三、菱形的性质与判定
1.菱形不具备的性质是 （）

A.四条边都相等
B.对角线一定相等
C.是轴对称图形
D.是中心对称图形

1.B

【分析】
解题时首先要回忆菱形的核心性质，从边、对角线、对称性三个维度梳理，再逐一比对每个选项，排除属于菱形性质的选项，就能选出符合要求的答案。菱形的核心性质为：边的层面，四条边都相等、对边平行；对角线层面，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；对称性层面，既是轴对称图形又是中心对称图形。
【解析】
对各选项逐一判断：
A. 四条边都相等是菱形的基本性质，菱形具备该性质，不符合题意，排除；
B. 菱形的对角线仅满足互相垂直平分，没有相等的性质，只有正方形这种特殊菱形的对角线才相等，因此该性质菱形不具备，符合题意；
C. 菱形沿两条对角线所在直线对折后，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形，具备该性质，不符合题意，排除；
D. 菱形绕对角线交点旋转180°后能与原图形完全重合，属于中心对称图形，具备该性质，不符合题意，排除。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要注意区分菱形和矩形的对角线性质，避免混淆两种特殊平行四边形的性质就能快速得分。
【难度系数】
0.9

2. 如图18-10①,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形,甲、乙二人的作法如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN,分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形,如图18-10②.
乙:作∠BAD,∠ABC的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形,如图18-10③.
根据两人的作法可判断 ()

图18-10

A.甲正确,乙错误
B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误

2.C

【分析】
要判断甲乙两人的作法是否正确，需结合菱形的判定定理，分别对两人所作的四边形进行推导验证。首先回忆菱形的判定方法：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。先推导甲所作的四边形：利用平行四边形性质和垂直平分线性质证得四边形ANCM是平行四边形，再结合对角线垂直即可判定为菱形；再推导乙所作的四边形：利用平行四边形性质和角平分线性质证得四边形ABEF是平行四边形，再结合一组邻边相等即可判定为菱形。
【解析】
验证甲的作法：
已知四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ OAM=∠ OCN$。
∵MN是AC的垂直平分线，
∴$OA=OC$，$∠ AOM=∠ CON=90°$。
在$△ AOM$和$△ CON$中：
$\begin{cases}∠ OAM=∠ OCN\\OA=OC\\∠ AOM=∠ CON\end{cases}$
∴$△ AOM≌△ CON(\mathrm{ASA})$，
∴$OM=ON$。
∵$OA=OC$，$OM=ON$，
∴四边形ANCM是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵$MN⊥ AC$，
∴平行四边形ANCM是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），故甲的作法正确。
验证乙的作法：
已知四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ AFB=∠ FBE$，$∠ AEB=∠ EAF$。
∵BF平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABF=∠ FBE$，
∴$∠ ABF=∠ AFB$，
∴$AB=AF$。
∵AE平分$∠ BAD$，
∴$∠ BAE=∠ EAF$，
∴$∠ BAE=∠ AEB$，
∴$AB=BE$。
∴$AF=BE$，又$AF// BE$，
∴四边形ABEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵$AB=AF$，
∴平行四边形ABEF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故乙的作法正确。
综上，甲、乙的作法均正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合动手操作考查特殊四边形的判定，需要熟练掌握平行四边形、菱形的性质和判定定理，能结合角平分线、垂直平分线的性质推导边角关系，是对几何基础判定能力的常规考查。
【难度系数】
0.7

3. 如图18-11,菱形ABCD的周长是4 cm,∠ABC=60°,那么这个菱形的对角线AC的长是 ()

A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm

3.A

【分析】
解题时先回忆菱形的基本性质：菱形的四条边长度相等，因此可以先根据周长求出菱形的边长。再结合已知的∠ABC=60°，观察到AB和BC是菱形的邻边，长度相等，可判断△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质，就能直接得到对角线AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA（菱形的四条边相等），
∵菱形ABCD的周长是4 cm，
∴AB=BC=4÷4=1 cm，
又
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AC=AB=1 cm。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心是结合菱形的边的性质和等边三角形的判定进行推导，解题关键是准确识别出△ABC为等边三角形，熟练掌握相关几何图形的基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

4. 如图18-12,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC = 130°,则∠AOE的度数为.

