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15.一个圆柱形容器中装有一定量的水,放入若干个大铁球和小铁球后(假设所有球都浸没在水中),水面上升情况如图所示,要使水面高度为21,则可以放入
1
个大铁球和8
个小铁球。(写出一组符合要求的值即可)答案
1 8(答案不唯一) 解析:设1个大铁球可以使水面高度上升x,1个小铁球可以使水面高度上升y。根据题意,得$\begin{cases} x+2y=15-10, \\ 2x+3y=19-10, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=3, \\ y=1。 \end{cases}$设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以使水面高度为21,则$3a+b=21-10$,因为a,b均为非负整数,所以$\begin{cases} a=0, \\ b=11 \end{cases}$或$\begin{cases} a=1, \\ b=8 \end{cases}$或$\begin{cases} a=2, \\ b=5 \end{cases}$或$\begin{cases} a=3, \\ b=2。 \end{cases}$(任选一组答案即可)
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确：圆柱形容器中，水面上升的高度与放入铁球的体积相关，1个大铁球和1个小铁球使水面上升的高度固定。因此先设未知数，根据前两个图的水面变化列出二元一次方程组，求出单个大、小铁球使水面上升的高度；再根据目标水面高度建立方程，找出符合条件的非负整数解即可。
【解析】
设1个大铁球可使水面高度上升$ x $，1个小铁球可使水面高度上升$ y $。
观察图形可得：
初始水面高度为10，放入1个大铁球和2个小铁球后，水面高度为15，水面上升了$ 15 - 10 = 5 $，因此列方程：$ x + 2y = 5 $；
放入2个大铁球和3个小铁球后，水面高度为19，水面上升了$ 19 - 10 = 9 $，因此列方程：$ 2x + 3y = 9 $。
联立方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 5 \\2x + 3y = 9\end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得$ x = 5 - 2y $，代入第二个方程：
$ 2(5 - 2y) + 3y = 9 $，
化简得$ 10 - y = 9 $，解得$ y = 1 $，
则$ x = 5 - 2×1 = 3 $。
要使水面高度为21，水面需上升$ 21 - 10 = 11 $。设放入$ a $个大铁球和$ b $个小铁球（$ a,b $为非负整数），则满足：
$ 3a + b = 11 $。
取非负整数解，例如当$ a = 1 $时，$ b = 11 - 3×1 = 8 $，符合要求。
【答案】
1；8（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的应用，非负整数解
【点评】
本题结合圆柱形容器的水面变化，将实际问题转化为二元一次方程组求解，关键是确定单个大、小铁球对水面高度的影响，再根据整数解的要求得到答案，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需先明确：圆柱形容器中，水面上升的高度与放入铁球的体积相关，1个大铁球和1个小铁球使水面上升的高度固定。因此先设未知数，根据前两个图的水面变化列出二元一次方程组，求出单个大、小铁球使水面上升的高度；再根据目标水面高度建立方程，找出符合条件的非负整数解即可。
【解析】
设1个大铁球可使水面高度上升$ x $，1个小铁球可使水面高度上升$ y $。
观察图形可得：
初始水面高度为10，放入1个大铁球和2个小铁球后，水面高度为15，水面上升了$ 15 - 10 = 5 $，因此列方程：$ x + 2y = 5 $；
放入2个大铁球和3个小铁球后，水面高度为19，水面上升了$ 19 - 10 = 9 $，因此列方程：$ 2x + 3y = 9 $。
联立方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 5 \\2x + 3y = 9\end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得$ x = 5 - 2y $，代入第二个方程：
$ 2(5 - 2y) + 3y = 9 $，
化简得$ 10 - y = 9 $，解得$ y = 1 $，
则$ x = 5 - 2×1 = 3 $。
