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5. 如图18-31，E是正方形ABCD的边DC上一点，把$△ ADE$绕点A顺时针旋转$90°$到$△ ABF$的位置。若四边形AECF的面积为20，$DE=2$，则AE的长为（
A.4
B.$\sqrt{20}$
C.6
D.$\sqrt{24}$
D
）A.4
B.$\sqrt{20}$
C.6
D.$\sqrt{24}$
答案
5.D
解析
【分析】
解题首先利用旋转的性质：旋转前后的图形全等，可得△ADE与△ABF的面积相等，进而推导出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，先求出正方形边长的平方，再在Rt△ADE中用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF
∴△ADE≌△ABF，即$S_{△ ADE}=S_{△ ABF}$
∵$S_{四边形AECF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ABF}$，$S_{正方形ABCD}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ADE}$
∴$S_{正方形ABCD}=S_{四边形AECF}=20$，即$AD^2=20$
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°
在Rt△ADE中，$DE=2$，由勾股定理得：
$AE^2=AD^2+DE^2=20+2^2=24$
∴$AE=\sqrt{24}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是通过旋转的性质将不规则四边形的面积转化为正方形的面积，再结合勾股定理求解线段长度，对图形面积的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题首先利用旋转的性质：旋转前后的图形全等，可得△ADE与△ABF的面积相等，进而推导出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，先求出正方形边长的平方，再在Rt△ADE中用勾股定理即可求出AE的长度。
【解析】
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF
∴△ADE≌△ABF，即$S_{△ ADE}=S_{△ ABF}$
∵$S_{四边形AECF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ABF}$，$S_{正方形ABCD}=S_{四边形ABCE}+S_{△ ADE}$
∴$S_{正方形ABCD}=S_{四边形AECF}=20$，即$AD^2=20$
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°
在Rt△ADE中，$DE=2$，由勾股定理得：
$AE^2=AD^2+DE^2=20+2^2=24$
∴$AE=\sqrt{24}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是通过旋转的性质将不规则四边形的面积转化为正方形的面积，再结合勾股定理求解线段长度，对图形面积的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6. 如图18-32,四边形ABCD是平行四边形,下列说法不正确的是 (
A.当AC=BD时,四边形ABCD是矩形
B.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形
C.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形
D.当∠DAB=90°时,四边形ABCD是正方形
D
)A.当AC=BD时,四边形ABCD是矩形
B.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形
C.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形
D.当∠DAB=90°时,四边形ABCD是正方形
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题时先明确平行四边形是基础图形，再结合矩形、菱形、正方形的判定定理逐一分析选项即可。首先要理清判定逻辑：平行四边形添加对角线相等或一个内角为直角可判定为矩形；添加邻边相等或对角线互相垂直可判定为菱形；需要同时满足矩形和菱形的判定条件才能判定为正方形。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，该选项说法正确，不符合题意；
B. 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，AB和BC是平行四边形的邻边，当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，该选项说法正确，不符合题意；
C. 根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，该选项说法正确，不符合题意；
D. 根据“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”，当∠DAB=90°时，四边形ABCD是矩形，仅满足一个角为直角不能判定为正方形（还需满足邻边相等或对角线垂直等菱形的判定条件），该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确区分各类特殊平行四边形的判定条件，避免混淆矩形与正方形的判定要求，熟练掌握相关定理即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊平行四边形的判定，解题时先明确平行四边形是基础图形，再结合矩形、菱形、正方形的判定定理逐一分析选项即可。首先要理清判定逻辑：平行四边形添加对角线相等或一个内角为直角可判定为矩形；添加邻边相等或对角线互相垂直可判定为菱形；需要同时满足矩形和菱形的判定条件才能判定为正方形。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，该选项说法正确，不符合题意；
B. 根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，AB和BC是平行四边形的邻边，当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，该选项说法正确，不符合题意；
C. 根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，该选项说法正确，不符合题意；
