登录
四、正方形的性质与判定
1. 下列说法不正确的是 （
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
1. 下列说法不正确的是 （
D
）A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查正方形的判定，解题核心是明确正方形是同时具备矩形和菱形全部性质的特殊平行四边形，因此判定正方形时只需判断该图形是否同时满足矩形和菱形的判定条件即可，我们可以逐个分析选项，结合特殊平行四边形的判定定理判断正误。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 矩形的性质是四个角均为直角、对边相等，若添加“一组邻边相等”的条件，则四条边都相等，此时该图形同时具备矩形和菱形的特征，是正方形，故A说法正确，不符合题意；
B. 菱形的性质是四条边相等、对角线互相垂直，若添加“对角线相等”的条件，则该图形同时具备菱形和矩形的特征，是正方形，故B说法正确，不符合题意；
C. 矩形的性质是对角线相等、四个角为直角，若添加“对角线互相垂直”的条件，则该图形同时具备矩形和菱形的特征，是正方形，故C说法正确，不符合题意；
D. 根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，矩形不一定是正方形（还需满足邻边相等的条件才是正方形），故D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查各类特殊平行四边形的判定条件及相互之间的关联，解题的关键是牢记各类特殊四边形的判定定理，避免不同图形的判定条件混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查正方形的判定，解题核心是明确正方形是同时具备矩形和菱形全部性质的特殊平行四边形，因此判定正方形时只需判断该图形是否同时满足矩形和菱形的判定条件即可，我们可以逐个分析选项，结合特殊平行四边形的判定定理判断正误。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 矩形的性质是四个角均为直角、对边相等，若添加“一组邻边相等”的条件，则四条边都相等，此时该图形同时具备矩形和菱形的特征，是正方形，故A说法正确，不符合题意；
B. 菱形的性质是四条边相等、对角线互相垂直，若添加“对角线相等”的条件，则该图形同时具备菱形和矩形的特征，是正方形，故B说法正确，不符合题意；
C. 矩形的性质是对角线相等、四个角为直角，若添加“对角线互相垂直”的条件，则该图形同时具备矩形和菱形的特征，是正方形，故C说法正确，不符合题意；
D. 根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，矩形不一定是正方形（还需满足邻边相等的条件才是正方形），故D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查各类特殊平行四边形的判定条件及相互之间的关联，解题的关键是牢记各类特殊四边形的判定定理，避免不同图形的判定条件混淆。
【难度系数】
0.8
2. 如图18-15,正方形ABCD的边长为1,E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于（
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
B
）A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察图形特征，正方形的对角线AC是正方形的对称轴，根据轴对称性质，对称轴两侧对应的图形面积相等。可以发现AC左侧的阴影部分和AC右侧对应的空白区域关于AC对称，二者面积相等，因此可通过割补法将分散的阴影面积转化为规则图形的面积，即阴影总面积等于正方形面积的一半，再代入边长计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD是轴对称图形，对角线AC是它的一条对称轴，
根据轴对称的性质可得：AC左侧的阴影部分与AC右侧对应位置的空白部分面积相等，
因此图中所有阴影部分的总面积等于正方形ABCD面积的一半，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴正方形ABCD的面积为$1×1=1$，
∴阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，无需分别计算各块阴影的面积，利用轴对称性质进行割补转化，将不规则阴影面积转化为规则的正方形面积的一半，简化了计算过程，是处理此类面积问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，正方形的对角线AC是正方形的对称轴，根据轴对称性质，对称轴两侧对应的图形面积相等。可以发现AC左侧的阴影部分和AC右侧对应的空白区域关于AC对称，二者面积相等，因此可通过割补法将分散的阴影面积转化为规则图形的面积，即阴影总面积等于正方形面积的一半，再代入边长计算即可。
【解析】
解：
∵正方形ABCD是轴对称图形，对角线AC是它的一条对称轴，
根据轴对称的性质可得：AC左侧的阴影部分与AC右侧对应位置的空白部分面积相等，
因此图中所有阴影部分的总面积等于正方形ABCD面积的一半，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴正方形ABCD的面积为$1×1=1$，
∴阴影部分的面积为$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，无需分别计算各块阴影的面积，利用轴对称性质进行割补转化，将不规则阴影面积转化为规则的正方形面积的一半，简化了计算过程，是处理此类面积问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
3. 如图18-16,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
(1)求证:BE=AF;
(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.
图18-16
(1)求证:BE=AF;
(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.
图18-16
答案
3.(1)
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BAE = ∠ADF=90°,AB=DA=CD.
∵ DE=CF,
∴ AE=DF.在△BAE和△ADF中,$\begin{cases} AB=DA, \\ ∠BAE=∠ADF, \\ AE=DF, \end{cases}$
∴ △BAE≌△ADF(SAS).
∴ BE=AF.
(2)由(1),得△BAE ≌ △ADF.
∴ ∠EBA= ∠FAD.
∴ ∠GAE+∠AEG=90°.
∴ ∠AGE=90°.
∵ AB = 4, DE = 1,
∴ AE = 3.
