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13. 如图18-27,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形:△ABD,△BCE,△ACF,请解答下列问题:
(1)求证:四边形AFED是平行四边形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED是菱形?
图18-27
(1)求证:四边形AFED是平行四边形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED是菱形?
图18-27
答案
13.(1)
∵ △ABD,△BEC都是等边三角形,
∴ BD = AB, BE = BC, ∠DBA = ∠EBC = 60°.
∴ ∠DBE = 60° - ∠EBA, ∠ABC = 60° - ∠EBA.
∴ ∠DBE=∠ABC.
∴ △DBE≌△ABC(SAS).
∴ DE=AC.又
∵ △ACF是等边三角形,
∴ AC=AF.
∴ DE=AF.同理可得△ABC≌△FEC.
∴ EF=AB=DA.
∵ DE=AF,DA=EF,
∴ 四边形AFED是平行四边形.
(2)若四边形AFED是矩形,则∠DAF=90°.
∵ ∠DAB=∠FAC=60°,
∴ ∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.
∴ 当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形AFED是矩形.
(3)当△ABC满足∠BAC≠60°且AB=AC时,四边形AFED是菱形.理由如下:
∵ 此时AB=AC=AF=AD,四边形AFED是平行四边形,
∴ 四边形AFED是菱形.
∵ △ABD,△BEC都是等边三角形,
∴ BD = AB, BE = BC, ∠DBA = ∠EBC = 60°.
∴ ∠DBE = 60° - ∠EBA, ∠ABC = 60° - ∠EBA.
∴ ∠DBE=∠ABC.
∴ △DBE≌△ABC(SAS).
∴ DE=AC.又
∵ △ACF是等边三角形,
∴ AC=AF.
∴ DE=AF.同理可得△ABC≌△FEC.
∴ EF=AB=DA.
∵ DE=AF,DA=EF,
∴ 四边形AFED是平行四边形.
(2)若四边形AFED是矩形,则∠DAF=90°.
∵ ∠DAB=∠FAC=60°,
∴ ∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.
∴ 当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形AFED是矩形.
(3)当△ABC满足∠BAC≠60°且AB=AC时,四边形AFED是菱形.理由如下:
∵ 此时AB=AC=AF=AD,四边形AFED是平行四边形,
∴ 四边形AFED是菱形.
解析
【分析】
(1)要证明四边形AFED是平行四边形，可通过“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”推导。首先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，通过角的等量代换得到相等的夹角，证明△DBE≌△ABC，得到DE=AC，再结合等边△ACF的性质得DE=AF；同理证明EF=AD，即可完成证明。
(2)矩形的判定为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，已知四边形AFED是平行四边形，因此只需满足∠DAF=90°，结合等边三角形内角为60°，通过周角360°计算即可得到∠BAC的度数。
(3)菱形的判定为“邻边相等的平行四边形是菱形”，因此需让平行四边形AFED的邻边AD=AF，结合等边三角形性质可得AD=AB、AF=AC，即AB=AC；同时要注意若∠BAC=60°时，点D、A、F共线，无法构成四边形，因此需补充∠BAC≠60°的条件。
【解析】
(1)证明：
∵△ABD、△BEC都是等边三角形，
∴$BD = AB$，$BE = BC$，$∠ DBA = ∠ EBC = 60°$，
∴$∠ DBE = 60° - ∠ EBA$，$∠ ABC = 60° - ∠ EBA$，
∴$∠ DBE=∠ ABC$，
在$△ DBE$和$△ ABC$中：
$\begin{cases} BD=AB \\ ∠ DBE=∠ ABC \\ BE=BC \end{cases}$
∴$△ DBE≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，
∴$DE=AC$，
又
∵△ACF是等边三角形，
∴$AC=AF$，
∴$DE=AF$，
同理可证$△ ABC≌△ FEC$，
∴$EF=AB$，
又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=DA$，
∴$EF=DA$，
∵$DE=AF$，$DA=EF$，
∴四边形AFED是平行四边形。
(2)解：若四边形AFED是矩形，则$∠ DAF=90°$，
∵△ABD、△ACF都是等边三角形，
∴$∠ DAB=∠ FAC=60°$，
∴$∠ BAC=360°-∠ DAB-∠ FAC-∠ DAF=360°-60°-60°-90°=150°$，
即当△ABC满足$∠ BAC=150°$时，四边形AFED是矩形。
(3)解：当△ABC满足$∠ BAC\ne60°$且$AB=AC$时，四边形AFED是菱形，理由如下：
∵△ABD、△ACF都是等边三角形，
∴$AB=AD$，$AC=AF$，
∵$AB=AC$，
∴$AD=AF$，
又
∵四边形AFED是平行四边形，
