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1.[全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛]若$a + |a| = 0$，则化简$\sqrt{(a - 1)^2} + \sqrt{a^2}$的结果为(
A.$1$
B.$-1$
C.$2a - 1$
D.$1 - 2a$
D
).A.$1$
B.$-1$
C.$2a - 1$
D.$1 - 2a$
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先从已知条件入手，根据绝对值的非负性，由$a + |a| = 0$可推出$a$的取值范围；再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将待化简的式子转化为含绝对值的形式；最后根据$a$的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：第一步：确定$a$的取值范围
已知$a + |a| = 0$，移项得$|a|=-a$，根据绝对值的非负性可知$-a≥0$，即$a≤0$。
第二步：利用二次根式性质化简
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(a - 1)^2}=|a-1|$，$\sqrt{a^2}=|a|$
第三步：去绝对值符号合并
因为$a≤0$，所以$a-1＜0$，因此：
$|a-1|=-(a-1)=1-a$，$|a|=-a$
代入原式得：
$\sqrt{(a - 1)^2} + \sqrt{a^2}=(1-a)+(-a)=1-2a$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.绝对值的性质 2.二次根式的化简
【点评】
本题是绝对值和二次根式化简的综合题，解题的核心是先通过已知条件确定参数的取值范围，再根据相关性质去绝对值符号，需注意去绝对值时要先判断绝对值内式子的正负，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知条件入手，根据绝对值的非负性，由$a + |a| = 0$可推出$a$的取值范围；再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将待化简的式子转化为含绝对值的形式；最后根据$a$的取值范围去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：第一步：确定$a$的取值范围
已知$a + |a| = 0$，移项得$|a|=-a$，根据绝对值的非负性可知$-a≥0$，即$a≤0$。
第二步：利用二次根式性质化简
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(a - 1)^2}=|a-1|$，$\sqrt{a^2}=|a|$
第三步：去绝对值符号合并
因为$a≤0$，所以$a-1＜0$，因此：
$|a-1|=-(a-1)=1-a$，$|a|=-a$
代入原式得：
$\sqrt{(a - 1)^2} + \sqrt{a^2}=(1-a)+(-a)=1-2a$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.绝对值的性质 2.二次根式的化简
【点评】
本题是绝对值和二次根式化简的综合题，解题的核心是先通过已知条件确定参数的取值范围，再根据相关性质去绝对值符号，需注意去绝对值时要先判断绝对值内式子的正负，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
2.（“希望杯”全国数学邀请赛）若$n+1=2010^2 + 2011^2$，则$\sqrt{2n+1}$等于（
A.2011
B.2010
C.4022
D.4021
D
）.A.2011
B.2010
C.4022
D.4021
答案
2.D
解析
【分析】
首先观察所求为$\sqrt{2n+1}$，已知$n+1$的表达式，解题思路为：第一步先根据已知条件推导$n$的表达式，再代入$2n+1$中；第二步为了简化计算，将2011转化为$2010+1$，利用完全平方公式展开代数式，整理后可发现$2n+1$是一个完全平方数；最后根据二次根式的非负性开平方即可得到结果，避免直接计算大数平方的繁琐。
【解析】
已知$n+1=2010^2+2011^2$，可得：
$n=2010^2+2011^2-1$
将$n$代入$2n+1$：
$\begin{aligned}2n+1&=2×(2010^2+2011^2-1)+1\\&=2×2010^2+2×2011^2-2+1\\&=2×2010^2+2×2011^2-1\end{aligned}$