要使水面高度为21，水面需上升$ 21 - 10 = 11 $。设放入$ a $个大铁球和$ b $个小铁球（$ a,b $为非负整数），则满足：
$ 3a + b = 11 $。
取非负整数解，例如当$ a = 1 $时，$ b = 11 - 3×1 = 8 $，符合要求。
【答案】
1；8（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程组的应用，非负整数解
【点评】
本题结合圆柱形容器的水面变化，将实际问题转化为二元一次方程组求解，关键是确定单个大、小铁球对水面高度的影响，再根据整数解的要求得到答案，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6
16.如图,将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图1,再沿PM折叠得到图2,已知AB//CD,AM＞DN。
(1)如图1,若∠EPN=50°,则∠AMN的度数为
(2)如图2,若∠AMG=k∠CNM,则∠CPM的度数为
(1)如图1,若∠EPN=50°,则∠AMN的度数为
25
°;(2)如图2,若∠AMG=k∠CNM,则∠CPM的度数为
$\dfrac{360}{4+k}$
°。(用含k的代数式表示)答案
(1)25 (2)$\frac{360}{4+k}$ 解析:(1)因为$AB// CD$,$∠EPN=50°$,所以$∠AMP=∠EPN=50°$,由折叠可得$∠AMN=\frac{1}{2}∠AMP=25°$。 (2)因为$AB// CD$,所以$∠CPM=∠AMP$,$∠AMN=∠CNM$,所以$∠AMG=k∠CNM=k∠AMN$。设$∠AMN=x$,则$∠AMG=kx$。由折叠可得$∠AMP=2∠AMN=2x$,所以$∠CPM=2x$,$∠PMB=180°-∠AMP=180°-2x$,$∠GMP=∠AMP+∠AMG=(2+k)x$。由折叠可得$∠GMP=∠PMB$,即$(2+k)x=180°-2x$,所以$x=(\frac{180}{4+k})°$,所以$∠CPM$的度数为$(\frac{360}{4+k})°$。
解析
【分析】
第(1)问：利用长方形对边平行（AB//CD）的性质，结合平行线同位角相等得到∠AMP与∠EPN的关系，再根据折叠的角平分线性质，即可求出∠AMN的度数；
第(2)问：先通过AB//CD得到∠AMN与∠CNM、∠CPM与∠AMP的等量关系，再结合折叠前后角相等的性质，设未知数建立方程，求解后计算∠CPM的度数。
【解析】
(1) 因为AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠AMP=∠EPN=50°。
由折叠性质可知，MN平分∠AMP，因此∠AMN = $\frac{1}{2}$∠AMP = $\frac{1}{2}$×50°=25°。
(2) 因为AB//CD，根据平行线性质，得∠AMN=∠CNM，∠CPM=∠AMP。
已知∠AMG=k∠CNM，故∠AMG=k∠AMN。
设∠AMN=x，则∠AMG=kx。
由折叠性质，MN折叠后∠AMP=2∠AMN=2x，因此∠CPM=∠AMP=2x；
PM折叠后，∠GMP=∠AMP + ∠AMG=2x + kx=(2+k)x，且∠PMB=180°-∠AMP=180°-2x，根据折叠性质∠GMP=∠PMB，可得：
(2+k)x = 180° - 2x
整理得：(4+k)x=180°，解得x=$\frac{180°}{4+k}$
因此∠CPM=2x=2×$\frac{180°}{4+k}$=$\frac{360°}{4+k}$。
【答案】
(1)25；(2)$\frac{360}{4+k}$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角的计算
【点评】
本题结合长方形折叠考查平行线与折叠的性质，核心是利用折叠前后对应角相等，结合平行线的角关系建立方程求解，需熟练掌握几何性质的应用，逻辑推导难度适中。
【难度系数】
0.4
第(1)问：利用长方形对边平行（AB//CD）的性质，结合平行线同位角相等得到∠AMP与∠EPN的关系，再根据折叠的角平分线性质，即可求出∠AMN的度数；
第(2)问：先通过AB//CD得到∠AMN与∠CNM、∠CPM与∠AMP的等量关系，再结合折叠前后角相等的性质，设未知数建立方程，求解后计算∠CPM的度数。
【解析】
(1) 因为AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，得∠AMP=∠EPN=50°。
由折叠性质可知，MN平分∠AMP，因此∠AMN = $\frac{1}{2}$∠AMP = $\frac{1}{2}$×50°=25°。
(2) 因为AB//CD，根据平行线性质，得∠AMN=∠CNM，∠CPM=∠AMP。