图18-11

图18-12

4.65°

【分析】
要计算∠AOE的度数，可按以下思路推导：首先利用菱形邻角互补的性质，结合已知∠ADC的度数求出∠BAD的度数；再根据菱形对角线平分一组对角的性质，得到∠OAE的度数；最后由OE⊥AB可知△AEO是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠AOE的大小。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB//DC，∠BAD + ∠ADC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），且AC平分∠BAD（菱形的对角线平分一组对角）。
∵ ∠ADC = 130°，
∴ ∠BAD = 180° - 130° = 50°，
∴ ∠OAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
∵ OE⊥AB，
∴ ∠AEO = 90°，
在Rt△AEO中，∠AOE + ∠OAE = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠AOE = 90° - 25° = 65°。
【答案】
65°
【知识点】
菱形的性质；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题主要考查菱形性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握菱形角、对角线的相关性质，结合直角三角形的角度关系推导计算，属于基础题型，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75

5. 如图18-13,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为$(3,0),(-2,0)$,点D在y轴上,则点C的坐标是.

5.(-5,4)

【分析】
解题时先利用菱形的边的性质推导边长：首先根据A、B两点都在x轴上的坐标特征，先算出菱形的边长AB的长度，菱形四条边长度相等，因此AD长度等于AB；再结合点D在y轴上的条件，在直角三角形AOD中用勾股定理算出OD的长度，得到D点坐标；最后根据菱形对边平行且相等的性质，CD和AB平行且长度相等，AB是沿x轴方向的线段，因此C点纵坐标和D点一致，横坐标向左平移AB的长度即可得到C点坐标。
【解析】
1. 计算菱形边长：已知A(3,0)，B(-2,0)，两点均在x轴上，因此AB的长度为$3 - (-2)=5$。
2. 求D点坐标：因为四边形ABCD是菱形，所以$AD=AB=5$。点D在y轴上，横坐标为0，在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$OA=3$，$AD=5$，由勾股定理得$OD=\sqrt{AD^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，因此D点坐标为$(0,4)$。
3. 求C点坐标：菱形对边平行且相等，因此$CD// AB$，$CD=AB=5$。AB沿x轴方向，因此CD也沿水平方向，C点纵坐标和D点相同为4，又C在D左侧，所以C点横坐标为$0-5=-5$，即C点坐标为$(-5,4)$。
【答案】
$(-5,4)$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题是平面直角坐标系和菱形性质结合的基础题，解题核心是熟练运用菱形边的性质，结合勾股定理求出未知点的坐标，解题时注意坐标系中平行于坐标轴的线段的坐标特征即可。
【难度系数】
0.75

6. 如图18-14,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD,BC上的点,且$DE=BF,AC ⊥ EF$. 求证:四边形AECF是菱形.

图18-14

6.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=BC,AD//BC.又
∵ DE=BF,
∴ AE=CF.
∵ AE//CF,
∴ 四边形AECF是平行四边形.
又
∵ AC⊥EF,
∴ 四边形AECF是菱形.

【分析】
要证明四边形AECF是菱形，可先证它是平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定为菱形。首先利用平行四边形ABCD的性质，得到AD与BC平行且相等，结合已知DE=BF，可推出AE与CF平行且相等，先证得AECF是平行四边形，再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD//BC。
又
∵ DE=BF，
∴ AD-DE=BC-BF，即AE=CF。
∵ AE//CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ AC⊥EF，
∴ 四边形AECF是菱形。
【答案】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD//BC。
又
∵ DE=BF，
∴ AE=CF。
∵ AE//CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
又
∵ AC⊥EF，
∴ 四边形AECF是菱形。
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是熟练掌握平行四边形和菱形的相关定理，按照逻辑顺序逐步推导即可完成证明。
【难度系数】
0.8