因为$2011=2010+1$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$2011^2=(2010+1)^2=2010^2+2×2010+1$，代入上式：
$\begin{aligned}2n+1&=2×2010^2+2×(2010^2+2×2010+1)-1\\&=2×2010^2+2×2010^2+4×2010+2-1\\&=4×2010^2+4×2010+1\\&=(2×2010+1)^2\\&=4021^2\end{aligned}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，可得：
$\sqrt{2n+1}=\sqrt{4021^2}=4021$
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，代数式化简，二次根式的性质
【点评】
本题是整式运算与二次根式结合的典型巧算题型，核心解题技巧是将相邻整数的平方展开后凑成完全平方形式，大幅降低计算量，是竞赛中常见的代数变形类考点。
【难度系数】
0.6
首先观察所求为$\sqrt{2n+1}$，已知$n+1$的表达式，解题思路为：第一步先根据已知条件推导$n$的表达式，再代入$2n+1$中；第二步为了简化计算，将2011转化为$2010+1$，利用完全平方公式展开代数式，整理后可发现$2n+1$是一个完全平方数；最后根据二次根式的非负性开平方即可得到结果，避免直接计算大数平方的繁琐。
【解析】
已知$n+1=2010^2+2011^2$，可得：
$n=2010^2+2011^2-1$
将$n$代入$2n+1$：
$\begin{aligned}2n+1&=2×(2010^2+2011^2-1)+1\\&=2×2010^2+2×2011^2-2+1\\&=2×2010^2+2×2011^2-1\end{aligned}$
因为$2011=2010+1$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$2011^2=(2010+1)^2=2010^2+2×2010+1$，代入上式：
$\begin{aligned}2n+1&=2×2010^2+2×(2010^2+2×2010+1)-1\\&=2×2010^2+2×2010^2+4×2010+2-1\\&=4×2010^2+4×2010+1\\&=(2×2010+1)^2\\&=4021^2\end{aligned}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=a(a≥0)$，可得：
$\sqrt{2n+1}=\sqrt{4021^2}=4021$
故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，代数式化简，二次根式的性质
【点评】
本题是整式运算与二次根式结合的典型巧算题型，核心解题技巧是将相邻整数的平方展开后凑成完全平方形式，大幅降低计算量，是竞赛中常见的代数变形类考点。
【难度系数】
0.6
3. 将$ x $的整数部分记为$[x]$，$ x $的小数部分记为$\{x\}$，易知$ x=[x]+\{x\}(0≤\{x\}＜1) $。若$ x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}} $，则$[x]$等于(
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
A
).A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
3.A
解析
【分析】
直接计算两个二次根式的差难以直接得出结果，观察式子特点，我们可以先计算x的平方，利用完全平方公式和平方差公式化简求出x²的值，再判断x的正负得到x的准确取值，最后确定x的取值范围，即可求出x的整数部分[x]。
【解析】
首先计算$x^2$：
已知$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
$\begin{aligned}x^2&=(\sqrt{3-\sqrt{5}})^2+(\sqrt{3+\sqrt{5}})^2-2×\sqrt{3-\sqrt{5}}×\sqrt{3+\sqrt{5}}\\&=(3-\sqrt{5})+(3+\sqrt{5})-2×\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\\end{aligned}$
其中$(3-\sqrt{5})+(3+\sqrt{5})=6$，再根据平方差公式计算根号内的乘积：$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$，因此：
$x^2=6-2×\sqrt{4}=6-2×2=2$
可得$x=\pm\sqrt{2}$。