∴四边形AFED是菱形（若$∠ BAC=60°$，则$∠ DAF=360°-60°-60°-60°=180°$，点D、A、F共线，无法构成四边形，因此需满足$∠ BAC\ne60°$）。
【答案】
(1)四边形AFED是平行四边形，证明见解析；
(2)当$∠ BAC=150°$时，四边形AFED是矩形；
(3)当$∠ BAC\ne60°$且$AB=AC$时，四边形AFED是菱形。
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.特殊平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，将等边三角形、全等三角形与特殊平行四边形的判定相结合，解题核心是利用等边三角形的边、角特性构造全等三角形得到边的等量关系，再结合特殊平行四边形的判定条件反推△ABC需满足的特征，解题时要注意三点共线的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1)要证明四边形AFED是平行四边形，可通过“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”推导。首先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，通过角的等量代换得到相等的夹角，证明△DBE≌△ABC，得到DE=AC，再结合等边△ACF的性质得DE=AF；同理证明EF=AD，即可完成证明。
(2)矩形的判定为“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，已知四边形AFED是平行四边形，因此只需满足∠DAF=90°，结合等边三角形内角为60°，通过周角360°计算即可得到∠BAC的度数。
(3)菱形的判定为“邻边相等的平行四边形是菱形”，因此需让平行四边形AFED的邻边AD=AF，结合等边三角形性质可得AD=AB、AF=AC，即AB=AC；同时要注意若∠BAC=60°时，点D、A、F共线，无法构成四边形，因此需补充∠BAC≠60°的条件。
【解析】
(1)证明：
∵△ABD、△BEC都是等边三角形，
∴$BD = AB$，$BE = BC$，$∠ DBA = ∠ EBC = 60°$，
∴$∠ DBE = 60° - ∠ EBA$，$∠ ABC = 60° - ∠ EBA$，
∴$∠ DBE=∠ ABC$，
在$△ DBE$和$△ ABC$中：
$\begin{cases} BD=AB \\ ∠ DBE=∠ ABC \\ BE=BC \end{cases}$
∴$△ DBE≌△ ABC(\mathrm{SAS})$，
∴$DE=AC$，
又
∵△ACF是等边三角形，
∴$AC=AF$，
∴$DE=AF$，
同理可证$△ ABC≌△ FEC$，
∴$EF=AB$，
又
∵△ABD是等边三角形，
∴$AB=DA$，
∴$EF=DA$，
∵$DE=AF$，$DA=EF$，
∴四边形AFED是平行四边形。
(2)解：若四边形AFED是矩形，则$∠ DAF=90°$，
∵△ABD、△ACF都是等边三角形，
∴$∠ DAB=∠ FAC=60°$，
∴$∠ BAC=360°-∠ DAB-∠ FAC-∠ DAF=360°-60°-60°-90°=150°$，
即当△ABC满足$∠ BAC=150°$时，四边形AFED是矩形。
(3)解：当△ABC满足$∠ BAC\ne60°$且$AB=AC$时，四边形AFED是菱形，理由如下：
∵△ABD、△ACF都是等边三角形，
∴$AB=AD$，$AC=AF$，
∵$AB=AC$，
∴$AD=AF$，
又
∵四边形AFED是平行四边形，
∴四边形AFED是菱形（若$∠ BAC=60°$，则$∠ DAF=360°-60°-60°-60°=180°$，点D、A、F共线，无法构成四边形，因此需满足$∠ BAC\ne60°$）。
【答案】
(1)四边形AFED是平行四边形，证明见解析；
(2)当$∠ BAC=150°$时，四边形AFED是矩形；
(3)当$∠ BAC\ne60°$且$AB=AC$时，四边形AFED是菱形。
【知识点】
1.等边三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.特殊平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，将等边三角形、全等三角形与特殊平行四边形的判定相结合，解题核心是利用等边三角形的边、角特性构造全等三角形得到边的等量关系，再结合特殊平行四边形的判定条件反推△ABC需满足的特征，解题时要注意三点共线的特殊情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1. 下列说法正确的是 （
A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.若$a^2 = b^2$,则$a = b$
D.正方形的对角线互相平分且相等
D
）A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.若$a^2 = b^2$,则$a = b$
D.正方形的对角线互相平分且相等
答案
1.D
解析
【分析】
本题为判断正误类选择题，解题时需逐一分析每个选项，对应相关知识点核对表述是否严谨，注意判定定理的前提条件不能遗漏，也可通过举反例的方式快速排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：菱形的判定定理为“对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形”，仅对角线相等且互相垂直的四边形不一定是菱形（可构造对角线垂直相等但不互相平分的不规则四边形），故A错误；
