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15.(第二十届“希望杯”全国数学邀请赛)对于正整数$k$，记直线$y=-\frac{k}{k+1}x+\frac{1}{k+1}$与坐标轴所围成的直角三角形的面积为$S_k$，则$S_k=$
$\frac{1}{2k(k+1)}$
，$S_1+S_2+S_3+S_4=$$\frac{2}{5}$
。答案
15.$\frac{1}{2k(k+1)}$；$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步求直角三角形面积$S_k$，首先需要找到直线与x轴、y轴的交点坐标，两个交点到原点的距离就是直角三角形的两条直角边长，再代入直角三角形面积公式即可得到$S_k$的表达式；第二步计算$S_1$到$S_4$的和，既可以直接代入k值分别计算每个$S_k$后相加，也可以用裂项相消的技巧简化运算。
【解析】
1. 求$S_k$的表达式：
对于直线$y=-\frac{k}{k+1}x+\frac{1}{k+1}$：
求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{k+1}$，即交点为$(0,\frac{1}{k+1})$，一条直角边长为$\frac{1}{k+1}$；
求与x轴交点：令$y=0$，代入得$0=-\frac{k}{k+1}x+\frac{1}{k+1}$，两边同乘$k+1$（k为正整数，$k+1≠0$）得$0=-kx+1$，解得$x=\frac{1}{k}$，即交点为$(\frac{1}{k},0)$，另一条直角边长为$\frac{1}{k}$。
根据直角三角形面积公式：
$S_k=\frac{1}{2}×\frac{1}{k}×\frac{1}{k+1}=\frac{1}{2k(k+1)}$。
2. 计算$S_1+S_2+S_3+S_4$：
利用裂项相消简化运算，由$\frac{1}{2k(k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$可得：
$S_1+S_2+S_3+S_4=\frac{1}{2}×[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})]$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{5})=\frac{1}{2}×\frac{4}{5}=\frac{2}{5}$。
也可直接代入k值计算每个$S_k$后通分求和，结果一致。
【答案】
$\frac{1}{2k(k+1)}$；$\frac{2}{5}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、直角三角形面积计算、裂项相消求和
【点评】
本题结合一次函数性质与代数式运算，既考查一次函数基础知识点的应用，也考查运算技巧，掌握一次函数交点求法即可算出面积，用裂项技巧能大幅提高求和效率。
【难度系数】
0.7
解题分两步思考：第一步求直角三角形面积$S_k$，首先需要找到直线与x轴、y轴的交点坐标，两个交点到原点的距离就是直角三角形的两条直角边长，再代入直角三角形面积公式即可得到$S_k$的表达式；第二步计算$S_1$到$S_4$的和，既可以直接代入k值分别计算每个$S_k$后相加，也可以用裂项相消的技巧简化运算。
【解析】
1. 求$S_k$的表达式：
对于直线$y=-\frac{k}{k+1}x+\frac{1}{k+1}$：
求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{k+1}$，即交点为$(0,\frac{1}{k+1})$，一条直角边长为$\frac{1}{k+1}$；
求与x轴交点：令$y=0$，代入得$0=-\frac{k}{k+1}x+\frac{1}{k+1}$，两边同乘$k+1$（k为正整数，$k+1≠0$）得$0=-kx+1$，解得$x=\frac{1}{k}$，即交点为$(\frac{1}{k},0)$，另一条直角边长为$\frac{1}{k}$。
根据直角三角形面积公式：
$S_k=\frac{1}{2}×\frac{1}{k}×\frac{1}{k+1}=\frac{1}{2k(k+1)}$。
2. 计算$S_1+S_2+S_3+S_4$：
利用裂项相消简化运算，由$\frac{1}{2k(k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$可得：
$S_1+S_2+S_3+S_4=\frac{1}{2}×[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})]$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{5})=\frac{1}{2}×\frac{4}{5}=\frac{2}{5}$。
也可直接代入k值计算每个$S_k$后通分求和，结果一致。
【答案】
$\frac{1}{2k(k+1)}$；$\frac{2}{5}$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点、直角三角形面积计算、裂项相消求和
【点评】
本题结合一次函数性质与代数式运算，既考查一次函数基础知识点的应用，也考查运算技巧，掌握一次函数交点求法即可算出面积，用裂项技巧能大幅提高求和效率。
【难度系数】
0.7
16.已知$\sqrt{a-1}+(ab-2)^2=0$，则$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\dots+\frac{1}{(a+2025)(b+2025)}$的值为