接下来判断x的符号：因为$3-\sqrt{5}＜3+\sqrt{5}$，所以$\sqrt{3-\sqrt{5}}＜\sqrt{3+\sqrt{5}}$，因此$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}＜0$，所以$x=-\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$x\approx-1.414$，即$-2＜x＜-1$，根据取整函数定义，x的整数部分[x]为不超过x的最大整数，因此$[x]=-2$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，取整函数定义
【点评】
本题解题的关键是掌握二次根式的化简技巧，遇到带根号的加减运算求取值时，先平方化简再判断符号是常用的解题思路，能简化运算过程，同时要准确理解取整函数的定义，避免判断整数部分时出错。
【难度系数】
0.6
直接计算两个二次根式的差难以直接得出结果，观察式子特点，我们可以先计算x的平方，利用完全平方公式和平方差公式化简求出x²的值，再判断x的正负得到x的准确取值，最后确定x的取值范围，即可求出x的整数部分[x]。
【解析】
首先计算$x^2$：
已知$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
$\begin{aligned}x^2&=(\sqrt{3-\sqrt{5}})^2+(\sqrt{3+\sqrt{5}})^2-2×\sqrt{3-\sqrt{5}}×\sqrt{3+\sqrt{5}}\\&=(3-\sqrt{5})+(3+\sqrt{5})-2×\sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\\end{aligned}$
其中$(3-\sqrt{5})+(3+\sqrt{5})=6$，再根据平方差公式计算根号内的乘积：$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$，因此：
$x^2=6-2×\sqrt{4}=6-2×2=2$
可得$x=\pm\sqrt{2}$。
接下来判断x的符号：因为$3-\sqrt{5}＜3+\sqrt{5}$，所以$\sqrt{3-\sqrt{5}}＜\sqrt{3+\sqrt{5}}$，因此$x=\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}＜0$，所以$x=-\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$x\approx-1.414$，即$-2＜x＜-1$，根据取整函数定义，x的整数部分[x]为不超过x的最大整数，因此$[x]=-2$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，取整函数定义
【点评】
本题解题的关键是掌握二次根式的化简技巧，遇到带根号的加减运算求取值时，先平方化简再判断符号是常用的解题思路，能简化运算过程，同时要准确理解取整函数的定义，避免判断整数部分时出错。
【难度系数】
0.6
4. 若实数$a,b,c$满足等式$2\sqrt{a}+3|b|=6$，$4\sqrt{a}-9|b|=6c$，则$c$可能取的最大值为(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
4.C
解析
【分析】
我们可以把$\sqrt{a}$和$|b|$看作两个非负的未知量，将$c$当作常数，把已知的两个等式看作关于$\sqrt{a}$和$|b|$的二元一次方程组，通过解方程组用$c$表示出$\sqrt{a}$和$|b|$；再根据算术平方根和绝对值的非负性（即$\sqrt{a}≥0$，$|b|≥0$），列出关于$c$的不等式组，求解得到$c$的取值范围，就能找到$c$的最大值。
【解析】
设$x=\sqrt{a}$，$y=|b|$，根据算术平方根和绝对值的意义可知：$x≥0$，$y≥0$，原等式可转化为：
$\begin{cases}2x + 3y = 6&①\\4x - 9y = 6c&②\end{cases}$
将①$×3$得：$6x + 9y = 18$ ③
③$+$②消去$y$可得：$10x = 18 + 6c$，解得$x=\frac{9+3c}{5}$
把$x=\frac{9+3c}{5}$代入①式：
$2×\frac{9+3c}{5} + 3y = 6$
两边同乘5得：$18 + 6c + 15y = 30$
整理得：$15y = 12 - 6c$，解得$y=\frac{4-2c}{5}$
根据$x≥0$，$y≥0$，列不等式组：
$\begin{cases}\frac{9+3c}{5}≥0\\\frac{4-2c}{5}≥0\end{cases}$
解第一个不等式：$9+3c≥0$，得$c≥-3$
