登录
10.(真题·衢州柯城)“点动成线、线动成面、面动成体”。一个直角梯形上底和下底的比为$1:2$，如图所示，以它的上底为轴旋转一周得到甲图形，以它的下底为轴旋转一周得到乙图形，那么甲、乙两个图形的体积比是( )。
答案
10. $5:4$ 解 析:$V_甲:V_乙=1^2π×(2-1×\frac{1}{3}):1^2π×(1+1×\frac{1}{3})=5:4$。
解析
【分析】
要解决这个问题，先设直角梯形的上底为$a$，下底为$2a$（因上下底比为$1:2$），高为$h$。关键是明确：以梯形的底为轴旋转一周时，形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，分别确定甲、乙对应的几何体构成，再利用圆柱和圆锥的体积公式计算体积，最后求体积比。
【解析】
设直角梯形的上底为$a$，下底为$2a$，高为$h$。
1. 计算甲的体积（以上底为轴旋转）：
旋转后得到的几何体是底面半径为$h$、高为$2a$的圆柱，减去底面半径为$h$、高为$(2a - a)=a$的圆锥。
圆柱体积：$V_{圆柱}=πh^2·2a$，圆锥体积：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}πh^2·a$，
因此$V_甲=2πh^2a - \frac{1}{3}πh^2a=\frac{5}{3}πh^2a$。
2. 计算乙的体积（以下底为轴旋转）：
旋转后得到的几何体是底面半径为$h$、高为$a$的圆柱，加上底面半径为$h$、高为$(2a - a)=a$的圆锥。
圆柱体积：$V_{圆柱}'=πh^2·a$，圆锥体积：$V_{圆锥}'=\frac{1}{3}πh^2·a$，
因此$V_乙=πh^2a + \frac{1}{3}πh^2a=\frac{4}{3}πh^2a$。
3. 求体积比：
$V_甲:V_乙=\frac{5}{3}πh^2a:\frac{4}{3}πh^2a=5:4$。
【答案】
$5:4$
【知识点】
旋转体体积，圆柱体积，圆锥体积
【点评】
本题结合“面动成体”考查旋转体体积计算，核心是确定旋转后几何体的组成（圆柱与圆锥的组合），需区分不同旋转轴对应的几何体结构，利用对应体积公式求解，属于中等难度的几何计算问题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，先设直角梯形的上底为$a$，下底为$2a$（因上下底比为$1:2$），高为$h$。关键是明确：以梯形的底为轴旋转一周时，形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，分别确定甲、乙对应的几何体构成，再利用圆柱和圆锥的体积公式计算体积，最后求体积比。
【解析】
设直角梯形的上底为$a$，下底为$2a$，高为$h$。
1. 计算甲的体积（以上底为轴旋转）：
旋转后得到的几何体是底面半径为$h$、高为$2a$的圆柱，减去底面半径为$h$、高为$(2a - a)=a$的圆锥。
圆柱体积：$V_{圆柱}=πh^2·2a$，圆锥体积：$V_{圆锥}=\frac{1}{3}πh^2·a$，
因此$V_甲=2πh^2a - \frac{1}{3}πh^2a=\frac{5}{3}πh^2a$。
2. 计算乙的体积（以下底为轴旋转）：
旋转后得到的几何体是底面半径为$h$、高为$a$的圆柱，加上底面半径为$h$、高为$(2a - a)=a$的圆锥。
圆柱体积：$V_{圆柱}'=πh^2·a$，圆锥体积：$V_{圆锥}'=\frac{1}{3}πh^2·a$，
因此$V_乙=πh^2a + \frac{1}{3}πh^2a=\frac{4}{3}πh^2a$。
3. 求体积比：
$V_甲:V_乙=\frac{5}{3}πh^2a:\frac{4}{3}πh^2a=5:4$。
【答案】
$5:4$
【知识点】
旋转体体积，圆柱体积，圆锥体积
【点评】
本题结合“面动成体”考查旋转体体积计算，核心是确定旋转后几何体的组成（圆柱与圆锥的组合），需区分不同旋转轴对应的几何体结构，利用对应体积公式求解，属于中等难度的几何计算问题。
【难度系数】
0.5
11.（真题·台州三门）三门县中小学生文化艺术节于2024年5月21日在县实验学校圆满闭幕。会务组要制作一部纪录片，甲、乙两个团队报送完成纪录片制作需要的天数如右图所示。
(1)甲、乙工作效率的最简整数比是(
(2)如果甲、乙合作，需要(
(1)甲、乙工作效率的最简整数比是(
3:2
)。(2)如果甲、乙合作，需要(
$\frac{12}{5}$
)天完成。答案
11. (1)$3:2$ 解析:$\frac{1}{4}:\frac{1}{6}=3:2$。
(2)$\frac{12}{5}$ 解析:$1÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{6})=\frac{12}{5}$(天)。
(2)$\frac{12}{5}$ 解析:$1÷(\frac{1}{4}+\frac{1}{6})=\frac{12}{5}$(天)。
