23.(10分)为了增强学生体质,某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团,现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元;购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。
(1)求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价;
(2)甲、乙两个商场同时出售这两款球拍,现搞促销活动,海报信息如下:

设学校计划购买$a$个羽毛球拍,$b$个乒乓球拍,且两种球拍数量都大于15个。
①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额;(用含$a,b$的代数式表示)
②若付款金额相等,求$a,b$满足的数量关系。

(1)设羽毛球拍的销售单价是x元,乒乓球拍的销售单价是y元。根据题意,得$\begin{cases} 2x+3y=195, \\ 3x+2y=230, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=60, \\ y=25。 \end{cases}$答:羽毛球拍的销售单价是60元,乒乓球拍的销售单价是25元。 (2)①根据题意,得参加甲商场促销活动的付款金额为$60×0.8a+25×0.8b=(48a+20b)$元,参加乙商场促销活动的付款金额为$60×15+60×0.6(a-15)+25×15+25×0.6(b-15)=(36a+15b+510)$元。 ②根据题意,得$48a+20b=36a+15b+510$,整理,得$12a+5b=510$,所以若付款金额相等,a,b满足的数量关系为$12a+5b=510$。

【分析】
1. 第(1)问是求两种球拍的单价，属于二元一次方程组的应用，设两个未知数，根据题目给出的两个购买总价条件列出方程组，通过消元法求解即可得到单价。
2. 第(2)问①需根据甲、乙商场的促销规则分别计算总费用：甲商场所有球拍八折，直接计算原价总和的80%；乙商场是分段计费，15个以内原价，超过15个的部分六折，因a、b均大于15，需分别计算两种球拍的分段费用再求和。②问将两个商场的付款金额相等，整理等式即可得到a、b的数量关系。
【解析】
(1)设羽毛球拍的销售单价为$x$元，乒乓球拍的销售单价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 195 \\3x + 2y = 230\end{cases}$
用消元法解方程组：
第一个方程×3得：$6x + 9y = 585$，
第二个方程×2得：$6x + 4y = 460$，
两式相减得：$5y = 125$，解得$y = 25$，
将$y=25$代入$2x + 3y =195$，得$2x +75=195$，解得$x=60$。
(2)①甲商场所有球拍八折，总付款金额为：
$60×0.8a +25×0.8b = (48a +20b)$元；
乙商场中，因$a＞15$、$b＞15$，羽毛球拍费用为$15×60 +60×0.6(a-15)=900 +36(a-15)=36a +360$，乒乓球拍费用为$15×25 +25×0.6(b-15)=375 +15(b-15)=15b +150$，总付款金额为：
$(36a +360)+(15b +150)=(36a +15b +510)$元。
②令两个商场付款金额相等，即：
$48a +20b =36a +15b +510$，
整理得：$12a +5b =510$。
【答案】
(1)羽毛球拍单价60元，乒乓球拍单价25元；
(2)①甲商场付款$(48a+20b)$元，乙商场付款$(36a+15b+510)$元；②$a,b$满足的数量关系为$12a+5b=510$。
【知识点】
二元一次方程组、代数式、分段计费问题
【点评】
本题结合实际促销场景，考查二元一次方程组的应用和代数式的列写，关键是准确理解乙商场的分段计费规则，计算时需注意超过15个的部分才享受六折优惠，避免计费错误，整体难度适中，需学生仔细审题理清数量关系。
【难度系数】
0.5

24.(12分)将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放在长方形ABCD内(AD＞AB),每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合。两种放置均有部分重叠,阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分,记图1阴影部分的周长和面积分别为$C_1$和$S_1$,图2阴影部分的面积为$S_2$。
(1)若$AD=2b=16$,$AB=12$,$a=10$,直接写出$C_1$的值;
(2)若$AD-AB=5$,$b=2$,求$S_1-S_2$的值;
(3)已知长方形ABCD的周长为36,面积为80,$C_1=28$,求$S_1-S_2$的值。

(1)$C_1$的值为40。 解析:如图。因为$AD=2b=16$,所以$BC=AD=16$,$b=8$,所以$CE=BC-b=8$,又因为$CD=AB=12$,所以$C_1=2(CD+CE)=40$。 (2)设$AB=x$,$AD=y$,则$S_1=x(y-a)+(a-b)(x-a)$,$S_2=y(x-a)+(y-a)(a-b)$,所以$S_1-S_2=a(y-x)+(a-b)(x-y)=b(y-x)$。因为$AD-AB=5$,所以$y-x=5$,又因为$b=2$,所以$S_1-S_2=2×5=10$。 (3)设$AB=x$,$AD=y$,则$2(x+y)=36$,$xy=80$,所以$x+y=18$,所以$(y-x)^2=(x+y)^2-4xy=4$,因为$y＞x＞0$,所以$y-x=2$。因为$C_1=2(x+y-b)=28$,所以$2(18-b)=28$,解得$b=4$。由(2)可得$S_1-S_2=b(y-x)=8$。

【分析】
本题围绕长方形内放置两个边长为$a$、$b$（$a＞b$）的正方形，求解阴影部分的周长与面积问题，需先明确长方形边长关系，分别推导图1、图2阴影部分的周长和面积表达式，再结合已知条件代入计算。第(1)问直接利用给定边长计算图1阴影周长；第(2)问通过设长方形边长为未知数，推导$S_1$、$S_2$的表达式并化简求差；第(3)问利用长方形周长、面积求出边长关系，结合$C_1$的值求得$b$，再代入(2)的结论计算结果。
【解析】
(1) 由$AD=2b=16$，得$b=8$，长方形$ABCD$中$BC=AD=16$，$CD=AB=12$。图1中阴影部分的周长可转化为$2×(CD + CE)$，其中$CE=BC - b=16-8=8$，因此$C_1=2×(12+8)=40$。
(2) 设$AB=x$，$AD=y$，则图1阴影面积$S_1=x(y - a)+(a - b)(x - a)$，图2阴影面积$S_2=y(x - a)+(y - a)(a - b)$。
化简得：
$S_1 - S_2 = [x(y - a)+(a - b)(x - a)] - [y(x - a)+(y - a)(a - b)] = b(y - x)$。
已知$AD - AB=5$即$y - x=5$，$b=2$，代入得$S_1 - S_2=2×5=10$。
(3) 设$AB=x$，$AD=y$，由长方形周长为36得$2(x+y)=36$，即$x+y=18$；面积为80得$xy=80$。
则$(y - x)^2=(x+y)^2 - 4xy=18^2 - 4×80=4$，因$y＞x$，故$y - x=2$。
已知$C_1=28$，结合$C_1=2(x+y - b)$，代入$x+y=18$得$2(18 - b)=28$，解得$b=4$。
由(2)的结论$S_1 - S_2=b(y - x)$，代入$b=4$、$y - x=2$，得$S_1 - S_2=4×2=8$。
【答案】
(1)40；(2)10；(3)8
【知识点】
长方形周长、面积，整式加减，正方形面积
【点评】
本题综合考查长方形、正方形的周长与面积计算，以及整式的化简求值，需学生具备图形分析和代数推导能力，通过设未知数、化简表达式找到各量间的关系，逐步求解。
【难度系数】
0.5