近似的三角形。这个近似三角形的高等于圆的半径r，三角形的底近似等于圆的周长2πr，接下来利用三角形的面积公式即可推导出圆的面积公式。
【解析】
将圆剪开拼接成近似三角形后，三角形的高为圆的半径r，三角形的底等于圆的周长，即2πr。根据三角形面积公式：面积=底×高÷2，代入对应数值计算：面积=2πr×r÷2=πr²，由此得到圆的面积为πr²。
【答案】
πr²
【知识点】
圆面积推导、图形转化、三角形面积公式
【点评】
本题运用转化思想，把曲线图形圆转化为直线图形三角形，借助已学的三角形面积公式推导圆的面积公式，清晰展现了圆面积公式的推导过程，帮助理解公式的本质。
【难度系数】
0.5
3. 按下面新方法计算分数除法$\frac{3}{7}÷\frac{2}{5}$，写清过程。
我们学过的各种除法，看似不同其实道理都是一样的，都是关于计数单位以及个数的运算。
例如： $0.24÷0.4$
$=(24×0.01)÷(4×0.1)=24×0.01÷4÷0.1$
$=(24÷4)×(0.01÷0.1)=6×0.1=0.6$
我们学过的各种除法，看似不同其实道理都是一样的，都是关于计数单位以及个数的运算。
例如： $0.24÷0.4$
$=(24×0.01)÷(4×0.1)=24×0.01÷4÷0.1$
$=(24÷4)×(0.01÷0.1)=6×0.1=0.6$
答案
3. $\frac{3}{7}÷\frac{2}{5}=(3×\frac{1}{7})÷(2×\frac{1}{5})=3×\frac{1}{7}÷2÷\frac{1}{5}=(3÷2)×(\frac{1}{7}÷\frac{1}{5})=\frac{3}{2}×\frac{5}{7}=\frac{15}{14}$
解析
【分析】
解题思路：根据题目给出的小数除法计算方法，将分数拆分为分数单位与个数的乘积，再利用除法的运算性质，把除法转化为计数单位的除法和个数的除法的乘积，分别计算后再相乘得到结果。具体到本题，把$\frac{3}{7}$看作3个$\frac{1}{7}$，$\frac{2}{5}$看作2个$\frac{1}{5}$，再仿照示例步骤计算。
【解析】
$\frac{3}{7}÷\frac{2}{5}$
$=(3×\frac{1}{7})÷(2×\frac{1}{5})$
$=3×\frac{1}{7}÷2÷\frac{1}{5}$
$=(3÷2)×(\frac{1}{7}÷\frac{1}{5})$
$=\frac{3}{2}×\frac{5}{7}$
$=\frac{15}{14}$
【答案】
$\frac{15}{14}$
【知识点】
分数除法运算性质，分数单位，分数除法计算
【点评】
本题通过类比小数除法的计数单位运算思路，引导学生理解分数除法的本质，掌握转化的解题方法，注重知识迁移应用，是分数除法计算方法的拓展练习。
【难度系数】
0.6
解题思路：根据题目给出的小数除法计算方法，将分数拆分为分数单位与个数的乘积，再利用除法的运算性质，把除法转化为计数单位的除法和个数的除法的乘积，分别计算后再相乘得到结果。具体到本题，把$\frac{3}{7}$看作3个$\frac{1}{7}$，$\frac{2}{5}$看作2个$\frac{1}{5}$，再仿照示例步骤计算。
【解析】
$\frac{3}{7}÷\frac{2}{5}$
$=(3×\frac{1}{7})÷(2×\frac{1}{5})$
$=3×\frac{1}{7}÷2÷\frac{1}{5}$
$=(3÷2)×(\frac{1}{7}÷\frac{1}{5})$
$=\frac{3}{2}×\frac{5}{7}$
$=\frac{15}{14}$
【答案】
$\frac{15}{14}$
【知识点】
分数除法运算性质，分数单位，分数除法计算
【点评】
