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4. 如图18-17,在△ABC中,O是AC边上一动点,点P在BC边的延长线上,过点O的直线DE//BC,分别交∠ACB的平分线与∠ACP的平分线于点D,E.
(1)点O在什么位置时,四边形ADCE是矩形?请说明理由.
(2)在(1)的条件下,当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形?请说明理由.
(1)点O在什么位置时,四边形ADCE是矩形?请说明理由.
(2)在(1)的条件下,当AC与BC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形?请说明理由.
答案
4.(1)当点O在AC的中点时,四边形ADCE是矩形.理由如下:
∵ CE平分∠ACP,
∴ ∠ACE=∠PCE.
∵ DE//BC,
∴ ∠OEC=∠PCE.
∴ ∠OEC=∠ACE.
∴ OE=OC.同理,OC=OD,
∴ OD=OE.
∵ OA=OC,OE=OD,
∴ 四边形ADCE为平行四边形.
∵ CD,CE是∠ACB与∠ACP的平分线,
∴ ∠DCE=90°.
∴ 四边形ADCE是矩形.
(2)当AC⊥BC时,四边形ADCE是正方形.理由如下:
∵ ∠BCA = 90°, DE//CB,
∴ ∠DOA= 90°.
∴ DE⊥AC.
∴ 矩形ADCE是正方形,即四边形ADCE是正方形.
∵ CE平分∠ACP,
∴ ∠ACE=∠PCE.
∵ DE//BC,
∴ ∠OEC=∠PCE.
∴ ∠OEC=∠ACE.
∴ OE=OC.同理,OC=OD,
∴ OD=OE.
∵ OA=OC,OE=OD,
∴ 四边形ADCE为平行四边形.
∵ CD,CE是∠ACB与∠ACP的平分线,
∴ ∠DCE=90°.
∴ 四边形ADCE是矩形.
(2)当AC⊥BC时,四边形ADCE是正方形.理由如下:
∵ ∠BCA = 90°, DE//CB,
∴ ∠DOA= 90°.
∴ DE⊥AC.
∴ 矩形ADCE是正方形,即四边形ADCE是正方形.
解析
【分析】
(1) 要判定四边形ADCE是矩形，需先证它是平行四边形，再证明有一个内角是直角。根据DE//BC、CD和CE分别是两个邻补角的角平分线，可推出OD=OC=OE，若要四边形对角线互相平分成为平行四边形，需满足OA=OC，因此O需为AC中点；再结合邻补角的角平分线夹角为90°，即可证明该平行四边形是矩形。
(2) 要让矩形变为正方形，需满足矩形的对角线互相垂直或邻边相等，已知DE//BC，若AC⊥BC，可推出AC⊥DE，即矩形对角线互相垂直，即可判定为正方形。
【解析】
(1) 当点O在AC的中点时，四边形ADCE是矩形。理由如下：
∵ CE平分∠ACP，
∴ ∠ACE=∠PCE。
∵ DE//BC，
∴ ∠OEC=∠PCE。
∴ ∠OEC=∠ACE，
∴ OE=OC。同理可得OC=OD，
∴ OD=OE。
又
∵ OA=OC，OD=OE，
∴ 四边形ADCE为平行四边形。
∵ CD、CE分别是∠ACB与∠ACP的平分线，
∴ ∠DCE=∠ACD+∠ACE=½∠ACB+½∠ACP=½(∠ACB+∠ACP)=½×180°=90°，
∴ 平行四边形ADCE是矩形。
(2) 当AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形。理由如下：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠BCA=90°，
∵ DE//CB，
∴ ∠DOA=∠BCA=90°，即DE⊥AC，
∴ 矩形ADCE的对角线互相垂直，
∴ 矩形ADCE是正方形。
【答案】
(1) 点O为AC的中点时，四边形ADCE是矩形；
(2) AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形。
【知识点】
矩形的判定，正方形的判定，角平分线的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形判定的典型基础题，结合角平分线、平行线的性质综合考查，解题时紧扣特殊四边形的判定条件，从基础图形到特殊图形逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
(1) 要判定四边形ADCE是矩形，需先证它是平行四边形，再证明有一个内角是直角。根据DE//BC、CD和CE分别是两个邻补角的角平分线，可推出OD=OC=OE，若要四边形对角线互相平分成为平行四边形，需满足OA=OC，因此O需为AC中点；再结合邻补角的角平分线夹角为90°，即可证明该平行四边形是矩形。
(2) 要让矩形变为正方形，需满足矩形的对角线互相垂直或邻边相等，已知DE//BC，若AC⊥BC，可推出AC⊥DE，即矩形对角线互相垂直，即可判定为正方形。
【解析】
(1) 当点O在AC的中点时，四边形ADCE是矩形。理由如下：
∵ CE平分∠ACP，
∴ ∠ACE=∠PCE。
∵ DE//BC，
∴ ∠OEC=∠PCE。
∴ ∠OEC=∠ACE，
∴ OE=OC。同理可得OC=OD，
∴ OD=OE。
又
∵ OA=OC，OD=OE，
∴ 四边形ADCE为平行四边形。
∵ CD、CE分别是∠ACB与∠ACP的平分线，
∴ ∠DCE=∠ACD+∠ACE=½∠ACB+½∠ACP=½(∠ACB+∠ACP)=½×180°=90°，
∴ 平行四边形ADCE是矩形。
(2) 当AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形。理由如下：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠BCA=90°，
