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6. 如图18-20,以矩形ABCD的点A为圆心,AD的长为半径画弧,交AB于点F;再以点C为圆心,CD的长为半径画弧,交AB于点E.若$AD=5$,$CD=\frac{17}{3}$,则EF的长度为 (
A.2
B.3
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{7}{3}$
A
)A.2
B.3
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{7}{3}$
答案
6.A 提示:连接CE,则 $CE=CD=\frac{17}{3},BC=AD=5$.
∵ △BCE为直角三角形,
∴ $BE = \sqrt{(\frac{17}{3})^2 -5^2} = \frac{8}{3}$.又
∵ $BF=AB-AF=\frac{17}{3}-5=\frac{2}{3}$,
∴ $EF=BE-BF=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2$.
∵ △BCE为直角三角形,
∴ $BE = \sqrt{(\frac{17}{3})^2 -5^2} = \frac{8}{3}$.又
∵ $BF=AB-AF=\frac{17}{3}-5=\frac{2}{3}$,
∴ $EF=BE-BF=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2$.
解析
【分析】
解题时先结合矩形的性质确定已知边的等量关系，再根据圆的半径相等得到CE=CD、AF=AD；要求EF的长度，可先在Rt△BCE中用勾股定理求出BE的长度，再求出BF的长度，最后用BE减去BF即可得到EF的长。
【解析】
解：连接CE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=5，AB=CD=17/3，∠B=90°，
由题意可知：CE=CD=17/3，AF=AD=5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{CE^2-BC^2}=\sqrt{(\frac{17}{3})^2-5^2}=\sqrt{\frac{289}{9}-\frac{225}{9}}=\sqrt{\frac{64}{9}}=\frac{8}{3}$，
又
∵ $BF=AB-AF=\frac{17}{3}-5=\frac{17}{3}-\frac{15}{3}=\frac{2}{3}$，
∴ $EF=BE-BF=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、圆的半径特征
【点评】
本题属于基础几何综合题，将矩形、圆的性质与勾股定理结合考查，解题核心是利用同圆半径相等转化线段长度，再结合直角三角形的勾股定理计算未知线段，熟练掌握基础图形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形的性质确定已知边的等量关系，再根据圆的半径相等得到CE=CD、AF=AD；要求EF的长度，可先在Rt△BCE中用勾股定理求出BE的长度，再求出BF的长度，最后用BE减去BF即可得到EF的长。
【解析】
解：连接CE，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=5，AB=CD=17/3，∠B=90°，
由题意可知：CE=CD=17/3，AF=AD=5，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{CE^2-BC^2}=\sqrt{(\frac{17}{3})^2-5^2}=\sqrt{\frac{289}{9}-\frac{225}{9}}=\sqrt{\frac{64}{9}}=\frac{8}{3}$，
又
∵ $BF=AB-AF=\frac{17}{3}-5=\frac{17}{3}-\frac{15}{3}=\frac{2}{3}$，
∴ $EF=BE-BF=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}=2$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、圆的半径特征
【点评】
本题属于基础几何综合题，将矩形、圆的性质与勾股定理结合考查，解题核心是利用同圆半径相等转化线段长度，再结合直角三角形的勾股定理计算未知线段，熟练掌握基础图形的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7. 如图18-21,在菱形ABCD中,$∠ B=60°$,点E,F分别从点B,D同时以同样的速度沿边BC,DC向点C运动.给出以下四个结论:
①$AE=AF$;
②$∠ CEF=∠ CFE$;
③当E,F分别为边BC,DC的中点时,$△ AEF$是等边三角形;
④当E,F分别为边BC,DC的中点时,$△ AEF$的面积最大.
上述正确结论的序号有
①$AE=AF$;
②$∠ CEF=∠ CFE$;
③当E,F分别为边BC,DC的中点时,$△ AEF$是等边三角形;
④当E,F分别为边BC,DC的中点时,$△ AEF$的面积最大.