已知∠AMG=k∠CNM，故∠AMG=k∠AMN。
设∠AMN=x，则∠AMG=kx。
由折叠性质，MN折叠后∠AMP=2∠AMN=2x，因此∠CPM=∠AMP=2x；
PM折叠后，∠GMP=∠AMP + ∠AMG=2x + kx=(2+k)x，且∠PMB=180°-∠AMP=180°-2x，根据折叠性质∠GMP=∠PMB，可得：
(2+k)x = 180° - 2x
整理得：(4+k)x=180°，解得x=$\frac{180°}{4+k}$
因此∠CPM=2x=2×$\frac{180°}{4+k}$=$\frac{360°}{4+k}$。
【答案】
(1)25；(2)$\frac{360}{4+k}$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，角的计算
【点评】
本题结合长方形折叠考查平行线与折叠的性质，核心是利用折叠前后对应角相等，结合平行线的角关系建立方程求解，需熟练掌握几何性质的应用，逻辑推导难度适中。
【难度系数】
0.4
17.(8分)解方程或方程组。
(1)$\begin{cases} 3x+y=-1, \\ 2x-y=6; \end{cases}$
(2)$\dfrac{2x-3}{x+6}=\dfrac{1}{2}$。
(1)$\begin{cases} 3x+y=-1, \\ 2x-y=6; \end{cases}$
(2)$\dfrac{2x-3}{x+6}=\dfrac{1}{2}$。
答案
(1)$\begin{cases} 3x+y=-1,① \\ 2x-y=6,② \end{cases}$ ①+②,得$5x=5$,解得$x=1$。把$x=1$代入②,得$2-y=6$,解得$y=-4$。所以原方程组的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=-4。 \end{cases}$ (2)去分母,得$2(2x-3)=x+6$,去括号,得$4x-6=x+6$,移项,合并同类项,得$3x=12$,解得$x=4$。经检验,$x=4$是原分式方程的根。
解析
【分析】
第(1)题是二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，将两式相加消去y，先求出x的值，再代入方程求y；第(2)题是分式方程，需先去分母转化为整式方程求解，最后要检验解是否使原分式分母不为0，排除增根。
【解析】
(1) $\begin{cases} 3x+y=-1,① \\ 2x-y=6,② \end{cases}$
①+②，得 $5x=5$，解得 $x=1$。
把 $x=1$ 代入②，得 $2×1 - y=6$，解得 $y=-4$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=1 \\ y=-4 \end{cases}$。
(2) 去分母，两边同乘 $2(x+6)$，得 $2(2x-3)=x+6$，
去括号，得 $4x -6 =x +6$，
移项、合并同类项，得 $3x=12$，
解得 $x=4$。
经检验，当 $x=4$ 时，$x+6=10≠0$，所以 $x=4$ 是原分式方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=-4 \end{cases}$；(2) $x=4$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查基础的解方程（组）知识，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，解分式方程时需注意检验增根，整体为学生需掌握的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.8
第(1)题是二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，将两式相加消去y，先求出x的值，再代入方程求y；第(2)题是分式方程，需先去分母转化为整式方程求解，最后要检验解是否使原分式分母不为0，排除增根。
【解析】
(1) $\begin{cases} 3x+y=-1,① \\ 2x-y=6,② \end{cases}$
①+②，得 $5x=5$，解得 $x=1$。
把 $x=1$ 代入②，得 $2×1 - y=6$，解得 $y=-4$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases} x=1 \\ y=-4 \end{cases}$。
(2) 去分母，两边同乘 $2(x+6)$，得 $2(2x-3)=x+6$，
去括号，得 $4x -6 =x +6$，
移项、合并同类项，得 $3x=12$，
解得 $x=4$。
