5. 已知:如图18-9,在△ABC中,D是BC边上的一点,连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AD=CF,试判断四边形AFDC是什么样的四边形,并证明你的结论.

5.(1)由题意,可得AF//DC,
∴ ∠AFE=∠DCE.
∵ E是AD的中点,
∴ AE = DE.又
∵ ∠AEF=∠DEC,
∴ △AEF≌ △DEC (AAS).
∴ AF=DC. (2)矩形.证明如下:由(1)知,AF=DC,且AF//DC.
∴ 四边形AFDC是平行四边形.
又
∵ AD=CF,
∴ 平行四边形AFDC是矩形,即四边形AFDC是矩形.

【分析】
(1)要证明AF=DC，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：已知AF//BC可得一组内错角相等，E是AD中点可得一组对应边相等，结合对顶角相等的条件，即可用AAS判定△AEF和△DEC全等，从而得到对应边AF=DC；(2)先由(1)的结论得到AF平行且等于DC，可先判定四边形AFDC是平行四边形，再结合对角线AD=CF的条件，根据矩形的判定定理即可得出四边形的形状。
【解析】
(1)证明：
$\because AF// BC$，
$\therefore ∠ AFE=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等），
$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore AE=DE$，
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ AFE=∠ DCE \\∠ AEF=∠ DEC\mathrm{（对顶角相等）} \\AE=DE\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ DEC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=DC$。
(2)四边形$AFDC$是矩形，证明如下：
由(1)知$AF=DC$，且$AF// DC$，
$\therefore$ 四边形$AFDC$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又$\because AD=CF$，
$\therefore$ 平行四边形$AFDC$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)四边形AFDC是矩形，证明见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了三角形全等和特殊四边形的判定，解题时按照“证全等得边等→判定平行四边形→结合对角线条件判定矩形”的逻辑逐步推导即可，熟练掌握相关判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7