∴ BE = $\sqrt{AB^2+AE^2}$ = $\sqrt{4^2+3^2}$ = 5.又
∵ 在Rt△ABE中, $\frac{1}{2}AB×AE$ = $\frac{1}{2}BE×AG$,
∴ $AG = \frac{AB×AE}{BE} = \frac{4×3}{5} = \frac{12}{5}$.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠BAE = ∠ADF=90°,AB=DA=CD.
∵ DE=CF,
∴ AE=DF.在△BAE和△ADF中,$\begin{cases} AB=DA, \\ ∠BAE=∠ADF, \\ AE=DF, \end{cases}$
∴ △BAE≌△ADF(SAS).
∴ BE=AF.
(2)由(1),得△BAE ≌ △ADF.
∴ ∠EBA= ∠FAD.
∴ ∠GAE+∠AEG=90°.
∴ ∠AGE=90°.
∵ AB = 4, DE = 1,
∴ AE = 3.
∴ BE = $\sqrt{AB^2+AE^2}$ = $\sqrt{4^2+3^2}$ = 5.又
∵ 在Rt△ABE中, $\frac{1}{2}AB×AE$ = $\frac{1}{2}BE×AG$,
∴ $AG = \frac{AB×AE}{BE} = \frac{4×3}{5} = \frac{12}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明BE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用正方形的性质得到等边、等角，再结合已知DE=CF推导得到AE=DF，即可用SAS判定△BAE≌△ADF，从而得到BE=AF。
(2) 要求AG的长，先由第一问的全等推导角的关系，证明BE⊥AF，可知AG是Rt△ABE斜边上的高。先通过勾股定理求出BE的长度，再利用直角三角形等面积法（两直角边乘积的一半=斜边×斜边上高的一半），即可求出AG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAE = ∠ADF=90°，AB=DA=CD。
∵ DE=CF，
∴ AD-DE=CD-CF，即AE=DF。
在△BAE和△ADF中，
$\begin{cases} AB=DA, \\ ∠BAE=∠ADF, \\ AE=DF, \end{cases}$
∴ △BAE≌△ADF(SAS)，
∴ BE=AF。
(2) 解：由(1)得△BAE ≌ △ADF，
∴ ∠EBA= ∠FAD，
∴ ∠FAD +∠AEG = ∠EBA +∠AEG = 90°，
∴ ∠AGE=90°，即AG⊥BE。
∵ AB = 4，DE = 1，
∴ AE = AD - DE = 4 - 1 = 3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE = $\sqrt{AB^2+AE^2}$ = $\sqrt{4^2+3^2}$ = 5。
又
∵ Rt△ABE的面积可表示为$\frac{1}{2}AB×AE$，也可表示为$\frac{1}{2}BE×AG$，
∴ $\frac{1}{2}AB×AE = \frac{1}{2}BE×AG$，
整理得 $AG = \frac{AB×AE}{BE} = \frac{4×3}{5} = \frac{12}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析，BE=AF；
(2) $\frac{12}{5}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是正方形的常规综合题，第一问通过全等证明线段相等是几何中证明线段相等的常用方法，第二问先利用全等推导垂直关系，再用等面积法求直角三角形斜边上的高，是非常实用的解题技巧，要求熟练掌握正方形性质、全等判定及直角三角形的相关计算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先利用正方形的性质得到等边、等角，再结合已知DE=CF推导得到AE=DF，即可用SAS判定△BAE≌△ADF，从而得到BE=AF。
(2) 要求AG的长，先由第一问的全等推导角的关系，证明BE⊥AF，可知AG是Rt△ABE斜边上的高。先通过勾股定理求出BE的长度，再利用直角三角形等面积法（两直角边乘积的一半=斜边×斜边上高的一半），即可求出AG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAE = ∠ADF=90°，AB=DA=CD。
∵ DE=CF，
∴ AD-DE=CD-CF，即AE=DF。
在△BAE和△ADF中，
$\begin{cases} AB=DA, \\ ∠BAE=∠ADF, \\ AE=DF, \end{cases}$
∴ △BAE≌△ADF(SAS)，
∴ BE=AF。
(2) 解：由(1)得△BAE ≌ △ADF，
∴ ∠EBA= ∠FAD，
∴ ∠FAD +∠AEG = ∠EBA +∠AEG = 90°，
∴ ∠AGE=90°，即AG⊥BE。
∵ AB = 4，DE = 1，
∴ AE = AD - DE = 4 - 1 = 3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE = $\sqrt{AB^2+AE^2}$ = $\sqrt{4^2+3^2}$ = 5。
又
∵ Rt△ABE的面积可表示为$\frac{1}{2}AB×AE$，也可表示为$\frac{1}{2}BE×AG$，
∴ $\frac{1}{2}AB×AE = \frac{1}{2}BE×AG$，
整理得 $AG = \frac{AB×AE}{BE} = \frac{4×3}{5} = \frac{12}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析，BE=AF；
(2) $\frac{12}{5}$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是正方形的常规综合题，第一问通过全等证明线段相等是几何中证明线段相等的常用方法，第二问先利用全等推导垂直关系，再用等面积法求直角三角形斜边上的高，是非常实用的解题技巧，要求熟练掌握正方形性质、全等判定及直角三角形的相关计算方法。
【难度系数】
0.7