经检验，当 $x=4$ 时，$x+6=10≠0$，所以 $x=4$ 是原分式方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=-4 \end{cases}$；(2) $x=4$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题考查基础的解方程（组）知识，加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，解分式方程时需注意检验增根，整体为学生需掌握的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.8
18.(8分)
(1)计算:$\dfrac{3x+2y}{x^2-y^2}-\dfrac{x}{x^2-y^2}$;
(2)当$x=-3$时,求代数式$(2x+1)^2-(2x-5)(2x+5)$的值。
(1)计算:$\dfrac{3x+2y}{x^2-y^2}-\dfrac{x}{x^2-y^2}$;
(2)当$x=-3$时,求代数式$(2x+1)^2-(2x-5)(2x+5)$的值。
答案
(1)原式$=\frac{3x+2y-x}{x^2-y^2}=\frac{2x+2y}{(x+y)(x-y)}=\frac{2(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{2}{x-y}$。 (2)原式$=4x^2+4x+1-4x^2+25=4x+26$,所以当$x=-3$时,原式$=4×(-3)+26=-12+26=14$。
解析
【分析】
第(1)题是同分母分式的减法运算，需遵循同分母分式加减法则：分母不变，分子相减；之后对分子因式分解，结合分母的因式分解结果约分，得到最简分式。第(2)题是整式的化简求值，先利用完全平方公式和平方差公式展开式子，合并同类项化简后，再代入给定的x值计算结果。
【解析】
(1) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式 = $\frac{(3x+2y)-x}{x^2-y^2}$ = $\frac{2x+2y}{x^2-y^2}$
对分子提取公因式，分母用平方差公式因式分解：
= $\frac{2(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式(x+y)（x≠-y），得：
= $\frac{2}{x-y}$
(2) 利用完全平方公式和平方差公式展开式子：
(2x+1)² = 4x² + 4x + 1，(2x-5)(2x+5) = 4x² -25
原式 = (4x² +4x +1) - (4x² -25) = 4x² +4x +1 -4x² +25 = 4x +26
当x=-3时，代入得：
4×(-3) +26 = -12 +26 =14
【答案】
(1) $\frac{2}{x-y}$；(2) 14
【知识点】
同分母分式的加减、整式的乘法公式
【点评】
本题考查分式和整式的基础运算，需掌握分式加减法则、因式分解及整式乘法公式，计算时注意符号处理和约分的正确性，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6
第(1)题是同分母分式的减法运算，需遵循同分母分式加减法则：分母不变，分子相减；之后对分子因式分解，结合分母的因式分解结果约分，得到最简分式。第(2)题是整式的化简求值，先利用完全平方公式和平方差公式展开式子，合并同类项化简后，再代入给定的x值计算结果。
【解析】
(1) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式 = $\frac{(3x+2y)-x}{x^2-y^2}$ = $\frac{2x+2y}{x^2-y^2}$
对分子提取公因式，分母用平方差公式因式分解：
= $\frac{2(x+y)}{(x+y)(x-y)}$
约去公因式(x+y)（x≠-y），得：
= $\frac{2}{x-y}$
(2) 利用完全平方公式和平方差公式展开式子：
(2x+1)² = 4x² + 4x + 1，(2x-5)(2x+5) = 4x² -25
原式 = (4x² +4x +1) - (4x² -25) = 4x² +4x +1 -4x² +25 = 4x +26
当x=-3时，代入得：
4×(-3) +26 = -12 +26 =14
【答案】
(1) $\frac{2}{x-y}$；(2) 14
【知识点】
同分母分式的加减、整式的乘法公式
【点评】
本题考查分式和整式的基础运算，需掌握分式加减法则、因式分解及整式乘法公式，计算时注意符号处理和约分的正确性，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6