本题通过类比小数除法的计数单位运算思路，引导学生理解分数除法的本质，掌握转化的解题方法，注重知识迁移应用，是分数除法计算方法的拓展练习。
【难度系数】
0.6
4.古希腊著名数学家阿基米德在自己众多的科学发现中，对“圆柱容球”定理最满意。“圆柱容球”就是把一个球放在圆柱形容器中，当球的直径与圆柱的高和底面直径相等时，球的体积正好是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，球的表面积也正好是圆柱表面积的$\frac{2}{3}$。下图中球的表面积和体积分别是多少立方厘米？（结果可用含有$π$的式子表示）
答案
半径6÷2=3(cm),球的表面积为$\frac{2}{3}×(π×3²×2+π×6×6)=36π(cm²)$,球的体积为$\frac{2}{3}×(π×3²×6)=36π(cm³)$
解析
【分析】首先根据“圆柱容球”的特点，球的直径等于圆柱的高，由图中圆柱的高为6cm，可求出球的半径为3cm；再利用题目给出的“球的表面积是圆柱表面积的$\frac{2}{3}$，球的体积是圆柱体积的$\frac{2}{3}$”这一关系，先计算圆柱的表面积和体积，再分别乘以$\frac{2}{3}$即可得到球的表面积和体积。
【解析】步骤1：求球的半径。由图可知圆柱的高为6cm，因为球的直径等于圆柱的高，所以球的直径为6cm，半径$r=6÷2=3(cm)$。
步骤2：计算圆柱的表面积。圆柱表面积=2个底面积+侧面积，底面积为$πr²$，侧面积为$π×直径×高$，因此圆柱表面积为：
$2×π×3² + π×6×6 = 18π + 36π = 54π(cm²)$
步骤3：计算球的表面积。根据“球的表面积是圆柱表面积的$\frac{2}{3}$”，可得球的表面积为：
$54π×\frac{2}{3}=36π(cm²)$
步骤4：计算圆柱的体积。圆柱体积=底面积×高，即：
$π×3²×6=54π(cm³)$
步骤5：计算球的体积。根据“球的体积是圆柱体积的$\frac{2}{3}$”，可得球的体积为：
$54π×\frac{2}{3}=36π(cm³)$
【答案】球的表面积是$36π cm²$，体积是$36π cm³$
【知识点】圆柱表面积计算、圆柱体积计算、球的表面积与体积计算
【点评】本题结合“圆柱容球”定理，考查圆柱和球的公式应用，解题关键是先确定球的半径，再利用题目给出的比例关系计算，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】步骤1：求球的半径。由图可知圆柱的高为6cm，因为球的直径等于圆柱的高，所以球的直径为6cm，半径$r=6÷2=3(cm)$。
步骤2：计算圆柱的表面积。圆柱表面积=2个底面积+侧面积，底面积为$πr²$，侧面积为$π×直径×高$，因此圆柱表面积为：
$2×π×3² + π×6×6 = 18π + 36π = 54π(cm²)$
步骤3：计算球的表面积。根据“球的表面积是圆柱表面积的$\frac{2}{3}$”，可得球的表面积为：
$54π×\frac{2}{3}=36π(cm²)$
步骤4：计算圆柱的体积。圆柱体积=底面积×高，即：
$π×3²×6=54π(cm³)$
步骤5：计算球的体积。根据“球的体积是圆柱体积的$\frac{2}{3}$”，可得球的体积为：
$54π×\frac{2}{3}=36π(cm³)$
【答案】球的表面积是$36π cm²$，体积是$36π cm³$
【知识点】圆柱表面积计算、圆柱体积计算、球的表面积与体积计算
【点评】本题结合“圆柱容球”定理，考查圆柱和球的公式应用，解题关键是先确定球的半径，再利用题目给出的比例关系计算，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】0.5