$\frac{2026}{2027}$
答案
16.$\frac{2026}{2027}$
解析
【分析】
解题分两步走：第一步，根据算术平方根、偶次平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的值；第二步，将a、b代入待求的分式求和式，观察每一项的结构，利用裂项相消法拆分每一项，抵消中间项后计算最终结果。
【解析】
∵ $\sqrt{a-1}≥0$，$(ab-2)^2≥0$，且$\sqrt{a-1}+(ab-2)^2=0$
∴ $\begin{cases}a-1=0 \\ ab-2=0\end{cases}$
解得：$a=1$，$b=2$
将$a=1$，$b=2$代入待求式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{(1+2025)×(2+2025)} \\&=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2026×2027}\end{aligned}$
根据裂项规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，拆分每一项：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2026}-\frac{1}{2027}) \\&=1-\frac{1}{2027} \\&=\frac{2026}{2027}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2026}{2027}$
【知识点】
非负数的性质、裂项相消法、代数式求值
【点评】
本题是代数计算类的经典题型，解题的核心在于两点：一是熟练掌握非负数的性质快速求出未知字母的值，二是能够观察分式的结构特征，灵活运用裂项相消的技巧简化运算，避免了逐项计算的繁琐，也考查了学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6
解题分两步走：第一步，根据算术平方根、偶次平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的值；第二步，将a、b代入待求的分式求和式，观察每一项的结构，利用裂项相消法拆分每一项，抵消中间项后计算最终结果。
【解析】
∵ $\sqrt{a-1}≥0$，$(ab-2)^2≥0$，且$\sqrt{a-1}+(ab-2)^2=0$
∴ $\begin{cases}a-1=0 \\ ab-2=0\end{cases}$
解得：$a=1$，$b=2$
将$a=1$，$b=2$代入待求式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{(1+2025)×(2+2025)} \\&=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2026×2027}\end{aligned}$
根据裂项规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，拆分每一项：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2026}-\frac{1}{2027}) \\&=1-\frac{1}{2027} \\&=\frac{2026}{2027}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2026}{2027}$
【知识点】
非负数的性质、裂项相消法、代数式求值
【点评】
本题是代数计算类的经典题型，解题的核心在于两点：一是熟练掌握非负数的性质快速求出未知字母的值，二是能够观察分式的结构特征，灵活运用裂项相消的技巧简化运算，避免了逐项计算的繁琐，也考查了学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17.用你发现的规律解答下列问题：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2};\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4};….$
(1)计算:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}=$
(2)探究:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}=$
(3)若$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$的值为$\frac{17}{35}$,求n的值.
17.用你发现的规律解答下列问题：
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2};\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4};….$
(1)计算:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}=$
$\frac{5}{6}$
;(2)探究:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}=$
$\frac{n}{n+1}$
;(用含有n的式子表示)(3)若$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$的值为$\frac{17}{35}$,求n的值.