∵ DE//CB，
∴ ∠DOA=∠BCA=90°，即DE⊥AC，
∴ 矩形ADCE的对角线互相垂直，
∴ 矩形ADCE是正方形。
【答案】
(1) 点O为AC的中点时，四边形ADCE是矩形；
(2) AC⊥BC时，四边形ADCE是正方形。
【知识点】
矩形的判定，正方形的判定，角平分线的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形判定的典型基础题，结合角平分线、平行线的性质综合考查，解题时紧扣特殊四边形的判定条件，从基础图形到特殊图形逐步推导即可。
【难度系数】
0.7
1. 图18-18为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（
A.$360°$
B.$540°$
C.$630°$
D.$720°$
C
）A.$360°$
B.$540°$
C.$630°$
D.$720°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆多边形内角和定理，可知任意n边形（n≥3，n为整数）的内角和为$(n-2)×180°$，因此所有多边形的内角和都是180°的整数倍，那么两个多边形的内角和a+b也一定是180°的整数倍。接下来既可以直接判断选项是否为180°的整数倍，也可以分类讨论直线分割矩形的所有情况，计算出a+b的所有可能值，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据多边形内角和定理：n（n≥3，n为整数）边形的内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，因此任意多边形的内角和都是180°的整数倍，故a+b必然是180°的整数倍。
我们再分类讨论直线分割矩形的所有情况：
1. 直线经过矩形的两个对角顶点：分割为2个三角形，a=180°，b=180°，$a+b=180°+180°=360°$，A选项可能；
2. 直线经过矩形的1个顶点和对边上1个非顶点的点：分割为1个三角形和1个四边形，a=180°，b=360°，$a+b=180°+360°=540°$，B选项可能；
3. 直线经过矩形一组对边上的两个非顶点的点：分割为2个四边形，a=360°，b=360°，$a+b=360°+360°=720°$，D选项可能。
C选项$630°÷180°=3.5$，不是整数，不符合a+b是180°整数倍的规律，因此不可能。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和定理；图形的分割
【点评】
本题解题的核心是抓住多边形内角和为180°整数倍的特点，可快速排除错误选项，也可通过分类讨论所有分割情况验证结果，两种方法结合使用能提高解题的准确率。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆多边形内角和定理，可知任意n边形（n≥3，n为整数）的内角和为$(n-2)×180°$，因此所有多边形的内角和都是180°的整数倍，那么两个多边形的内角和a+b也一定是180°的整数倍。接下来既可以直接判断选项是否为180°的整数倍，也可以分类讨论直线分割矩形的所有情况，计算出a+b的所有可能值，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据多边形内角和定理：n（n≥3，n为整数）边形的内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$，因此任意多边形的内角和都是180°的整数倍，故a+b必然是180°的整数倍。
我们再分类讨论直线分割矩形的所有情况：
1. 直线经过矩形的两个对角顶点：分割为2个三角形，a=180°，b=180°，$a+b=180°+180°=360°$，A选项可能；
2. 直线经过矩形的1个顶点和对边上1个非顶点的点：分割为1个三角形和1个四边形，a=180°，b=360°，$a+b=180°+360°=540°$，B选项可能；
3. 直线经过矩形一组对边上的两个非顶点的点：分割为2个四边形，a=360°，b=360°，$a+b=360°+360°=720°$，D选项可能。
C选项$630°÷180°=3.5$，不是整数，不符合a+b是180°整数倍的规律，因此不可能。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和定理；图形的分割
【点评】
本题解题的核心是抓住多边形内角和为180°整数倍的特点，可快速排除错误选项，也可通过分类讨论所有分割情况验证结果，两种方法结合使用能提高解题的准确率。
【难度系数】
0.7
2. 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm,则菱形的面积为 (
A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D
)A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，菱形面积等于两条对角线乘积的一半。本题已知菱形边长和一条对角线长度，优先选择对角线法计算面积，步骤如下：1. 先根据对角线互相垂直平分，得到已知对角线的一半长度；2. 对角线和菱形边长构成直角三角形，用勾股定理求出另一条对角线的一半长度，进而得到另一条对角线的全长；3. 代入面积公式计算即可。
【解析】
已知菱形的边长为2cm，一条对角线长为2cm。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，这条已知对角线的一半长为：$2÷2=1\mathrm{cm}$。
