21.(8分)定义关于*的一种运算：$a*b=a^b+ab(a≠0,b$是整数$)$，例如：$(-1)*3=(-1)^3+(-1)×3=-1-3=-4$。
(1)求$(-4)*2$的值；
(2)若$a*2=1$，求$a*(-1)$的值。

(1)原式$=(-4)^2+(-4)×2=16-8=8$。 (2)因为$a*2=1$,$a≠0$,所以$a^2+2a=1$,所以$1-a^2=2a$,所以$a*(-1)=a^{-1}+a×(-1)=\frac{1}{a}-a=\frac{1-a^2}{a}=\frac{2a}{a}=2$。

【分析】首先明确新运算规则：对于$a*b$，运算为$a^b + ab$（$a≠0$，$b$为整数）。第(1)问直接将$a=-4$，$b=2$代入规则计算；第(2)问先根据$a*2=1$列出关于$a$的方程，得到$a^2 + 2a=1$，再利用整体代入思想，将$a*(-1)$的表达式变形后代入简化计算，注意$a≠0$的条件。
【解析】
(1) 根据新运算规则，代入$a=-4$，$b=2$：
$(-4)*2 = (-4)^2 + (-4)×2 = 16 - 8 = 8$；
(2) 由$a*2=1$，根据规则得：
$a^2 + a×2 = 1$，即$a^2 + 2a =1$，变形得$1 -a^2=2a$；
计算$a*(-1)$，根据规则：
$a*(-1)=a^{-1} + a×(-1) = \frac{1}{a} - a = \frac{1 -a^2}{a}$；
将$1 -a^2=2a$代入，且$a≠0$，得：
$\frac{2a}{a}=2$。
【答案】(1)8；(2)2
【知识点】新定义运算、代数式求值、幂的运算
【点评】本题考查新定义运算的应用，核心是准确理解新运算表达式，第(2)问运用整体代入法简化计算，避免求解复杂的$a$值，体现代数变形技巧，属于基础题型，考查学生对新定义的理解和基本运算能力。
【难度系数】0.6

22.(10分)综合与实践。
【问题情境】
自行车的尾灯自身并不发光,但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去,从而起到提醒汽车驾驶员的目的。这一效果正是利用了角反射器的原理。最简单的角反射器是由两个互相垂直的平面镜组成的。
【数学探究】
如图,入射光线DE经过两次反射后,得到光线FG,已知∠AED=∠BEF,∠EFB=∠GFC。
(1)如图1,AB,BC是两个互相垂直的平面镜,∠B=90°。
①若∠AED=70°,求∠GFC的度数;
②试判断入射光线DE和反射光线FG是否平行,并说明理由;
(2)如图2,改变镜子位置,设平面镜AB,BC的夹角∠B=α(α＜90°),∠AED=β,90°＜α+β＜180°,求∠DEF+∠EFG的值。(用含有α或β的代数式表示)

(1)①因为$∠AED=70°$,所以$∠BEF=∠AED=70°$,又因为$∠B=90°$,所以$∠EFB=180°-∠B-∠BEF=20°$,所以$∠GFC=∠EFB=20°$。 ②入射光线DE和反射光线FG平行。 理由如下:因为$∠B=90°$,所以$∠BEF+∠EFB=90°$,又因为$∠AED=∠BEF$,$∠EFB=∠GFC$,所以$∠AED+∠GFC=90°$,所以$∠AED+∠BEF+∠EFB+∠GFC=180°$,所以$∠DEF+∠EFG=180°$,所以$DE// FG$。 (2)因为$∠BEF=∠AED=β$,所以$∠DEF=180°-∠AED-∠BEF=180°-2β$。因为$∠B=α$,所以$∠GFC=∠EFB=180°-∠B-∠BEF=180°-α-β$,所以$∠EFG=180°-∠EFB-∠GFC=2α+2β-180°$。所以$∠DEF+∠EFG=(180°-2β)+(2α+2β-180°)=2α$。 知识考查:本题主要考查了平行线的判定及角的综合计算,这要求学生要熟练掌握平行线的判定定理,并能够灵活运用。

【分析】
本题结合角反射器原理考查几何知识，核心是利用平面镜反射的性质（入射角等于反射角，即∠AED=∠BEF，∠EFB=∠GFC），结合三角形内角和定理、平行线的判定定理解题。对于(1)①，先由反射性质得∠BEF，再在直角三角形中计算∠EFB，进而得到∠GFC；(1)②需推导∠DEF与∠EFG的和为180°，依据“同旁内角互补，两直线平行”判断DE与FG平行；(2)将∠B替换为α，利用反射性质分别表示∠DEF和∠EFG，化简求和得到结果。
【解析】
(1)① 已知∠AED=∠BEF，∠AED=70°，故∠BEF=70°。
因为AB⊥BC，所以∠B=90°，在△BEF中，由三角形内角和为180°，得∠EFB=180°−∠B−∠BEF=180°−90°−70°=20°。
又∠EFB=∠GFC，因此∠GFC=20°。
② DE//FG，理由如下：
因为∠B=90°，所以△BEF中∠BEF+∠EFB=90°。
由反射性质∠AED=∠BEF，∠EFB=∠GFC，得∠AED+∠GFC=∠BEF+∠EFB=90°。
则∠DEF+∠EFG=(180°−∠AED−∠BEF)+(180°−∠EFB−∠GFC)=360°−(∠AED+∠BEF+∠EFB+∠GFC)=360°−(90°+90°)=180°。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得DE//FG。
(2) 由反射性质∠BEF=∠AED=β，故∠DEF=180°−∠AED−∠BEF=180°−2β。
在△BEF中，∠B=α，所以∠EFB=180°−∠B−∠BEF=180°−α−β，又∠EFB=∠GFC，因此∠EFG=180°−∠EFB−∠GFC=180°−2(180°−α−β)=2α+2β−180°。
所以∠DEF+∠EFG=(180°−2β)+(2α+2β−180°)=2α。
【答案】
(1)① ∠GFC=20°；② DE//FG；(2) ∠DEF+∠EFG=2α
【知识点】平行线的判定、角的计算、三角形内角和定理
【点评】本题以角反射器为背景，综合考查几何知识的应用，需熟练运用反射性质、三角形内角和与平行线判定定理，注重逻辑推导能力。
【难度系数】0.5