答案
17.(1)$\frac{5}{6}$ (2)$\frac{n}{n+1}$ (3)n=17
解析
【分析】
本题考查裂项相消法的应用，解题思路如下：1. 先根据题干给出的分数拆分规律，明确形如$\frac{1}{a(a+d)}$的分数可拆为$\frac{1}{d}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d})$的形式，拆分后中间项可相互抵消，仅保留首尾项简化计算；2. 第(1)(2)问分母两个因数差为1，直接套用题干给出的拆分规律抵消计算即可；3. 第(3)问分母两个因数差为2，拆分时需提取$\frac{1}{2}$，再抵消化简后列方程求解n，最后检验结果是否符合题意。
【解析】
(1) 根据题干给出的规律拆分各项，中间项抵消：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\\&=1-\frac{1}{6}\\&=\frac{5}{6}\end{aligned}$
(2) 推广到n项，拆分后抵消：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\&=1-\frac{1}{n+1}\\&=\frac{n}{n+1}\end{aligned}$
(3) 先推导拆分规律：$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$，拆分原式后抵消：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2n+1})\\&=\frac{1}{2}×\frac{2n}{2n+1}\\&=\frac{n}{2n+1}\end{aligned}$
由题意得$\frac{n}{2n+1}=\frac{17}{35}$，交叉相乘得：
$35n=17(2n+1)$
$35n=34n+17$
解得$n=17$，经检验$n=17$时分母不为0，符合题意。
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；(2)$\frac{n}{n+1}$；(3)$n=17$
【知识点】
1. 裂项相消法 2. 分式化简 3. 解分式方程
【点评】
本题从基础裂项规律出发，逐步拓展裂项形式，既考查学生对已知规律的套用能力，也考查规律迁移应用和方程求解的能力，计算时注意抵消后剩余项的准确性，解分式方程后要检验结果合理性。
【难度系数】
0.6
本题考查裂项相消法的应用，解题思路如下：1. 先根据题干给出的分数拆分规律，明确形如$\frac{1}{a(a+d)}$的分数可拆为$\frac{1}{d}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d})$的形式，拆分后中间项可相互抵消，仅保留首尾项简化计算；2. 第(1)(2)问分母两个因数差为1，直接套用题干给出的拆分规律抵消计算即可；3. 第(3)问分母两个因数差为2，拆分时需提取$\frac{1}{2}$，再抵消化简后列方程求解n，最后检验结果是否符合题意。
【解析】
(1) 根据题干给出的规律拆分各项，中间项抵消：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\\&=1-\frac{1}{6}\\&=\frac{5}{6}\end{aligned}$
(2) 推广到n项，拆分后抵消：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\&=1-\frac{1}{n+1}\\&=\frac{n}{n+1}\end{aligned}$
(3) 先推导拆分规律：$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$，拆分原式后抵消：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\dots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2n+1})\\&=\frac{1}{2}×\frac{2n}{2n+1}\\&=\frac{n}{2n+1}\end{aligned}$
由题意得$\frac{n}{2n+1}=\frac{17}{35}$，交叉相乘得：
$35n=17(2n+1)$
$35n=34n+17$
解得$n=17$，经检验$n=17$时分母不为0，符合题意。
【答案】
(1)$\frac{5}{6}$；(2)$\frac{n}{n+1}$；(3)$n=17$
【知识点】
1. 裂项相消法 2. 分式化简 3. 解分式方程
【点评】
本题从基础裂项规律出发，逐步拓展裂项形式，既考查学生对已知规律的套用能力，也考查规律迁移应用和方程求解的能力，计算时注意抵消后剩余项的准确性，解分式方程后要检验结果合理性。
【难度系数】
0.6
18.图(1)是一面完全展平时的长方形彩旗(单位:cm),其中长方形ABCD是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤,阴影部分CDEF为长方形绸缎旗面,如图(2),将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆顶端到地面的高度为220 cm,在无风的天气里,求彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h.
答案
18.如图,连接DF.
在Rt△DEF中,
∵EF=90 cm,ED=120 cm,
∴DF²=EF²+DE²=90²+120²=22 500,
∴DF=150 cm,
∴h=220-150=70(cm).
故在无风的天气里,彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h为70 cm.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确彩旗自然下垂时，最低处是绸缎旗面这个长方形上距离悬挂点最远的点，而长方形中最长的线段是对角线，因此只需求出长方形CDEF的对角线长度，再用旗杆顶端到地面的总高度减去对角线长度，即可得到h。解题时先构造含对角线的直角三角形，再利用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
连接DF，在Rt△DEF中，
已知EF = 90 cm，ED = 120 cm，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得
DF² = EF² + DE² = 90² + 120² = 8100 + 14400 = 22500，
因此DF = √22500 = 150 cm。
已知旗杆顶端到地面的高度为220 cm，
所以最低处离地面的高度h = 220 - 150 = 70 cm。
【答案】
如图,连接DF.
