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19.(8分)为了解某校七年级男生的耐力情况,某兴趣小组随机抽取了该年级部分男生的1 000 m跑成绩,将所得数据进行整理,分成$A(3'30''≤x＜3'35'')$,$B(3'35''≤x＜3'40'')$,$C(3'40''≤x＜3'45'')$,$D(3'45''≤x＜3'50'')$,$E(3'50''≤x＜3'55'')$五组,并绘制成如图所示的未完成的频数表与频数直方图(每一组含前一个边界值,不含后一个边界值)。
抽取的男生1 000 m跑成绩频数表
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)填空:$a=$
(2)补全频数直方图;
(3)若该校七年级有800名男生,请根据样本估计1 000 m跑成绩在$3'45''$内(不含$3'45''$)的男生人数。
抽取的男生1 000 m跑成绩频数表
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)填空:$a=$
0.05
,$b=$24
,$c=$0.4
;(2)补全频数直方图;
(3)若该校七年级有800名男生,请根据样本估计1 000 m跑成绩在$3'45''$内(不含$3'45''$)的男生人数。
答案
(1)0.05 24 0.4 解析:易得样本容量为$6÷0.1=60$,所以$a=3÷60=0.05$,$b=60-(3+6+12+15)=24$,所以$c=24÷60=0.4$。 (2)补全频数直方图如图
。 (3)解:$800×(0.05+0.1+0.2)=280$(人)。答:估计1000 m跑成绩在$3'45''$内(不含$3'45''$)的男生人数为280人。解析
【分析】
要解决这道题，需先明确频数、频率、样本容量的关系：样本容量=频数÷频率，频率=频数÷样本容量。解题步骤为：1. 利用B组的频数和频率求出样本容量；2. 依次计算A组频率a、D组频数b、D组频率c；3. 根据D组频数补全频数直方图；4. 计算成绩在3'45''内（不含）的频率和，再用样本估计总体，乘以总人数得到对应男生人数。
【解析】
(1) 已知B组频数为6，频率为0.1，因此样本容量为：6÷0.1=60。
A组频率a = A组频数÷样本容量 = 3÷60 = 0.05；
D组频数b = 样本容量 - (A组频数+B组频数+C组频数+E组频数) = 60 - (3+6+12+15) = 24；
D组频率c = D组频数÷样本容量 = 24÷60 = 0.4。
(2) 补全频数直方图：在组别D对应的位置，绘制高度为24的矩形（与其他组矩形宽度一致，高度对应频数24）。
(3) 成绩在3'45''内（不含3'45''）的是A、B、C组，其频率和为0.05 + 0.1 + (12÷60) = 0.35。
估计该校七年级800名男生中，1000m跑成绩在3'45''内（不含）的男生人数为：800×0.35=280（人）。
【答案】
(1) 0.05，24，0.4；(2) 补全的频数直方图如图；(3) 280人。
【知识点】
频数与频率、样本估计总体、频数分布直方图
【点评】
本题考查统计基础内容，核心是频数、频率、样本容量的关系及用样本估计总体的应用，题型常规，注重基础计算，是初中统计部分的典型题目。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先明确频数、频率、样本容量的关系：样本容量=频数÷频率，频率=频数÷样本容量。解题步骤为：1. 利用B组的频数和频率求出样本容量；2. 依次计算A组频率a、D组频数b、D组频率c；3. 根据D组频数补全频数直方图；4. 计算成绩在3'45''内（不含）的频率和，再用样本估计总体，乘以总人数得到对应男生人数。
【解析】
(1) 已知B组频数为6，频率为0.1，因此样本容量为：6÷0.1=60。
A组频率a = A组频数÷样本容量 = 3÷60 = 0.05；
D组频数b = 样本容量 - (A组频数+B组频数+C组频数+E组频数) = 60 - (3+6+12+15) = 24；
D组频率c = D组频数÷样本容量 = 24÷60 = 0.4。
(2) 补全频数直方图：在组别D对应的位置，绘制高度为24的矩形（与其他组矩形宽度一致，高度对应频数24）。
(3) 成绩在3'45''内（不含3'45''）的是A、B、C组，其频率和为0.05 + 0.1 + (12÷60) = 0.35。