解第二个不等式：$4-2c≥0$，得$c≤2$
因此$c$的取值范围是$-3≤ c≤2$，$c$的最大值为2。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组求解；非负数的性质；不等式组应用
【点评】
本题考查了方程组、不等式与非负数性质的综合应用，解题的核心是运用整体思想，将$\sqrt{a}$和$|b|$视为整体未知数，用参数$c$表示后结合非负性列不等式求范围，能有效锻炼学生的参数思维和综合运算能力。
【难度系数】
0.3
我们可以把$\sqrt{a}$和$|b|$看作两个非负的未知量，将$c$当作常数，把已知的两个等式看作关于$\sqrt{a}$和$|b|$的二元一次方程组，通过解方程组用$c$表示出$\sqrt{a}$和$|b|$；再根据算术平方根和绝对值的非负性（即$\sqrt{a}≥0$，$|b|≥0$），列出关于$c$的不等式组，求解得到$c$的取值范围，就能找到$c$的最大值。
【解析】
设$x=\sqrt{a}$，$y=|b|$，根据算术平方根和绝对值的意义可知：$x≥0$，$y≥0$，原等式可转化为：
$\begin{cases}2x + 3y = 6&①\\4x - 9y = 6c&②\end{cases}$
将①$×3$得：$6x + 9y = 18$ ③
③$+$②消去$y$可得：$10x = 18 + 6c$，解得$x=\frac{9+3c}{5}$
把$x=\frac{9+3c}{5}$代入①式：
$2×\frac{9+3c}{5} + 3y = 6$
两边同乘5得：$18 + 6c + 15y = 30$
整理得：$15y = 12 - 6c$，解得$y=\frac{4-2c}{5}$
根据$x≥0$，$y≥0$，列不等式组：
$\begin{cases}\frac{9+3c}{5}≥0\\\frac{4-2c}{5}≥0\end{cases}$
解第一个不等式：$9+3c≥0$，得$c≥-3$
解第二个不等式：$4-2c≥0$，得$c≤2$
因此$c$的取值范围是$-3≤ c≤2$，$c$的最大值为2。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组求解；非负数的性质；不等式组应用
【点评】
本题考查了方程组、不等式与非负数性质的综合应用，解题的核心是运用整体思想，将$\sqrt{a}$和$|b|$视为整体未知数，用参数$c$表示后结合非负性列不等式求范围，能有效锻炼学生的参数思维和综合运算能力。
【难度系数】
0.3
5.（“希望杯”全国数学邀请赛）代数式$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^2+1}+\frac{4x^3}{x^4+1}$的化简结果是（
A.$\frac{8x^5}{x^8 -1}$
B.$\frac{8x^4}{x^8 -1}$
C.$\frac{4x^7}{x^8 -1}$
D.$\frac{8x^7}{x^8 -1}$
D
）。A.$\frac{8x^5}{x^8 -1}$
B.$\frac{8x^4}{x^8 -1}$
C.$\frac{4x^7}{x^8 -1}$
D.$\frac{8x^7}{x^8 -1}$
答案
5.D
解析
【分析】
观察代数式中各分式的分母，发现前两个分式的分母是(x-1)和(x+1)，满足平方差公式的形式，可先将前两个分式通分合并，再将合并后的结果与第三个分式通分，此时新的分母又能和第四个分式的分母构成平方差，逐步利用平方差公式通分合并，即可简化计算，避免一次性通分的复杂运算。
【解析】
解：逐步通分合并：
第一步：合并前两项
$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x^2-1}$
第二步：将上一步结果与第三项合并
$\frac{2x}{x^2-1}+\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2x(x^2+1)+2x(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{2x^3+2x+2x^3-2x}{x^4-1}=\frac{4x^3}{x^4-1}$
第三步：将上一步结果与第四项合并
$\frac{4x^3}{x^4-1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{4x^3(x^4+1)+4x^3(x^4-1)}{(x^4-1)(x^4+1)}=\frac{4x^7+4x^3+4x^7-4x^3}{x^8-1}=\frac{8x^7}{x^8-1}$
【答案】
D
【知识点】
1.分式的加减运算 2.平方差公式
【点评】
本题属于分式化简的典型题型，解题的关键是观察分母的结构特征，选择逐步通分的策略，结合平方差公式简化运算，能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.6