上述正确结论的序号有
①②③
.答案
7.①②③
解析
【分析】
首先结合菱形的性质：四边相等、对角相等，结合E、F运动速度相同可得BE=DF，逐个验证四个结论：
1. 验证①：通过SAS证明△ABE≌△ADF，即可判断AE和AF的数量关系；
2. 验证②：由BC=CD、BE=DF推得CE=CF，根据等腰三角形底角相等即可判断；
3. 验证③：当E、F为中点时，结合菱形中∠B=60°可得△ABC为等边三角形，推出AE⊥BC，同理AF⊥CD，再结合CE=CF求得∠CEF=30°，进而得到∠AEF=60°，结合AE=AF即可判断△AEF为等边三角形；
4. 验证④：通过特殊值法，分别计算E在B点、E为中点时△AEF的面积，对比即可判断该结论是否正确。
【解析】
设菱形ABCD的边长为a，已知E、F速度相同，故BE=DF=x（0≤x≤a）。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=60°，∠C=180°-∠B=120°。
1. 验证结论①：
在△ABE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ B=∠ D\\ BE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，结论①正确。
2. 验证结论②：
∵BC=CD，BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形，
∴∠CEF=∠CFE，结论②正确。
3. 验证结论③：
当E、F分别为BC、DC中点时，BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，
∵AB=BC=a，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC中点，
∴AE⊥BC，即∠AEB=90°，同理可得∠AFD=90°。
∵CE=CF=$\frac{1}{2}$a，∠C=120°，
∴∠CEF=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠AEF=180°-∠AEB-∠CEF=180°-90°-30°=60°，
又
∵AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，结论③正确。
4. 验证结论④：
设菱形边长为2，菱形高为$\sqrt{3}$，菱形面积为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$：
当E、F为中点时，$S_{△ ABE}=S_{△ ADF}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$S_{△ CEF}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，此时$S_{△ AEF}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
当E在B点、F在D点时，△AEF即为等边△ABD，面积为$\sqrt{3}＞\frac{3\sqrt{3}}{4}$，故E、F为中点时△AEF面积不是最大，结论④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何动点类综合题，需要结合菱形的基本性质，通过全等、等腰及等边三角形的判定定理逐一推导结论，对于面积最值类结论可通过特殊值法分析判断，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先结合菱形的性质：四边相等、对角相等，结合E、F运动速度相同可得BE=DF，逐个验证四个结论：
1. 验证①：通过SAS证明△ABE≌△ADF，即可判断AE和AF的数量关系；
2. 验证②：由BC=CD、BE=DF推得CE=CF，根据等腰三角形底角相等即可判断；
3. 验证③：当E、F为中点时，结合菱形中∠B=60°可得△ABC为等边三角形，推出AE⊥BC，同理AF⊥CD，再结合CE=CF求得∠CEF=30°，进而得到∠AEF=60°，结合AE=AF即可判断△AEF为等边三角形；
4. 验证④：通过特殊值法，分别计算E在B点、E为中点时△AEF的面积，对比即可判断该结论是否正确。
【解析】
设菱形ABCD的边长为a，已知E、F速度相同，故BE=DF=x（0≤x≤a）。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=60°，∠C=180°-∠B=120°。
1. 验证结论①：
在△ABE和△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ B=∠ D\\ BE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，结论①正确。
2. 验证结论②：
∵BC=CD，BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∴△CEF是等腰三角形，
∴∠CEF=∠CFE，结论②正确。
3. 验证结论③：
当E、F分别为BC、DC中点时，BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，
∵AB=BC=a，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC中点，
∴AE⊥BC，即∠AEB=90°，同理可得∠AFD=90°。
∵CE=CF=$\frac{1}{2}$a，∠C=120°，
∴∠CEF=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠AEF=180°-∠AEB-∠CEF=180°-90°-30°=60°，
又
∵AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，结论③正确。
4. 验证结论④：
设菱形边长为2，菱形高为$\sqrt{3}$，菱形面积为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$：
当E、F为中点时，$S_{△ ABE}=S_{△ ADF}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$S_{△ CEF}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，此时$S_{△ AEF}=2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
当E在B点、F在D点时，△AEF即为等边△ABD，面积为$\sqrt{3}＞\frac{3\sqrt{3}}{4}$，故E、F为中点时△AEF面积不是最大，结论④错误。
综上，正确的结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何动点类综合题，需要结合菱形的基本性质，通过全等、等腰及等边三角形的判定定理逐一推导结论，对于面积最值类结论可通过特殊值法分析判断，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图18-22,已知$MN// PQ$,EF与MN,PQ分别交于点A,C,过点A,C作两组内错角的平分线,分别交于点B,D,则四边形ABCD是
矩形
。答案
8.矩形
解析
【分析】
解题时首先利用平行线的性质得到内错角相等，结合角平分线的定义可以推出两组对边分别平行，先判定四边形ABCD是平行四边形；接着根据平角的定义和角平分线的性质，可推出平行四边形有一个内角是90°，最后结合矩形的判定定理即可得出结论。
【解析】
1. 已知$MN// PQ$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ MAC=∠ ACQ$，$∠ NAC=∠ ACP$。
2. 因为AB平分$∠ MAC$，CD平分$∠ ACQ$，所以$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ MAC$，$∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACQ$，因此$∠ BAC=∠ DCA$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