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先明确：工作效率=总工作量÷工作时间，这里把制作纪录片的总工作量看作单位“1”。第(1)题需先算出甲、乙的工作效率，再将效率比化简为最简整数比；第(2)题用总工作量除以甲、乙的效率和，即可得到合作完成的时间。
【解析】
(1) 把总工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$1÷4=\frac{1}{4}$，乙的工作效率为$1÷6=\frac{1}{6}$。
则甲、乙工作效率的比为：$\frac{1}{4}:\frac{1}{6}=(\frac{1}{4}×12):(\frac{1}{6}×12)=3:2$。
(2) 甲、乙合作的效率和为$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$，合作完成需要的时间为$1÷\frac{5}{12}=\frac{12}{5}$（天）。
【答案】
(1)$3:2$；(2)$\frac{12}{5}$
【知识点】
工程问题、比的化简
【点评】
本题是工程问题的基础应用，核心是将总工作量看作单位“1”，考查工作效率计算、比的化简以及合作时间的求解，属于小学阶段的基础题型，需理清各量间的关系即可解答。
【难度系数】
0.6
要解决这两个问题，首先明确：工作效率=总工作量÷工作时间，这里把制作纪录片的总工作量看作单位“1”。第(1)题需先算出甲、乙的工作效率，再将效率比化简为最简整数比；第(2)题用总工作量除以甲、乙的效率和，即可得到合作完成的时间。
【解析】
(1) 把总工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$1÷4=\frac{1}{4}$，乙的工作效率为$1÷6=\frac{1}{6}$。
则甲、乙工作效率的比为：$\frac{1}{4}:\frac{1}{6}=(\frac{1}{4}×12):(\frac{1}{6}×12)=3:2$。
(2) 甲、乙合作的效率和为$\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$，合作完成需要的时间为$1÷\frac{5}{12}=\frac{12}{5}$（天）。
【答案】
(1)$3:2$；(2)$\frac{12}{5}$
【知识点】
工程问题、比的化简
【点评】
本题是工程问题的基础应用，核心是将总工作量看作单位“1”，考查工作效率计算、比的化简以及合作时间的求解，属于小学阶段的基础题型，需理清各量间的关系即可解答。
【难度系数】
0.6
12.如图是一根水管不停地向水箱内注水时,水箱内水的体积变化情况。
(1)这根水管的注水时间和水箱内水的体积成(
(2)注水10分钟,水箱内水的体积是(
(1)这根水管的注水时间和水箱内水的体积成(
正
)比例关系。(2)注水10分钟,水箱内水的体积是(
20
)升;水箱里要达到100升,需注水(50
)分钟。答案
12. (1)正 (2)20 50
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察图像中注水时间和水的体积的变化关系：两种量的比值是否固定，以此判断比例关系；再从图像中提取对应数据计算注水速度，进而解决体积和时间的计算问题。
【解析】
(1) 判断比例关系：从图像可知，注水时间和水箱内水的体积是两种相关联的量，且体积÷时间=定值（如5分钟对应10升，10÷5=2；15分钟对应30升，30÷15=2，比值始终为2），根据正比例的定义，两种量比值一定时成正比例，因此成正比例关系。
(2) 计算体积和时间：
① 先求注水速度：由图得，5分钟注水10升，速度=10÷5=2升/分钟；
② 注水10分钟的体积：2×10=20升；
③ 体积为100升时的时间：100÷2=50分钟。
【答案】
12. (1)正 (2)20 50
【知识点】
正比例、比例的应用
【点评】
本题结合折线图像考查正比例关系的判断及应用，关键是从图像中找到两组对应量求出定值（速度），再利用正比例关系计算，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3
要解决这道题，首先观察图像中注水时间和水的体积的变化关系：两种量的比值是否固定，以此判断比例关系；再从图像中提取对应数据计算注水速度，进而解决体积和时间的计算问题。
【解析】
(1) 判断比例关系：从图像可知，注水时间和水箱内水的体积是两种相关联的量，且体积÷时间=定值（如5分钟对应10升，10÷5=2；15分钟对应30升，30÷15=2，比值始终为2），根据正比例的定义，两种量比值一定时成正比例，因此成正比例关系。
(2) 计算体积和时间：
① 先求注水速度：由图得，5分钟注水10升，速度=10÷5=2升/分钟；
② 注水10分钟的体积：2×10=20升；
③ 体积为100升时的时间：100÷2=50分钟。
【答案】
12. (1)正 (2)20 50
【知识点】
正比例、比例的应用
【点评】
本题结合折线图像考查正比例关系的判断及应用，关键是从图像中找到两组对应量求出定值（速度），再利用正比例关系计算，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.3