D. 根据“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”，当∠DAB=90°时，四边形ABCD是矩形，仅满足一个角为直角不能判定为正方形（还需满足邻边相等或对角线垂直等菱形的判定条件），该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生准确区分各类特殊平行四边形的判定条件，避免混淆矩形与正方形的判定要求，熟练掌握相关定理即可快速判断。
【难度系数】
0.8
7. 如图18-33,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO,要使四边形ABCD是菱形,则需添加的一个条件是
AC ⊥ BD
(不加字母和辅助线).答案
7.AC ⊥ BD
解析
【分析】
首先根据已知条件AO=CO、BO=DO，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD是平行四边形；接下来要使平行四边形变为菱形，结合菱形的判定定理，我们可以选择添加“对角线互相垂直”的条件，或者添加“一组邻边相等”的条件，题目要求不加字母和辅助线，AC⊥BD是符合要求的条件之一。
【解析】
解：已知AO=CO，BO=DO，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此添加条件AC⊥BD时，平行四边形ABCD即为菱形。
（注：添加AB=AD、AB=BC等邻边相等的条件也可满足要求）
【答案】
AC ⊥ BD（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查特殊四边形的判定定理，解题时先由已知条件确定现有四边形的类型，再结合目标图形的判定规则补充条件即可，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件AO=CO、BO=DO，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD是平行四边形；接下来要使平行四边形变为菱形，结合菱形的判定定理，我们可以选择添加“对角线互相垂直”的条件，或者添加“一组邻边相等”的条件，题目要求不加字母和辅助线，AC⊥BD是符合要求的条件之一。
【解析】
解：已知AO=CO，BO=DO，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形。
根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此添加条件AC⊥BD时，平行四边形ABCD即为菱形。
（注：添加AB=AD、AB=BC等邻边相等的条件也可满足要求）
【答案】
AC ⊥ BD（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查特殊四边形的判定定理，解题时先由已知条件确定现有四边形的类型，再结合目标图形的判定规则补充条件即可，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理。
【难度系数】
0.8
8. 如图18-34,四边形ACDF是正方形,$∠ CEA$和$∠ ABF$都是直角,且点E,A,B三点共线,$AB=4$,则阴影部分的面积是
8
.答案
8.8
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到边相等和直角的条件，再通过角的互余关系推出两个直角三角形的一组锐角相等，结合已知的直角条件证明三角形全等，将阴影三角形的高转化为已知的AB长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵四边形ACDF是正方形
∴AC=AF，∠CAF=90°
∵点E、A、B共线
∴∠CAE + ∠FAB = 180° - ∠CAF = 90°
∵∠CEA=90°
∴∠CAE + ∠ACE = 90°
∴∠ACE=∠FAB
在△CEA和△ABF中
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ ABF=90°\\ ∠ ACE=∠ FAB\\ AC=AF\end{array} $
∴△CEA ≌ △ABF（AAS）
∴CE=AB=4
∵CE⊥EB，△ABC的边AB在直线EB上
∴△ABC中AB边上的高等于CE的长度
∴$S_{阴影}=\frac{1}{2}×AB×CE=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】
8
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过角的互余关系构造全等三角形，实现未知边向已知边的转化，难度不大，侧重对基础几何知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形的性质得到边相等和直角的条件，再通过角的互余关系推出两个直角三角形的一组锐角相等，结合已知的直角条件证明三角形全等，将阴影三角形的高转化为已知的AB长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
∵四边形ACDF是正方形
∴AC=AF，∠CAF=90°
∵点E、A、B共线
∴∠CAE + ∠FAB = 180° - ∠CAF = 90°
∵∠CEA=90°
∴∠CAE + ∠ACE = 90°
∴∠ACE=∠FAB
在△CEA和△ABF中
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ ABF=90°\\ ∠ ACE=∠ FAB\\ AC=AF\end{array} $
∴△CEA ≌ △ABF（AAS）
∴CE=AB=4
∵CE⊥EB，△ABC的边AB在直线EB上
∴△ABC中AB边上的高等于CE的长度
∴$S_{阴影}=\frac{1}{2}×AB×CE=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】
8
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过角的互余关系构造全等三角形，实现未知边向已知边的转化，难度不大，侧重对基础几何知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9. 以正方形ABCD的边AD为边作等边△ADE，则∠BEC的度数是
30°或150°
。答案
9.30°或150° 提示:分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得.
∵ 四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,
∴ AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED = ∠ADE = ∠DAE = 60°.
∴ ∠BAE= ∠CDE = 150°. 又
∵ AB=AE,DC=DE,
∴ ∠AEB=∠CED = 15°.
∴ ∠BEC= ∠AED -∠AEB - ∠CED = 30°.
∵ △ADE是等边三角形,
∴ AD=DE.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AD=DC.
∴ DE=DC.