设另一条对角线的一半长为$x$ cm，对角线与菱形的边构成直角三角形，斜边为菱形边长2cm，由勾股定理得：
$x^2 + 1^2 = 2^2$
解得$x^2=3$，即$x=\sqrt{3}$（长度为正，舍去负根）。
因此另一条对角线的全长为$2\sqrt{3}$ cm。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2}×d_1×d_2$（$d_1、d_2$为两条对角线的长度），代入数据得：
$S=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形相关性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的特点，结合勾股定理求出未知对角线的长度，再代入面积公式求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，菱形面积等于两条对角线乘积的一半。本题已知菱形边长和一条对角线长度，优先选择对角线法计算面积，步骤如下：1. 先根据对角线互相垂直平分，得到已知对角线的一半长度；2. 对角线和菱形边长构成直角三角形，用勾股定理求出另一条对角线的一半长度，进而得到另一条对角线的全长；3. 代入面积公式计算即可。
【解析】
已知菱形的边长为2cm，一条对角线长为2cm。
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，这条已知对角线的一半长为：$2÷2=1\mathrm{cm}$。
设另一条对角线的一半长为$x$ cm，对角线与菱形的边构成直角三角形，斜边为菱形边长2cm，由勾股定理得：
$x^2 + 1^2 = 2^2$
解得$x^2=3$，即$x=\sqrt{3}$（长度为正，舍去负根）。
因此另一条对角线的全长为$2\sqrt{3}$ cm。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2}×d_1×d_2$（$d_1、d_2$为两条对角线的长度），代入数据得：
$S=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形相关性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的特点，结合勾股定理求出未知对角线的长度，再代入面积公式求解即可。
【难度系数】
0.7
3.若一个菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是（
A.10
B.8
C.6
D.5
D
）A.10
B.8
C.6
D.5
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，由此可知两条对角线的一半和菱形的边长能构成直角三角形，边长为该直角三角形的斜边。接下来先计算对角线一半的长度，再用勾股定理即可求出边长。
【解析】
解：
∵菱形的对角线互相垂直且平分，
∴两条对角线长度的一半分别为：$6÷2=3$，$8÷2=4$，
菱形的边长与两条对角线的一半构成直角三角形，边长为斜边，
根据勾股定理可得，边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考察菱形对角线的性质与勾股定理的结合应用，熟练掌握特殊几何图形的基本性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，由此可知两条对角线的一半和菱形的边长能构成直角三角形，边长为该直角三角形的斜边。接下来先计算对角线一半的长度，再用勾股定理即可求出边长。
【解析】
解：
∵菱形的对角线互相垂直且平分，
∴两条对角线长度的一半分别为：$6÷2=3$，$8÷2=4$，
菱形的边长与两条对角线的一半构成直角三角形，边长为斜边，
根据勾股定理可得，边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考察菱形对角线的性质与勾股定理的结合应用，熟练掌握特殊几何图形的基本性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.8
4.若一个平行四边形各内角的平分线围成一个四边形,则这个四边形一定是 (
A.矩形
B.平行四边形
C.菱形
D.正方形
A
)A.矩形
B.平行四边形
C.菱形
D.正方形
答案
4.A
解析
【分析】
解题时可从平行四边形的角的性质入手：首先平行四边形相邻内角互补，和为180°，而角平分线会将每个内角分为两个相等的半角，据此可计算出相邻内角的平分线相交所成的角的度数；再结合特殊四边形的判定定理，即可判断围成的四边形的形状。注意题目针对的是任意平行四边形，无需考虑正方形这类特殊情况。
【解析】
已知原四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，其相邻两个内角互补，即相邻内角和为180°。
设平行四边形相邻两个内角为∠α和∠β，则$∠α+∠β=180°$。
∵ 两个角的平分线分别平分∠α和∠β，
∴ 两个半角的和为$\frac{1}{2}∠α+\frac{1}{2}∠β=\frac{1}{2}(∠α+∠β)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ 两条角平分线相交所成的角为$180°-90°=90°$，即直角。
同理可证，各内角平分线围成的四边形的其余三个内角也均为90°。