3. 同理，AD平分$∠ NAC$，BC平分$∠ ACP$，所以$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ NAC$，$∠ BCA=\frac{1}{2}∠ ACP$，因此$∠ DAC=∠ BCA$，可得$AD// BC$。
4. 由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
5. 因为$∠ MAC+∠ NAC=180°$（平角的定义），所以$∠ BAC+∠ DAC=\frac{1}{2}(∠ MAC+∠ NAC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ BAD=90°$。
6. 根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得平行四边形ABCD是矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
平行线的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，结合了平行线、角平分线和特殊四边形的相关知识，解题的关键是先证出四边形是平行四边形，再推导得到一个内角为直角，需要熟练掌握相关性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行线的性质得到内错角相等，结合角平分线的定义可以推出两组对边分别平行，先判定四边形ABCD是平行四边形；接着根据平角的定义和角平分线的性质，可推出平行四边形有一个内角是90°，最后结合矩形的判定定理即可得出结论。
【解析】
1. 已知$MN// PQ$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ MAC=∠ ACQ$，$∠ NAC=∠ ACP$。
2. 因为AB平分$∠ MAC$，CD平分$∠ ACQ$，所以$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ MAC$，$∠ DCA=\frac{1}{2}∠ ACQ$，因此$∠ BAC=∠ DCA$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
3. 同理，AD平分$∠ NAC$，BC平分$∠ ACP$，所以$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ NAC$，$∠ BCA=\frac{1}{2}∠ ACP$，因此$∠ DAC=∠ BCA$，可得$AD// BC$。
4. 由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
5. 因为$∠ MAC+∠ NAC=180°$（平角的定义），所以$∠ BAC+∠ DAC=\frac{1}{2}(∠ MAC+∠ NAC)=\frac{1}{2}×180°=90°$，即$∠ BAD=90°$。
6. 根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得平行四边形ABCD是矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
平行线的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，结合了平行线、角平分线和特殊四边形的相关知识，解题的关键是先证出四边形是平行四边形，再推导得到一个内角为直角，需要熟练掌握相关性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
9. 如图18-23,在$△ ABC$中,D是边BC上一动点,$DE// AC$,$DF// AB$,对$△ ABC$及线段AD添加条件,使得四边形AEDF是正方形：
△ABC是等腰直角三角形,AD是角平分线
。答案
9.△ABC是等腰直角三角形,AD是角平分线
解析
【分析】
首先根据已知DE//AC、DF//AB，可先判定四边形AEDF是平行四边形。要使平行四边形变为正方形，需要同时满足“有一个内角为直角”和“一组邻边相等”两个条件。我们可以先确定△ABC的形状得到直角，再通过添加AD的相关条件得到邻边相等：若△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=90°，此时平行四边形AEDF先变为矩形；再添加AD是角平分线，可通过等角对等边推出矩形的一组邻边相等，即可得到正方形。
【解析】
1. 由DE//AC，DF//AB，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形AEDF是平行四边形。
2. 当△ABC是等腰直角三角形时，∠BAC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知平行四边形AEDF是矩形。
3. 若AD是∠BAC的角平分线，则∠EAD=∠FAD=45°，又DF//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠EAD=∠ADF，因此∠FAD=∠ADF，根据“等角对等边”可得AF=DF。
4. 根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，可知此时矩形AEDF是正方形。
【答案】
△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分线
【知识点】
平行四边形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为条件开放型题目，核心是结合特殊四边形的判定逻辑逐步推导所需条件，需要熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定定理，添加的条件只要能满足正方形的判定要求均可，本题给出的是较为典型的一种答案。
【难度系数】
0.6
首先根据已知DE//AC、DF//AB，可先判定四边形AEDF是平行四边形。要使平行四边形变为正方形，需要同时满足“有一个内角为直角”和“一组邻边相等”两个条件。我们可以先确定△ABC的形状得到直角，再通过添加AD的相关条件得到邻边相等：若△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=90°，此时平行四边形AEDF先变为矩形；再添加AD是角平分线，可通过等角对等边推出矩形的一组邻边相等，即可得到正方形。
【解析】
1. 由DE//AC，DF//AB，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形AEDF是平行四边形。
2. 当△ABC是等腰直角三角形时，∠BAC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知平行四边形AEDF是矩形。
3. 若AD是∠BAC的角平分线，则∠EAD=∠FAD=45°，又DF//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠EAD=∠ADF，因此∠FAD=∠ADF，根据“等角对等边”可得AF=DF。
4. 根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，可知此时矩形AEDF是正方形。
【答案】
△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分线
【知识点】
平行四边形的判定、正方形的判定、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为条件开放型题目，核心是结合特殊四边形的判定逻辑逐步推导所需条件，需要熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定定理，添加的条件只要能满足正方形的判定要求均可，本题给出的是较为典型的一种答案。
【难度系数】
0.6
10. 如图18-24,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么△EFC的面积为
$\frac{2}{3}$
。答案
10.$\frac{2}{3}$ 提示:
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AD=BC=5,AB=CD=3.