13.(真题·湖州安吉)下列选项中,两个量成反比例关系的是(
A.正方形的周长和边长
B.修一条路,已经修的和未修的路程
C.总价一定,单价和数量
D.圆的面积一定,圆周率和圆的半径
C
)。A.正方形的周长和边长
B.修一条路,已经修的和未修的路程
C.总价一定,单价和数量
D.圆的面积一定,圆周率和圆的半径
答案
13. C
解析
【分析】首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系；正比例关系是比值一定，和一定的量不成比例。接下来逐个分析选项：A选项中，正方形周长÷边长=4（定值），是比值一定，成正比例；B选项中，已修路程+未修路程=总路程（定值），是和一定，不成比例；C选项中，单价×数量=总价（定值），乘积一定，成反比例；D选项中，圆的面积=πr²，π是固定常量，不是变量，不存在两个变量的乘积一定，不成反比例。
【解析】根据正反比例的定义逐一判断：
1. 选项A：正方形周长=4×边长，周长与边长的比值为4（一定），因此成正比例关系，不符合题意；
2. 选项B：已修路程+未修路程=总路程（一定），是和一定，既不是比值一定也不是乘积一定，因此不成比例，不符合题意；
3. 选项C：单价×数量=总价（一定），单价和数量的乘积一定，因此成反比例关系，符合题意；
4. 选项D：圆的面积=πr²，其中π是固定值，不是变量，因此圆周率和圆的半径不成反比例关系，不符合题意。
【答案】C
【知识点】反比例关系、正比例关系、比例的判断
【点评】本题考查正反比例关系的判断，核心是掌握“乘积一定成反比例，比值一定成正比例，和一定不成比例”的判断方法，需注意常量（如圆周率）的干扰，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】根据正反比例的定义逐一判断：
1. 选项A：正方形周长=4×边长，周长与边长的比值为4（一定），因此成正比例关系，不符合题意；
2. 选项B：已修路程+未修路程=总路程（一定），是和一定，既不是比值一定也不是乘积一定，因此不成比例，不符合题意；
3. 选项C：单价×数量=总价（一定），单价和数量的乘积一定，因此成反比例关系，符合题意；
4. 选项D：圆的面积=πr²，其中π是固定值，不是变量，因此圆周率和圆的半径不成反比例关系，不符合题意。
【答案】C
【知识点】反比例关系、正比例关系、比例的判断
【点评】本题考查正反比例关系的判断，核心是掌握“乘积一定成反比例，比值一定成正比例，和一定不成比例”的判断方法，需注意常量（如圆周率）的干扰，属于基础题型。
【难度系数】0.6
14.(真题·金华东阳)下面两个比,能组成比例的是(
A.$15:31$ 和 $7:13$
B.$\frac{1}{3}:\frac{2}{5}$ 和 $\frac{1}{6}:\frac{4}{5}$
C.$3:8$ 和 $\frac{1}{3}:\frac{1}{8}$
D.$3.2:4.8$ 和 $48:72$
D
)。A.$15:31$ 和 $7:13$
B.$\frac{1}{3}:\frac{2}{5}$ 和 $\frac{1}{6}:\frac{4}{5}$
C.$3:8$ 和 $\frac{1}{3}:\frac{1}{8}$
D.$3.2:4.8$ 和 $48:72$
答案
14. D
解析
【分析】
要判断两个比能否组成比例，核心是看这两个比的比值是否相等（或利用比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积）。我们只需逐个计算选项中两组比的比值，若比值相等则能组成比例，反之则不能。
【解析】
判断两个比能否组成比例，需验证它们的比值是否相等：
选项A：$15:31$的比值为$\frac{15}{31}\approx0.484$，$7:13$的比值为$\frac{7}{13}\approx0.538$，比值不相等，不能组成比例；
选项B：$\frac{1}{3}:\frac{2}{5}$的比值为$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{5}}=\frac{5}{6}\approx0.833$，$\frac{1}{6}:\frac{4}{5}$的比值为$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{24}\approx0.208$，比值不相等，不能组成比例；
选项C：$3:8$的比值为$\frac{3}{8}=0.375$，$\frac{1}{3}:\frac{1}{8}$的比值为$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}}=\frac{8}{3}\approx2.667$，比值不相等，不能组成比例；
选项D：$3.2:4.8$的比值为$\frac{3.2}{4.8}=\frac{2}{3}$，$48:72$的比值为$\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$，比值相等，能组成比例。