根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，可知该围成的四边形是矩形。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题考查平行四边形性质与矩形判定的综合应用，解题核心是利用平行四边形邻角互补的特征，结合角平分线的定义推导得出新四边形的内角为直角，易错点是容易混淆特殊四边形的判定，误将围成的四边形判定为正方形。
【难度系数】
0.7
解题时可从平行四边形的角的性质入手：首先平行四边形相邻内角互补，和为180°，而角平分线会将每个内角分为两个相等的半角，据此可计算出相邻内角的平分线相交所成的角的度数；再结合特殊四边形的判定定理，即可判断围成的四边形的形状。注意题目针对的是任意平行四边形，无需考虑正方形这类特殊情况。
【解析】
已知原四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，其相邻两个内角互补，即相邻内角和为180°。
设平行四边形相邻两个内角为∠α和∠β，则$∠α+∠β=180°$。
∵ 两个角的平分线分别平分∠α和∠β，
∴ 两个半角的和为$\frac{1}{2}∠α+\frac{1}{2}∠β=\frac{1}{2}(∠α+∠β)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ 两条角平分线相交所成的角为$180°-90°=90°$，即直角。
同理可证，各内角平分线围成的四边形的其余三个内角也均为90°。
根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，可知该围成的四边形是矩形。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题考查平行四边形性质与矩形判定的综合应用，解题核心是利用平行四边形邻角互补的特征，结合角平分线的定义推导得出新四边形的内角为直角，易错点是容易混淆特殊四边形的判定，误将围成的四边形判定为正方形。
【难度系数】
0.7
5.如图18-19,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为 (
A.$\sqrt{80}$
B.$\sqrt{48}$
C.10
D.8
A
)A.$\sqrt{80}$
B.$\sqrt{48}$
C.10
D.8
答案
5.A
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质和矩形对边平行的性质，通过证明三角形全等得到CE的长度，再结合垂直平分线性质得到AE=CE，在直角三角形ABE中用勾股定理求出AB的长度，最后在直角三角形ABC中用勾股定理计算AC的长度即可。解题第一步可先连接AE，构造直角三角形和全等三角形，便于后续计算。
【解析】
设AC与EF交于点O，连接AE。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=CE，∠AOF=∠COE=90°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠OAF=∠OCE。
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OCE \\OA=OC \\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴CE=AF=5，
∴AE=CE=5，BC=BE+CE=3+5=8。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2 - BE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=\sqrt{80}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于矩形与几何计算的综合题，解题关键是合理构造辅助线，结合全等三角形、垂直平分线性质得到未知线段长度，再运用勾股定理求解，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质和矩形对边平行的性质，通过证明三角形全等得到CE的长度，再结合垂直平分线性质得到AE=CE，在直角三角形ABE中用勾股定理求出AB的长度，最后在直角三角形ABC中用勾股定理计算AC的长度即可。解题第一步可先连接AE，构造直角三角形和全等三角形，便于后续计算。
【解析】
设AC与EF交于点O，连接AE。
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，AE=CE，∠AOF=∠COE=90°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠OAF=∠OCE。
在△AOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OCE \\OA=OC \\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴CE=AF=5，
∴AE=CE=5，BC=BE+CE=3+5=8。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2 - BE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=\sqrt{80}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于矩形与几何计算的综合题，解题关键是合理构造辅助线，结合全等三角形、垂直平分线性质得到未知线段长度，再运用勾股定理求解，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
