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三、解答题
11. 如图18-25,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB : ∠ODC = 4 : 3,求∠ADO的度数.
图18-25
11. 如图18-25,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB : ∠ODC = 4 : 3,求∠ADO的度数.
图18-25
答案
11.(1)
∵ AO=OC,BO=OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠AOB是△AOD的外角,
∴ ∠AOB = ∠OAD + ∠ADO. 又
∵ ∠AOB = 2∠OAD,
∴ ∠OAD = ∠ADO.
∴ AO = OD. 又
∵ AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,
∴ AC=BD.
∴ 四边形ABCD是矩形.
(2)设∠AOB=4x,则∠ODC=3x,∠OCD=3x,∠DOC=4x.在△ODC中,∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°,
∴ 4x+3x+3x=180°.解得x=18°.
∴ ∠ODC=3×18°=54°.
∴ ∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°.
∵ AO=OC,BO=OD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠AOB是△AOD的外角,
∴ ∠AOB = ∠OAD + ∠ADO. 又
∵ ∠AOB = 2∠OAD,
∴ ∠OAD = ∠ADO.
∴ AO = OD. 又
∵ AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,
∴ AC=BD.
∴ 四边形ABCD是矩形.
(2)设∠AOB=4x,则∠ODC=3x,∠OCD=3x,∠DOC=4x.在△ODC中,∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°,
∴ 4x+3x+3x=180°.解得x=18°.
∴ ∠ODC=3×18°=54°.
∴ ∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是矩形，首先根据对角线互相平分的性质可先判定四边形是平行四边形，接下来只需证明平行四边形的对角线相等即可。结合给出的角的数量关系，利用三角形外角的性质推导角相等，进而得到边相等，即可推出对角线相等，完成矩形的证明。
(2) 求∠ADO的度数时，先根据角度比设未知数，再结合矩形对角线相等且平分的性质得到等腰三角形，利用等角对等边、对顶角相等以及三角形内角和定理列方程求解∠ODC的度数，最后根据矩形内角为直角即可求出∠ADO的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AO=OC，BO=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ ∠AOB是△AOD的外角，
∴ ∠AOB = ∠OAD + ∠ADO。
又
∵ ∠AOB = 2∠OAD，
∴ ∠OAD = ∠ADO，
∴ AO = OD。
∵ AC=AO+OC=2AO，BD=BO+OD=2OD，
∴ AC=BD，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
(2) 解：设∠AOB=4x，则∠ODC=3x。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OD=OC，
∴ ∠OCD=∠ODC=3x，
又
∵ ∠DOC=∠AOB=4x（对顶角相等），
在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°，
∴ 4x+3x+3x=180°，
解得x=18°，
∴ ∠ODC=3×18°=54°，
∵ 矩形中∠ADC=90°，
∴ ∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°。
【答案】
(1) 已证四边形ABCD是矩形；
(2) ∠ADO的度数为$\boldsymbol{36°}$。
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于四边形基础综合题，重点考查平行四边形、矩形的判定与性质的综合应用，解题时结合已知条件逐步推导即可，是矩形相关性质考查的典型常规题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ABCD是矩形，首先根据对角线互相平分的性质可先判定四边形是平行四边形，接下来只需证明平行四边形的对角线相等即可。结合给出的角的数量关系，利用三角形外角的性质推导角相等，进而得到边相等，即可推出对角线相等，完成矩形的证明。
(2) 求∠ADO的度数时，先根据角度比设未知数，再结合矩形对角线相等且平分的性质得到等腰三角形，利用等角对等边、对顶角相等以及三角形内角和定理列方程求解∠ODC的度数，最后根据矩形内角为直角即可求出∠ADO的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AO=OC，BO=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ ∠AOB是△AOD的外角，
∴ ∠AOB = ∠OAD + ∠ADO。
又
∵ ∠AOB = 2∠OAD，
∴ ∠OAD = ∠ADO，
∴ AO = OD。
∵ AC=AO+OC=2AO，BD=BO+OD=2OD，
∴ AC=BD，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
(2) 解：设∠AOB=4x，则∠ODC=3x。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OD=OC，
∴ ∠OCD=∠ODC=3x，
又
∵ ∠DOC=∠AOB=4x（对顶角相等），
在△ODC中，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°，
∴ 4x+3x+3x=180°，
解得x=18°，
∴ ∠ODC=3×18°=54°，
∵ 矩形中∠ADC=90°，
∴ ∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°。
【答案】
(1) 已证四边形ABCD是矩形；
(2) ∠ADO的度数为$\boldsymbol{36°}$。
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于四边形基础综合题，重点考查平行四边形、矩形的判定与性质的综合应用，解题时结合已知条件逐步推导即可，是矩形相关性质考查的典型常规题。
【难度系数】
0.7
12. 如图18-26, ∠CAE是△ABC的外角,AD平分∠EAC,且AD//BC.过点C作CG⊥AD,垂足为G,AF是BC边上的中线,连接FG.