∴ ∠CED=∠ECD.
∴ ∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°.
∴ ∠CED=∠ECD = $\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$.同理∠ABE=∠AEB=75°.
∴ ∠BEC=360°-75°×2-60°=150°.综上所述,∠BEC的度数为30°或150°.
解析
【分析】
本题需先分类讨论等边△ADE的位置，共两种情况：①等边△ADE在正方形外部；②等边△ADE在正方形内部。解题时先利用正方形、等边三角形的性质得到相等的边和已知角度，再根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关角的度数，最后通过角度的和差关系计算∠BEC的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 等边△ADE在正方形ABCD外部，如图①：
∵ 四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴ AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED = ∠ADE = ∠DAE = 60°，
∴ ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，∠CDE=∠ADC+∠ADE=90°+60°=150°，
又
∵ AB=AE，DC=DE，
∴ ∠AEB=∠CED = $\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$，
∴ ∠BEC= ∠AED -∠AEB - ∠CED = 60°-15°-15°=30°。
2. 等边△ADE在正方形ABCD内部，如图②：
∵ △ADE是等边三角形，
∴ AD=DE，∠ADE=∠AED=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=DC，∠ADC=90°，
∴ DE=DC，∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
∴ ∠CED=∠ECD = $\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
同理可得∠ABE=∠AEB=75°，
∴ ∠BEC=360°-∠AEB-∠CED-∠AED=360°-75°×2-60°=150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题易错点是忽略等边三角形的位置有两种可能，从而出现漏解的问题，解题时需要结合分类讨论思想，熟练运用特殊图形的边、角性质进行角度计算即可。
【难度系数】
0.7
本题需先分类讨论等边△ADE的位置，共两种情况：①等边△ADE在正方形外部；②等边△ADE在正方形内部。解题时先利用正方形、等边三角形的性质得到相等的边和已知角度，再根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关角的度数，最后通过角度的和差关系计算∠BEC的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 等边△ADE在正方形ABCD外部，如图①：
∵ 四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴ AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED = ∠ADE = ∠DAE = 60°，
∴ ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，∠CDE=∠ADC+∠ADE=90°+60°=150°，
又
∵ AB=AE，DC=DE，
∴ ∠AEB=∠CED = $\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$，
∴ ∠BEC= ∠AED -∠AEB - ∠CED = 60°-15°-15°=30°。
2. 等边△ADE在正方形ABCD内部，如图②：
∵ △ADE是等边三角形，
∴ AD=DE，∠ADE=∠AED=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=DC，∠ADC=90°，
∴ DE=DC，∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
∴ ∠CED=∠ECD = $\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
同理可得∠ABE=∠AEB=75°，
∴ ∠BEC=360°-∠AEB-∠CED-∠AED=360°-75°×2-60°=150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题易错点是忽略等边三角形的位置有两种可能，从而出现漏解的问题，解题时需要结合分类讨论思想，熟练运用特殊图形的边、角性质进行角度计算即可。
【难度系数】
0.7
10. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图18-35所示，点B的坐标为(3,4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为
$(3,\frac{4}{3})$
。答案
10.$(3,\frac{4}{3})$ 提示:作点D关于直线AB的对称点H,连接CH,与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.
∵ 点D的坐标为$(\frac{3}{2},0)$,点A的坐标为(3,0),
∴ 点H的坐标为$(\frac{9}{2},0)$.
∴ 直线CH的函数关系式为$y=-\frac{8}{9}x+4$.
∴ 当x=3时,$y=\frac{4}{3}$.
∴ 点E的坐标为$(3,\frac{4}{3})$.
∵ 点D的坐标为$(\frac{3}{2},0)$,点A的坐标为(3,0),
∴ 点H的坐标为$(\frac{9}{2},0)$.
∴ 直线CH的函数关系式为$y=-\frac{8}{9}x+4$.
∴ 当x=3时,$y=\frac{4}{3}$.
∴ 点E的坐标为$(3,\frac{4}{3})$.