在Rt△DEF中,
∵EF=90 cm,ED=120 cm,
∴DF²=EF²+DE²=90²+120²=22 500,
∴DF=150 cm,
∴h=220-150=70(cm).
故在无风的天气里,彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h为70 cm.
【知识点】
勾股定理；长方形性质；几何实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题核心是将“彩旗下垂最低高度”的实际问题转化为求长方形对角线长度的几何问题，能锻炼学生的问题转化能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确彩旗自然下垂时，最低处是绸缎旗面这个长方形上距离悬挂点最远的点，而长方形中最长的线段是对角线，因此只需求出长方形CDEF的对角线长度，再用旗杆顶端到地面的总高度减去对角线长度，即可得到h。解题时先构造含对角线的直角三角形，再利用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
连接DF，在Rt△DEF中，
已知EF = 90 cm，ED = 120 cm，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得
DF² = EF² + DE² = 90² + 120² = 8100 + 14400 = 22500，
因此DF = √22500 = 150 cm。
已知旗杆顶端到地面的高度为220 cm，
所以最低处离地面的高度h = 220 - 150 = 70 cm。
【答案】
如图,连接DF.
在Rt△DEF中,
∵EF=90 cm,ED=120 cm,
∴DF²=EF²+DE²=90²+120²=22 500,
∴DF=150 cm,
∴h=220-150=70(cm).
故在无风的天气里,彩旗自然下垂时最低处离地面的高度h为70 cm.
【知识点】
勾股定理；长方形性质；几何实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题核心是将“彩旗下垂最低高度”的实际问题转化为求长方形对角线长度的几何问题，能锻炼学生的问题转化能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
19.甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买的单价不同），甲每次购买粮食100 kg，乙每次购买粮食用去100元.设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元/kg，第二次单价为y元/kg.
(1)用含x，y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款
(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由.
(1)用含x，y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款
$(100x+100y)$
元，乙两次共购买$(\frac{100}{x}+\frac{100}{y})$
kg粮食.若甲两次购买粮食的平均单价为每千克$Q_1$元，乙两次购粮的平均单价为每千克$Q_2$元，则$Q_1=$$\frac{x+y}{2}$
，$Q_2=$$\frac{2xy}{x+y}$
；(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由.
答案
19.(1)$(100x+100y)$ $(\frac{100}{x}+\frac{100}{y})$ $\frac{x+y}{2}$ $\frac{2xy}{x+y}$
(2)乙的购粮方式更合算,理由如下:
∵$Q_1-Q_2=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$,
又$x≠y$,
∴$(x-y)^2＞0$.
而$2(x+y)＞0$,
∴$Q_1-Q_2＞0$,即$Q_1＞Q_2$.
故乙的购粮方式更合算.
(2)乙的购粮方式更合算,理由如下:
∵$Q_1-Q_2=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$,
又$x≠y$,
∴$(x-y)^2＞0$.
而$2(x+y)＞0$,
∴$Q_1-Q_2＞0$,即$Q_1＞Q_2$.
故乙的购粮方式更合算.