(1)求证:AC=FG.
(2)当AC⊥FG时,△ABC应是怎样的三角形?说明理由.
图18-26
(1)求证:AC=FG.
(2)当AC⊥FG时,△ABC应是怎样的三角形?说明理由.
图18-26
答案
12.(1)
∵ AD平分∠EAC,且AD//BC,
∴ ∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB.
∴ AB=AC.
∵ AF是BC边上的中线,
∴ AF⊥BC.
∵ CG⊥AD,AD//BC,
∴ CG⊥BC.
∴ AF//CG.
∴ 四边形AFCG是平行四边形.
∵ ∠AFC=90°,
∴ 四边形AFCG是矩形.
∴ AC=FG.
(2)当AC⊥FG时,△ABC是等腰直角三角形.理由如下:
∵ 四边形AFCG是矩形,
∴ 四边形AFCG是正方形,∠ACB=45°.
∵ AB=AC,
∴ △ABC是等腰直角三角形.
∵ AD平分∠EAC,且AD//BC,
∴ ∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB.
∴ AB=AC.
∵ AF是BC边上的中线,
∴ AF⊥BC.
∵ CG⊥AD,AD//BC,
∴ CG⊥BC.
∴ AF//CG.
∴ 四边形AFCG是平行四边形.
∵ ∠AFC=90°,
∴ 四边形AFCG是矩形.
∴ AC=FG.
(2)当AC⊥FG时,△ABC是等腰直角三角形.理由如下:
∵ 四边形AFCG是矩形,
∴ 四边形AFCG是正方形,∠ACB=45°.
∵ AB=AC,
∴ △ABC是等腰直角三角形.
解析
【分析】
(1)要证明AC=FG，可通过证明二者是矩形的对角线推导结论。首先由AD平分外角且AD//BC，可推出∠ABC=∠ACB，得到△ABC是等腰三角形；再利用等腰三角形三线合一得AF⊥BC，结合CG⊥AD、AD//BC推出CG⊥BC，即可证AF//CG，结合AD//BC可判定四边形AFCG是平行四边形，再根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形，即可利用矩形对角线相等得证。
(2)当AC⊥FG时，结合(1)中已证的矩形AFCG，对角线互相垂直的矩形是正方形，可推出∠ACB=45°，再结合AB=AC的结论，即可判断△ABC的形状。
【解析】
(1)证明：
∵ AD平分∠EAC，且AD//BC，
∴ ∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，
∴ AB=AC。
∵ AF是BC边上的中线，
∴ AF⊥BC。
∵ CG⊥AD，AD//BC，
∴ CG⊥BC，
∴ AF//CG，
∴ 四边形AFCG是平行四边形。
∵ ∠AFC=90°，
∴ 四边形AFCG是矩形，
∴ AC=FG。
(2)当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵ 四边形AFCG是矩形，AC⊥FG，
∴ 四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1)AC=FG得证；
(2)△ABC是等腰直角三角形，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题综合了平行线性质、等腰三角形、特殊平行四边形的相关知识，解题时需要逐步推导图形的形状特征，注重逻辑链的完整性，是考查几何推理能力的基础综合题。
【难度系数】
0.6
(1)要证明AC=FG，可通过证明二者是矩形的对角线推导结论。首先由AD平分外角且AD//BC，可推出∠ABC=∠ACB，得到△ABC是等腰三角形；再利用等腰三角形三线合一得AF⊥BC，结合CG⊥AD、AD//BC推出CG⊥BC，即可证AF//CG，结合AD//BC可判定四边形AFCG是平行四边形，再根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形，即可利用矩形对角线相等得证。
(2)当AC⊥FG时，结合(1)中已证的矩形AFCG，对角线互相垂直的矩形是正方形，可推出∠ACB=45°，再结合AB=AC的结论，即可判断△ABC的形状。
【解析】
(1)证明：
∵ AD平分∠EAC，且AD//BC，
∴ ∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，
∴ AB=AC。
∵ AF是BC边上的中线，
∴ AF⊥BC。
∵ CG⊥AD，AD//BC，
∴ CG⊥BC，
∴ AF//CG，
∴ 四边形AFCG是平行四边形。
∵ ∠AFC=90°，
∴ 四边形AFCG是矩形，
∴ AC=FG。
(2)当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵ 四边形AFCG是矩形，AC⊥FG，
∴ 四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰直角三角形。
【答案】
(1)AC=FG得证；
(2)△ABC是等腰直角三角形，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题综合了平行线性质、等腰三角形、特殊平行四边形的相关知识，解题时需要逐步推导图形的形状特征，注重逻辑链的完整性，是考查几何推理能力的基础综合题。
【难度系数】
0.6
