二、矩形的判定
1. 如图18-5,在$□ ABCD$中,M,N是BD上两点,$BM = DN$,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 ()

图18-5

A.$OM=\dfrac{1}{2}AC$
B.$MB=MO$
C.$BD⊥ AC$
D.$∠ AMB=∠ CND$

1.A

【分析】
首先利用平行四边形ABCD的性质得到对角线互相平分，结合已知BM=DN，可先证出四边形AMCN是平行四边形；再根据矩形的判定定理，逐一分析各选项是否满足矩形的判定条件即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分），
∵BM=DN，
∴OB - BM = OD - DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
接下来分析各选项：
A选项：若$OM=\dfrac{1}{2}AC$，则$MN=2OM=AC$，即平行四边形AMCN的对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形AMCN是矩形，符合要求；
B选项：若$MB=MO$，无法推出平行四边形AMCN的对角线相等或存在直角，不能判定为矩形；
C选项：若$BD⊥AC$，则平行四边形AMCN的对角线互相垂直，可判定为菱形，不是矩形；
D选项：若$∠AMB=∠CND$，是平行四边形可自然满足的条件，无法判定为矩形。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形的判定
【点评】
本题解题的核心是先结合已知条件推导得出四边形AMCN已是平行四边形，再结合矩形的判定定理筛选符合要求的添加条件，需要熟练掌握特殊四边形的判定和性质。
【难度系数】
0.7

Ⅲ.两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求.

图18-6
乙:如图18-6②,Ⅰ.连接AC,作线段AC的垂直平分线,交AC于点M;
Ⅱ.连接BM并延长,在延长线上取一
点D,使$MD=MB$,连接AD,CD,四边形ABCD即为所求.
对于两人的作业,下列说法正确的是
()

A.两人都对
B.两人都不对
C.甲对,乙不对
D.甲不对,乙对

2.A

【分析】
要判断甲乙两人的作图是否正确，需结合平行四边形、矩形的判定定理，分别分析两人作出的四边形是否满足矩形的判定条件。首先回忆判定规则：先判断四边形是否为平行四边形，再结合已知的直角条件，即可判断是否为矩形。先分析甲的作图特征，再分析乙的作图特征，分别验证即可。
【解析】
1. 验证甲的作法：
由甲的作图可得，四边形ABCD的两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形。又已知$∠ B=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得平行四边形ABCD是矩形，故甲的作法正确。
2. 验证乙的作法：
由乙的作图可知，AC的垂直平分线与AC交于点M，因此M是AC的中点，即$AM=MC$；又作图得$MD=MB$，即四边形ABCD的对角线互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形。又已知$∠ B=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可得平行四边形ABCD是矩形，故乙的作法也正确。
综上两人都对，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定；尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，解题的核心是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理，能从作图步骤中提取边、对角线的数量关系特征即可快速判断。
【难度系数】
0.7

3. 如图18-7，P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD。若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为（）


A.10
B.12
C.16
D.18

3.C 提示:作PM⊥AD于点M,交BC于点N.
则四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形.
∴ S△ADC = S△ABC,
S△AMP = S△AEP, S△PBE = S△PBN, S△PDF = S△PDM, S△PFC = S△PCN.
∴ S△PDF = S△PBE = $\frac{1}{2}×2×8=8$.
∴ S阴影=8+8=16.

【分析】
要计算阴影部分的面积，直接求两个阴影三角形的底和高条件不足，可利用矩形的性质做等积转化求解。首先作辅助线PM垂直AD，交BC于N，将大矩形拆分为4个小矩形，再结合矩形对角线平分矩形面积的性质，推导两个阴影三角形的面积关系，即可快速计算出阴影总面积。
【解析】
作PM⊥AD于点M，交BC于点N，如图所示。
则四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形。
根据矩形对角线的性质可得：
$S_{△ ADC} = S_{△ ABC}$，
$S_{△ AMP} = S_{△ AEP}$，$S_{△ PBE} = S_{△ PBN}$，$S_{△ PDF} = S_{△ PDM}$，$S_{△ PFC} = S_{△ PCN}$，
由此可推出$S_{△ PDF} = S_{△ PBE}$。
已知AE=2，PF=8，可得$S_{△ PBE} = S_{△ PDF} = \frac{1}{2} × 2 × 8 = 8$，
因此阴影部分总面积为$8 + 8 = 16$。
【答案】
C

【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，等积变形
【点评】
本题解题核心是利用矩形的等积性质，通过作辅助线拆分图形，无需计算未知边长即可快速得到阴影部分面积，掌握此类等积转化的思路能大幅提高几何面积题的解题效率。
【难度系数】
0.6

4. 如图18-8,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作$□ ABDE$,连接AD,EC.

图18-8
(1)求证:$△ ADC≌△ ECD$;
(2)若$BD=CD$,求证:四边形ADCE是矩形.

4.(1)
∵ 四边形ABDE是平行四边形,
∴ AB// DE, AB = DE.
∴ ∠B= ∠EDC.
又
∵ AB= AC,
∴ AC= DE, ∠B = ∠ACD.
∴ ∠EDC=∠ACD.
∵ 在△ADC和△ECD中,
$\begin{cases} AC=ED, \\ ∠ACD=∠EDC, \\ DC=CD, \end{cases}$
∴ △ADC≌ △ECD (SAS).
(2)
∵ 四边形ABDE是平行四边形,
∴ BD//AE, BD=AE.
∴ AE//CD.又
∵ BD=CD,
∴ AE=CD.
∴ 四边形ADCE是平行四边形.在△ABC中,AB=AC, BD = CD,
∴ AD⊥BC.
∴ ∠ADC = 90°.
∴ 四边形ADCE是矩形.

【分析】
(1) 要证明△ADC≌△ECD，优先选用SAS判定定理推导：首先利用平行四边形的性质得到AB与DE的数量、位置关系，推出角相等；再结合AB=AC的条件，将边、角的等量关系转换到△ADC和△ECD中，最后结合公共边即可满足全等判定条件。
(2) 要证明四边形ADCE是矩形，按照“先证平行四边形，再证有一个内角为直角”的思路推导：首先利用平行四边形ABDE的性质和BD=CD的条件，推出AE与CD平行且相等，先判定ADCE是平行四边形；再利用等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC，即可判定该平行四边形为矩形。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABDE是平行四边形，
∴ $AB// DE$，$AB = DE$，
∴ $∠B= ∠EDC$。
又
∵ $AB= AC$，
∴ $AC= DE$，$∠B = ∠ACD$，
∴ $∠EDC=∠ACD$。
∵ 在△ADC和△ECD中，
$\begin{cases} AC=ED, \\ ∠ACD=∠EDC, \\ DC=CD, \end{cases}$
∴ $△ ADC≌ △ ECD\ (\mathrm{SAS})$。
(2)
∵ 四边形ABDE是平行四边形，
∴ $BD// AE$，$BD=AE$，
∴ $AE// CD$。
又
∵ $BD=CD$，
∴ $AE=CD$，
∴ 四边形ADCE是平行四边形。
在△ABC中，$AB=AC$，$BD = CD$，
∴ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ADC = 90°$，
∴ 四边形ADCE是矩形。
【答案】
(1) $△ ADC≌ △ ECD$，得证；
(2) 四边形ADCE是矩形，得证。
【知识点】
全等三角形的判定，平行四边形的性质与判定，矩形的判定
【点评】
本题是四边形章节的典型基础题，综合考查了平行四边形、等腰三角形、矩形的相关性质和判定，解题关键是结合已知条件逐步推导边、角的等量关系，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7