估计该校七年级800名男生中，1000m跑成绩在3'45''内（不含）的男生人数为：800×0.35=280（人）。
【答案】
(1) 0.05，24，0.4；(2) 补全的频数直方图如图
；(3) 280人。【知识点】
频数与频率、样本估计总体、频数分布直方图
【点评】
本题考查统计基础内容，核心是频数、频率、样本容量的关系及用样本估计总体的应用，题型常规，注重基础计算，是初中统计部分的典型题目。
【难度系数】
0.5
20.(8分)如图,已知直线$l$与直线$AB$,$CD$分别交于点$E$,$F$,$EG⊥ CD$于点$G$,$∠ 1$与$∠ 2$互余。
(1)判断直线$AB$与$CD$的位置关系,并说明理由;
(2)若$∠ 1=3∠ 2$,求$∠ 3$的度数。
(1)判断直线$AB$与$CD$的位置关系,并说明理由;
(2)若$∠ 1=3∠ 2$,求$∠ 3$的度数。
答案
(1)$AB// CD$。 理由如下:因为$EG⊥CD$,所以$∠EFG+∠2=90°$。因为$∠1$与$∠2$互余,所以$∠1+∠2=90°$。所以$∠1=∠EFG$,所以$AB// CD$。 (2)因为$∠1+∠2=90°$,$∠1=3∠2$,所以$∠1=67.5°$,因为$AB// CD$,所以$∠EFD=∠1=67.5°$,所以$∠3=180°-∠EFD=112.5°$。
解析
【分析】
要判断AB与CD的位置关系，需利用垂直的性质和余角的性质推导同位角相等，进而判定两直线平行；求∠3的度数时，先根据∠1与∠2的数量关系算出∠1，再结合平行线的性质和邻补角的定义计算∠3。
【解析】
(1) AB//CD，理由如下：
∵ EG⊥CD，
∴ ∠EGF=90°，在△EGF中，∠EFG + ∠2 = 180° - ∠EGF = 90°。
又
∵ ∠1与∠2互余，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°。
∴ ∠1 = ∠EFG（同角的余角相等），根据“同位角相等，两直线平行”，可得AB//CD。
(2)
∵ ∠1 + ∠2 = 90°，且∠1=3∠2，
∴ 3∠2 + ∠2 =90°，解得∠2=22.5°，则∠1=3×22.5°=67.5°。
∵ AB//CD，
∴ ∠EFD=∠1=67.5°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠3 + ∠EFD=180°（邻补角的定义），
∴ ∠3=180° -67.5°=112.5°。
【答案】
(1) AB//CD；(2) ∠3=112.5°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、余角与补角
【点评】
本题结合余角性质考查平行线的判定与性质，需熟练运用几何基本定理，步骤清晰，属于基础几何题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要判断AB与CD的位置关系，需利用垂直的性质和余角的性质推导同位角相等，进而判定两直线平行；求∠3的度数时，先根据∠1与∠2的数量关系算出∠1，再结合平行线的性质和邻补角的定义计算∠3。
【解析】
(1) AB//CD，理由如下：
∵ EG⊥CD，
∴ ∠EGF=90°，在△EGF中，∠EFG + ∠2 = 180° - ∠EGF = 90°。
又
∵ ∠1与∠2互余，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°。
∴ ∠1 = ∠EFG（同角的余角相等），根据“同位角相等，两直线平行”，可得AB//CD。
(2)
∵ ∠1 + ∠2 = 90°，且∠1=3∠2，
∴ 3∠2 + ∠2 =90°，解得∠2=22.5°，则∠1=3×22.5°=67.5°。
∵ AB//CD，
∴ ∠EFD=∠1=67.5°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠3 + ∠EFD=180°（邻补角的定义），
∴ ∠3=180° -67.5°=112.5°。
【答案】
(1) AB//CD；(2) ∠3=112.5°
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、余角与补角
【点评】
本题结合余角性质考查平行线的判定与性质，需熟练运用几何基本定理，步骤清晰，属于基础几何题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