解析
【分析】
(1) 解题时紧扣三个基本等量关系：总付款=单价×购买重量、购买重量=付款金额÷单价、平均单价=总付款÷总购买重量。先分别计算甲两次购粮的总付款、乙两次购粮的总重量，再代入平均单价的公式化简即可得到$Q_1$和$Q_2$。
(2) 判断哪种购粮方式更合算，本质是比较$Q_1$和$Q_2$的大小，适合用作差法：计算$Q_1-Q_2$，通过通分、因式分解化简差值，结合单价为正数、两次单价不同的条件判断差值的正负，即可得出两个平均单价的大小关系，平均单价更低的购粮方式更合算。
【解析】
(1) 甲第一次购粮付款$100x$元，第二次购粮付款$100y$元，因此两次共需付款$100x+100y$元；
乙第一次购粮重量为$\frac{100}{x}$kg，第二次购粮重量为$\frac{100}{y}$kg，因此两次共购买$\frac{100}{x}+\frac{100}{y}$kg粮食；
甲两次购粮总重量为$100+100=200$kg，因此平均单价$Q_1=\frac{100x+100y}{200}=\frac{x+y}{2}$；
乙两次购粮总付款为$100+100=200$元，因此平均单价$Q_2=\frac{200}{\frac{100}{x}+\frac{100}{y}}=\frac{2xy}{x+y}$。
(2) 用作差法比较$Q_1$和$Q_2$的大小：
$Q_1-Q_2=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}$
通分后计算得：
$=\frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{2(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$
已知两次购粮单价不同，即$x≠y$，且单价$x、y$均为正数，因此$(x-y)^2＞0$，$2(x+y)＞0$，可得$Q_1-Q_2＞0$，即$Q_1＞Q_2$，说明乙的平均单价更低。
【答案】
(1)$(100x+100y)$；$(\frac{100}{x}+\frac{100}{y})$；$\frac{x+y}{2}$；$\frac{2xy}{x+y}$
(2)乙的购粮方式更合算，理由如下：
∵$Q_1-Q_2=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$，
又$x≠y$，
∴$(x-y)^2＞0$，
而$2(x+y)＞0$，
∴$Q_1-Q_2＞0$，即$Q_1＞Q_2$，
故乙的购粮方式更合算。
【知识点】
列代数式；分式化简；作差比较大小
【点评】
本题结合生活购粮场景，考查了代数式的实际应用和分式的运算能力，重点要求掌握平均单价的计算逻辑和作差法比较代数式大小的技巧，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时紧扣三个基本等量关系：总付款=单价×购买重量、购买重量=付款金额÷单价、平均单价=总付款÷总购买重量。先分别计算甲两次购粮的总付款、乙两次购粮的总重量，再代入平均单价的公式化简即可得到$Q_1$和$Q_2$。
(2) 判断哪种购粮方式更合算，本质是比较$Q_1$和$Q_2$的大小，适合用作差法：计算$Q_1-Q_2$，通过通分、因式分解化简差值，结合单价为正数、两次单价不同的条件判断差值的正负，即可得出两个平均单价的大小关系，平均单价更低的购粮方式更合算。
【解析】
(1) 甲第一次购粮付款$100x$元，第二次购粮付款$100y$元，因此两次共需付款$100x+100y$元；
乙第一次购粮重量为$\frac{100}{x}$kg，第二次购粮重量为$\frac{100}{y}$kg，因此两次共购买$\frac{100}{x}+\frac{100}{y}$kg粮食；
甲两次购粮总重量为$100+100=200$kg，因此平均单价$Q_1=\frac{100x+100y}{200}=\frac{x+y}{2}$；
乙两次购粮总付款为$100+100=200$元，因此平均单价$Q_2=\frac{200}{\frac{100}{x}+\frac{100}{y}}=\frac{2xy}{x+y}$。
(2) 用作差法比较$Q_1$和$Q_2$的大小：
$Q_1-Q_2=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}$
通分后计算得：
$=\frac{(x+y)^2-4xy}{2(x+y)}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{2(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$
已知两次购粮单价不同，即$x≠y$，且单价$x、y$均为正数，因此$(x-y)^2＞0$，$2(x+y)＞0$，可得$Q_1-Q_2＞0$，即$Q_1＞Q_2$，说明乙的平均单价更低。
【答案】
(1)$(100x+100y)$；$(\frac{100}{x}+\frac{100}{y})$；$\frac{x+y}{2}$；$\frac{2xy}{x+y}$
(2)乙的购粮方式更合算，理由如下：
∵$Q_1-Q_2=\frac{x+y}{2}-\frac{2xy}{x+y}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$，
又$x≠y$，
∴$(x-y)^2＞0$，
而$2(x+y)＞0$，
∴$Q_1-Q_2＞0$，即$Q_1＞Q_2$，
故乙的购粮方式更合算。
【知识点】
列代数式；分式化简；作差比较大小
【点评】
本题结合生活购粮场景，考查了代数式的实际应用和分式的运算能力，重点要求掌握平均单价的计算逻辑和作差法比较代数式大小的技巧，能够锻炼学生用数学知识解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