B选项：矩形的判定定理为“对角线相等的平行四边形是矩形”，对角线相等的四边形还可能是等腰梯形等，故B错误；
C选项：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，例如$a=2$，$b=-2$时，$a^2=b^2=4$但$a≠b$，故C错误；
D选项：正方形是特殊的平行四边形、矩形和菱形，具备对角线互相平分、相等、垂直的性质，该表述正确。
【答案】
D
【知识点】
特殊四边形的判定与性质；平方的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的掌握程度，易错点是遗漏特殊四边形判定中“平行四边形”的前提条件，以及忽略平方相等的两个数可能互为相反数，熟记基础定理和性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
本题为判断正误类选择题，解题时需逐一分析每个选项，对应相关知识点核对表述是否严谨，注意判定定理的前提条件不能遗漏，也可通过举反例的方式快速排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：菱形的判定定理为“对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形”，仅对角线相等且互相垂直的四边形不一定是菱形（可构造对角线垂直相等但不互相平分的不规则四边形），故A错误；
B选项：矩形的判定定理为“对角线相等的平行四边形是矩形”，对角线相等的四边形还可能是等腰梯形等，故B错误；
C选项：若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，例如$a=2$，$b=-2$时，$a^2=b^2=4$但$a≠b$，故C错误；
D选项：正方形是特殊的平行四边形、矩形和菱形，具备对角线互相平分、相等、垂直的性质，该表述正确。
【答案】
D
【知识点】
特殊四边形的判定与性质；平方的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的掌握程度，易错点是遗漏特殊四边形判定中“平行四边形”的前提条件，以及忽略平方相等的两个数可能互为相反数，熟记基础定理和性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
2. 如图18-28,将$△ ABC$沿$BC$方向平移得到$△ DCE$,连接$AD$,下列条件能够判定四边形$ABCD$为菱形的是 (
A.$AB=BC$
B.$AC=BC$
C.$∠ B=60°$
D.$∠ ACB=60°$
A
)A.$AB=BC$
B.$AC=BC$
C.$∠ B=60°$
D.$∠ ACB=60°$
答案
2.A
解析
【分析】
首先根据平移的性质可得AB与DC的位置和数量关系，先判定四边形ABCD是平行四边形，再结合菱形的判定条件（一组邻边相等的平行四边形是菱形），逐一分析选项，找到能使平行四边形邻边相等的条件即可。
【解析】
∵ 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴ AB//DC，且AB=DC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
当AB=BC时，平行四边形ABCD满足邻边相等，此时四边形ABCD是菱形。
其余选项均无法推出平行四边形ABCD的邻边相等，故不能判定为菱形，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题解题的关键是先通过平移的性质确定四边形ABCD为平行四边形，再结合菱形的判定条件筛选正确选项，是对基础几何判定定理的综合考查。
【难度系数】
0.8
首先根据平移的性质可得AB与DC的位置和数量关系，先判定四边形ABCD是平行四边形，再结合菱形的判定条件（一组邻边相等的平行四边形是菱形），逐一分析选项，找到能使平行四边形邻边相等的条件即可。
【解析】
∵ 将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴ AB//DC，且AB=DC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
当AB=BC时，平行四边形ABCD满足邻边相等，此时四边形ABCD是菱形。
其余选项均无法推出平行四边形ABCD的邻边相等，故不能判定为菱形，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题解题的关键是先通过平移的性质确定四边形ABCD为平行四边形，再结合菱形的判定条件筛选正确选项，是对基础几何判定定理的综合考查。
【难度系数】
0.8
3. 如图18-29,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,OA=2,若$□ ABCD$为矩形,则OB的长为 (
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先明确矩形是特殊的平行四边形，先回忆矩形对角线的相关性质：矩形的对角线相等且互相平分。已知OA是对角线AC的一半，OB是对角线BD的一半，结合矩形对角线相等的性质，可推出OA与OB相等，代入已知OA的长度即可求出OB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线AC=BD，
又
∵矩形属于平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