解析
【分析】
要使△CDE的周长最小，先分析周长的构成：$C_{△ CDE}=CD+DE+CE$，其中C、D是定点，CD的长度为固定值，因此只需让$DE+CE$的值最小即可，这是典型的将军饮马最短路径问题。我们可以作点D关于直线AB的对称点，利用对称性质将DE转化为对称点到E的距离，根据两点之间线段最短，当对称点、E、C三点共线时，$CE+DE$的和最小。后续先确定各已知点坐标，再求对称点坐标，接着求出过C和对称点的直线解析式，最后代入AB上点的固定横坐标x=3，就能求出E点的纵坐标。
【解析】
解：
∵ 矩形OABC中，点B的坐标为$(3,4)$，
∴ $C(0,4)$，$A(3,0)$，直线AB的解析式为$x=3$。
∵ D是OA的中点，
∴ D的坐标为$(\frac{3}{2},0)$。
△CDE的周长为$CD+DE+CE$，CD为定值，因此要使周长最小，只需$DE+CE$最小。
作点D关于直线AB的对称点H，根据对称性质可知$DE=HE$，因此$DE+CE=HE+CE$，当C、E、H三点共线时，$HE+CE$最小，即此时△CDE周长最小。
点$D(\frac{3}{2},0)$关于$x=3$的对称点H的坐标为$(\frac{9}{2},0)$。
设直线CH的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,4)$、$H(\frac{9}{2},0)$代入：
把$(0,4)$代入得$b=4$；
把$(\frac{9}{2},0)$、$b=4$代入得：$0=\frac{9}{2}k + 4$，解得$k=-\frac{8}{9}$。
∴ 直线CH的解析式为$y=-\frac{8}{9}x + 4$。
∵ 点E在AB上，横坐标为3，将$x=3$代入解析式得：
$y=-\frac{8}{9}×3 +4 = -\frac{8}{3} +4 = \frac{4}{3}$。
∴ 点E的坐标为$(3,\frac{4}{3})$。
【答案】
$(3,\frac{4}{3})$
【知识点】
最短路径问题，一次函数解析式求解，矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题目，将最短路径模型和平面直角坐标系、矩形、一次函数知识相结合，解题核心是把周长最小问题转化为两条线段和最小的问题，通过作对称点简化问题后，利用一次函数性质求出目标点坐标，解题思路具有较强的通用性。
【难度系数】
0.6
要使△CDE的周长最小，先分析周长的构成：$C_{△ CDE}=CD+DE+CE$，其中C、D是定点，CD的长度为固定值，因此只需让$DE+CE$的值最小即可，这是典型的将军饮马最短路径问题。我们可以作点D关于直线AB的对称点，利用对称性质将DE转化为对称点到E的距离，根据两点之间线段最短，当对称点、E、C三点共线时，$CE+DE$的和最小。后续先确定各已知点坐标，再求对称点坐标，接着求出过C和对称点的直线解析式，最后代入AB上点的固定横坐标x=3，就能求出E点的纵坐标。
【解析】
解：
∵ 矩形OABC中，点B的坐标为$(3,4)$，
∴ $C(0,4)$，$A(3,0)$，直线AB的解析式为$x=3$。
∵ D是OA的中点，
∴ D的坐标为$(\frac{3}{2},0)$。
△CDE的周长为$CD+DE+CE$，CD为定值，因此要使周长最小，只需$DE+CE$最小。
作点D关于直线AB的对称点H，根据对称性质可知$DE=HE$，因此$DE+CE=HE+CE$，当C、E、H三点共线时，$HE+CE$最小，即此时△CDE周长最小。
点$D(\frac{3}{2},0)$关于$x=3$的对称点H的坐标为$(\frac{9}{2},0)$。
设直线CH的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,4)$、$H(\frac{9}{2},0)$代入：
把$(0,4)$代入得$b=4$；
把$(\frac{9}{2},0)$、$b=4$代入得：$0=\frac{9}{2}k + 4$，解得$k=-\frac{8}{9}$。
∴ 直线CH的解析式为$y=-\frac{8}{9}x + 4$。
∵ 点E在AB上，横坐标为3，将$x=3$代入解析式得：
$y=-\frac{8}{9}×3 +4 = -\frac{8}{3} +4 = \frac{4}{3}$。
∴ 点E的坐标为$(3,\frac{4}{3})$。
【答案】
$(3,\frac{4}{3})$
【知识点】
最短路径问题，一次函数解析式求解，矩形的性质
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题目，将最短路径模型和平面直角坐标系、矩形、一次函数知识相结合，解题核心是把周长最小问题转化为两条线段和最小的问题，通过作对称点简化问题后，利用一次函数性质求出目标点坐标，解题思路具有较强的通用性。
【难度系数】
0.6