【答案】
D
【知识点】
比例的意义、比例的基本性质
【点评】
本题考查比例的判断方法，属于基础题型，只需掌握计算比的比值或运用比例基本性质即可快速得出结果，适合学生巩固比例相关知识。
【难度系数】
0.8
要判断两个比能否组成比例，核心是看这两个比的比值是否相等（或利用比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积）。我们只需逐个计算选项中两组比的比值，若比值相等则能组成比例，反之则不能。
【解析】
判断两个比能否组成比例，需验证它们的比值是否相等：
选项A：$15:31$的比值为$\frac{15}{31}\approx0.484$，$7:13$的比值为$\frac{7}{13}\approx0.538$，比值不相等，不能组成比例；
选项B：$\frac{1}{3}:\frac{2}{5}$的比值为$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{5}}=\frac{5}{6}\approx0.833$，$\frac{1}{6}:\frac{4}{5}$的比值为$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{24}\approx0.208$，比值不相等，不能组成比例；
选项C：$3:8$的比值为$\frac{3}{8}=0.375$，$\frac{1}{3}:\frac{1}{8}$的比值为$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}}=\frac{8}{3}\approx2.667$，比值不相等，不能组成比例；
选项D：$3.2:4.8$的比值为$\frac{3.2}{4.8}=\frac{2}{3}$，$48:72$的比值为$\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$，比值相等，能组成比例。
【答案】
D
【知识点】
比例的意义、比例的基本性质
【点评】
本题考查比例的判断方法，属于基础题型，只需掌握计算比的比值或运用比例基本性质即可快速得出结果，适合学生巩固比例相关知识。
【难度系数】
0.8
15.(真题·金华浦江)下列关于正比例的说法,错误的是(
A.正比例的图象是一条直线
B.成正比例的两个量的商一定
C.圆的周长与半径成正比例
D.路程一定,时间和速度成正比例
D
)。A.正比例的图象是一条直线
B.成正比例的两个量的商一定
C.圆的周长与半径成正比例
D.路程一定,时间和速度成正比例
答案
15. D
解析
【分析】
本题考查正比例的相关概念，解题思路是先明确正比例的定义、性质，再逐一分析每个选项的正确性，找出错误的说法。正比例的核心是两种相关联的量的比值（商）一定，其图象为直线，据此判断各选项。
【解析】
首先明确正比例的定义：两种相关联的量，若它们相对应的两个数的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系，其图象是一条过原点的直线。
对各选项分析如下：
1. 选项A：正比例的图象是一条直线，符合正比例的图象特征，说法正确；
2. 选项B：根据正比例定义，成正比例的两个量的商（比值）一定，说法正确；
3. 选项C：圆的周长公式为$C=2π r$，则$\frac{C}{r}=2π$（定值），因此圆的周长与半径成正比例，说法正确；
4. 选项D：路程=时间×速度，当路程一定时，时间和速度的乘积一定，二者成反比例关系，而非正比例，说法错误。
综上，错误的说法是选项D。
【答案】
D
【知识点】
正比例的概念、正比例的判断
【点评】
本题考查正比例的基础概念及判断，需准确区分正比例与反比例的关系，熟悉常见的成正比例的量，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查正比例的相关概念，解题思路是先明确正比例的定义、性质，再逐一分析每个选项的正确性，找出错误的说法。正比例的核心是两种相关联的量的比值（商）一定，其图象为直线，据此判断各选项。
【解析】
首先明确正比例的定义：两种相关联的量，若它们相对应的两个数的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系，其图象是一条过原点的直线。
对各选项分析如下：
1. 选项A：正比例的图象是一条直线，符合正比例的图象特征，说法正确；
2. 选项B：根据正比例定义，成正比例的两个量的商（比值）一定，说法正确；
3. 选项C：圆的周长公式为$C=2π r$，则$\frac{C}{r}=2π$（定值），因此圆的周长与半径成正比例，说法正确；
4. 选项D：路程=时间×速度，当路程一定时，时间和速度的乘积一定，二者成反比例关系，而非正比例，说法错误。
综上，错误的说法是选项D。
【答案】
D
【知识点】
正比例的概念、正比例的判断
【点评】
本题考查正比例的基础概念及判断，需准确区分正比例与反比例的关系，熟悉常见的成正比例的量，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.8
