5.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一。
直角三角形中、两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方。设两条直角边为$a$和$b$，斜边为$c$，则有$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。我国古代称直角边中较短者为“勾”，较长者为“股”，斜边为“弦”，故定理得名“勾股定理”。三千多年前，周朝数学家商高就发现“勾三、股四、弦五”的特例。
(1)下列3条线段能否构成直角三角形？能，在括号内打“√”；否，打“×”。
①5cm、6cm、7cm ………………………………………（）
②8cm、15cm、17cm ………………………………………（）
(2)公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯通过几何拼图证明了勾股定理(西方称其为毕达哥拉斯定理)。我们也一起来试试！
动手操作:用8个完全相同的直角三角形(直角边为$a,b$，斜边为$c$)和3个正方形(边长分别为$a,b,c$)，拼成如图所示的两个大正方形。
观察分析:图1的面积$=4$个直角三角形的面积$+$边长为$c$的正方形面积$=4×\frac{1}{2}ab+(\quad\quad)$；
图2的面积$=4$个直角三角形的面积$+$边长为$a$的正方形面积$+$边长为$b$的正方形面积$=(\quad\quad)+(\quad\quad)+(\quad\quad)$
因为图1、图2都是边长为$(a+b)$的正方形，面积相等。
整理可得$4×\frac{1}{2}ab+(\quad\quad)=(\quad\quad)+(\quad\quad)+(\quad\quad)$，即$(\quad\quad)$。
(3)如图3，圆柱的高是5cm，底面半径是4cm，在圆柱底面点$A$处有一只蚂蚁，它想吃到与点$A$相对的点$B$处的食物，需要爬行的路程是多少？
画一画:将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示，请在图中标出点$B$的位置并连接$AB$。
算一算:蚂蚁爬行的最短路径是多少厘米？($π$取3)

5.(1)①× ②√
(2)$c×c$ $4×\frac{1}{2}ab$ $a×a$ $b×b$ $c×c$ $4×\frac{1}{2}ab$ $a×a$ $b×b$ $a²+b²=c²$
(3)画一画:如图
算一算:AB是斜边,一条直角边是圆柱的高,为5cm,另一条是底面周长的一半,为3×4=12(cm),根据勾股定理得$AB²=5²+12²=169=13²$,则AB=13cm。

【分析】
本题围绕勾股定理展开，分三部分解题：(1)利用勾股定理的逆定理，计算两条较短边的平方和与最长边的平方是否相等，判断能否构成直角三角形；(2)通过两个边长为$(a+b)$的大正方形面积相等，分别用直角三角形和正方形的面积和表示，化简后推导勾股定理；(3)将圆柱侧面展开为长方形，把蚂蚁爬行的最短路径转化为平面直角三角形的斜边，利用勾股定理计算，其中底面周长的一半为展开后的一条直角边，圆柱高为另一条直角边。
【解析】
(1) ①计算：$5^2+6^2=25+36=61$，$7^2=49$，因为$61≠49$，所以不能构成直角三角形，打×；
②计算：$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，因为$289=289$，所以能构成直角三角形，打√；
(2) 图1面积：$4$个直角三角形面积$+$边长为$c$的正方形面积$=4×\frac{1}{2}ab + c^2$；
图2面积：$4$个直角三角形面积$+$边长为$a$的正方形面积$+$边长为$b$的正方形面积$=4×\frac{1}{2}ab + a^2 + b^2$；
因为两个大正方形边长均为$(a+b)$，面积相等，所以：
$4×\frac{1}{2}ab + c^2 = 4×\frac{1}{2}ab + a^2 + b^2$，化简得$a^2+b^2=c^2$；
(3) 画一画：将圆柱侧面展开为长方形，点B在展开图对应位置，连接AB（如图）；
算一算：圆柱底面半径为4cm，底面周长的一半为$πr=3×4=12cm$，圆柱高为5cm，蚂蚁爬行的最短路径为直角三角形斜边，根据勾股定理：$AB^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2$，所以$AB=13cm$。
【答案】
5.(1)①× ②√
(2)$c^2$；$4×\frac{1}{2}ab$；$a^2$；$b^2$；$c^2$；$4×\frac{1}{2}ab$；$a^2$；$b^2$；$a^2+b^2=c^2$
(3)画一画：；算一算：13cm
【知识点】
勾股定理、勾股定理逆定理、圆柱侧面展开图
【点评】
本题从基础判断、定理证明到实际应用，全面考察勾股定理的理解与运用，渗透数形结合思想，将立体问题转化为平面问题，难度适中，适合巩固勾股定理相关知识。
【难度系数】
0.5