∴$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴OB=OA=2。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查矩形对角线的基本性质，熟记矩形对角线相等且互相平分的特点就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确矩形是特殊的平行四边形，先回忆矩形对角线的相关性质：矩形的对角线相等且互相平分。已知OA是对角线AC的一半，OB是对角线BD的一半，结合矩形对角线相等的性质，可推出OA与OB相等，代入已知OA的长度即可求出OB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的对角线AC=BD，
又
∵矩形属于平行四边形，平行四边形对角线互相平分，
∴$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，
∴OB=OA=2。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查矩形对角线的基本性质，熟记矩形对角线相等且互相平分的特点就能快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 如图18-30,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,连接AF,BE,CE,
DF分别交于点M,N,四边形EMFN是 (
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.无法确定
DF分别交于点M,N,四边形EMFN是 (
B
)A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.无法确定
答案
4.B
解析
【分析】
解题时我们可以按照“先定大类别，再证特殊性质”的思路推导：①首先利用矩形对边平行且相等的性质，结合E、F是AD、BC中点的条件，证明四边形AECF和BEDF都是平行四边形，进而得到四边形EMFN的两组对边分别平行，先确定它是平行四边形；②再结合矩形的对角线相等且互相平分的性质，证明该平行四边形的一组邻边相等，即可判定其为菱形。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，∠BAD=90°，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE//BF且AE=BF，同理可得AE//FC且AE=FC、ED//BF且ED=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，四边形AECF是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形，
又
∵∠BAD=90°，
∴平行四边形ABFE是矩形，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF//EC，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF，
∴四边形EMFN是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵四边形ABFE是矩形，
∴其对角线AF=BE，且对角线互相平分，即点M是BE、AF的中点，
∴EM=$\frac{1}{2}$BE，MF=$\frac{1}{2}$AF，
∴EM=MF，
∴平行四边形EMFN是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题型，需要灵活运用各类特殊四边形的性质和判定定理逐步推导，熟练掌握基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按照“先定大类别，再证特殊性质”的思路推导：①首先利用矩形对边平行且相等的性质，结合E、F是AD、BC中点的条件，证明四边形AECF和BEDF都是平行四边形，进而得到四边形EMFN的两组对边分别平行，先确定它是平行四边形；②再结合矩形的对角线相等且互相平分的性质，证明该平行四边形的一组邻边相等，即可判定其为菱形。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，∠BAD=90°，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE//BF且AE=BF，同理可得AE//FC且AE=FC、ED//BF且ED=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，四边形AECF是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形，
又
∵∠BAD=90°，
∴平行四边形ABFE是矩形，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF//EC，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE//DF，
∴四边形EMFN是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵四边形ABFE是矩形，
∴其对角线AF=BE，且对角线互相平分，即点M是BE、AF的中点，
∴EM=$\frac{1}{2}$BE，MF=$\frac{1}{2}$AF，
∴EM=MF，
∴平行四边形EMFN是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题型，需要灵活运用各类特殊四边形的性质和判定定理逐步推导，熟练掌握基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