∵ 矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处,
∴ AF=AD=5,EF=DE.在Rt△ABF中,
∵ $BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=4$,
∴ CF=BC-BF=5-4=1.设CE=x,则DE=EF=3-x.在Rt△ECF中,
∵ $CE^2+CF^2=EF^2$,
∴ $x^2+1^2=(3-x)^2$.解得 $x=\frac{4}{3}$.
∴ $S_{△EFC}=\frac{1}{2}CE·CF=\frac{2}{3}$.
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AD=BC=5,AB=CD=3.
∵ 矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处,
∴ AF=AD=5,EF=DE.在Rt△ABF中,
∵ $BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=4$,
∴ CF=BC-BF=5-4=1.设CE=x,则DE=EF=3-x.在Rt△ECF中,
∵ $CE^2+CF^2=EF^2$,
∴ $x^2+1^2=(3-x)^2$.解得 $x=\frac{4}{3}$.
∴ $S_{△EFC}=\frac{1}{2}CE·CF=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是一道矩形折叠类的几何计算题，解题思路可分为三步：第一步，先利用矩形的性质得到各边的长度，再结合折叠前后对应边相等的性质，得到AF=AD、EF=DE；第二步，在Rt△ABF中用勾股定理计算出BF的长度，进而求出CF的长；第三步，设CE的长度为未知数，将EF用含未知数的式子表示，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解出CE，最后用三角形面积公式计算△EFC的面积即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=5，AB=CD=3，∠B=∠C=90°，
∵ 将矩形沿AE折叠，点D落在BC上的F点，
∴ AF=AD=5，EF=DE。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
∴ CF=BC - BF=5 - 4=1。
设CE=x，则DE=CD - CE=3 - x，即EF=3 - x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE^2 + CF^2 = EF^2$，即$x^2 + 1^2 = (3 - x)^2$，
展开得：$x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$，
化简得：6x=8，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴ $S_{△ EFC}=\frac{1}{2}×CE×CF=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×1=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是矩形折叠的典型基础题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的线段，再结合勾股定理建立方程求解未知边长，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
这是一道矩形折叠类的几何计算题，解题思路可分为三步：第一步，先利用矩形的性质得到各边的长度，再结合折叠前后对应边相等的性质，得到AF=AD、EF=DE；第二步，在Rt△ABF中用勾股定理计算出BF的长度，进而求出CF的长；第三步，设CE的长度为未知数，将EF用含未知数的式子表示，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解出CE，最后用三角形面积公式计算△EFC的面积即可。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=5，AB=CD=3，∠B=∠C=90°，
∵ 将矩形沿AE折叠，点D落在BC上的F点，
∴ AF=AD=5，EF=DE。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
∴ CF=BC - BF=5 - 4=1。
设CE=x，则DE=CD - CE=3 - x，即EF=3 - x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE^2 + CF^2 = EF^2$，即$x^2 + 1^2 = (3 - x)^2$，
展开得：$x^2 + 1 = 9 - 6x + x^2$，
化简得：6x=8，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴ $S_{△ EFC}=\frac{1}{2}×CE×CF=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×1=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是矩形折叠的典型基础题，解题核心是利用折叠的性质得到相等的线段，再结合勾股定理建立方程求解未知边长，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