观察代数式中各分式的分母，发现前两个分式的分母是(x-1)和(x+1)，满足平方差公式的形式，可先将前两个分式通分合并，再将合并后的结果与第三个分式通分，此时新的分母又能和第四个分式的分母构成平方差，逐步利用平方差公式通分合并，即可简化计算，避免一次性通分的复杂运算。
【解析】
解：逐步通分合并：
第一步：合并前两项
$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x^2-1}$
第二步：将上一步结果与第三项合并
$\frac{2x}{x^2-1}+\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2x(x^2+1)+2x(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{2x^3+2x+2x^3-2x}{x^4-1}=\frac{4x^3}{x^4-1}$
第三步：将上一步结果与第四项合并
$\frac{4x^3}{x^4-1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{4x^3(x^4+1)+4x^3(x^4-1)}{(x^4-1)(x^4+1)}=\frac{4x^7+4x^3+4x^7-4x^3}{x^8-1}=\frac{8x^7}{x^8-1}$
【答案】
D
【知识点】
1.分式的加减运算 2.平方差公式
【点评】
本题属于分式化简的典型题型，解题的关键是观察分母的结构特征，选择逐步通分的策略，结合平方差公式简化运算，能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.6
6. 使分式$\frac{x - a}{\frac{1}{x} - a}$有意义的x应满足的条件是（
A.$x≠0$
B.$x≠\frac{1}{a}(a≠0)$
C.$x≠0$或$x≠\frac{1}{a}(a≠0)$
D.$x≠0$且$x≠\frac{1}{a}(a≠0)$
D
）.A.$x≠0$
B.$x≠\frac{1}{a}(a≠0)$
C.$x≠0$或$x≠\frac{1}{a}(a≠0)$
D.$x≠0$且$x≠\frac{1}{a}(a≠0)$
答案
6.D
解析
【分析】
要确定分式有意义的x的取值，首先回忆分式有意义的核心条件：所有出现的分母都不能为0。本题的分式包含两层分母：一是大分式的分母为$\frac{1}{x} - a$，二是$\frac{1}{x}$自身的分母为x，两个分母都需要满足不为0的要求，且两个条件必须同时成立（只要有一个分母为0，分式就无意义）。第一步先确定$\frac{1}{x}$有意义的条件，第二步再确定大分母不为0的条件，最后合并两个条件即可。
【解析】
要使分式$\frac{x - a}{\frac{1}{x} - a}$有意义，需满足两个条件：
1. 内层分式$\frac{1}{x}$有意义，因此分母$x ≠ 0$；
2. 整个分式的分母$\frac{1}{x} - a ≠ 0$，移项得$\frac{1}{x} ≠ a$：
当$a ≠ 0$时，两边同乘不为0的x，得$1 ≠ a x$，即$x ≠ \frac{1}{a}$；
当$a = 0$时，$\frac{1}{x} ≠ 0$，该要求已被$x ≠ 0$满足。
综上，x应满足的条件是$x ≠ 0$且$x ≠ \frac{1}{a}(a ≠ 0)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 逻辑联结词的区别
【点评】
本题是分式有意义判定的典型题目，易错点在于容易遗漏内层分式$\frac{1}{x}$的分母限制，或错误使用“或”联结两个条件，解题时要逐一排查所有分母的取值限制，所有限制条件需同时满足才能保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
要确定分式有意义的x的取值，首先回忆分式有意义的核心条件：所有出现的分母都不能为0。本题的分式包含两层分母：一是大分式的分母为$\frac{1}{x} - a$，二是$\frac{1}{x}$自身的分母为x，两个分母都需要满足不为0的要求，且两个条件必须同时成立（只要有一个分母为0，分式就无意义）。第一步先确定$\frac{1}{x}$有意义的条件，第二步再确定大分母不为0的条件，最后合并两个条件即可。
【解析】
要使分式$\frac{x - a}{\frac{1}{x} - a}$有意义，需满足两个条件：
1. 内层分式$\frac{1}{x}$有意义，因此分母$x ≠ 0$；
2. 整个分式的分母$\frac{1}{x} - a ≠ 0$，移项得$\frac{1}{x} ≠ a$：
当$a ≠ 0$时，两边同乘不为0的x，得$1 ≠ a x$，即$x ≠ \frac{1}{a}$；
当$a = 0$时，$\frac{1}{x} ≠ 0$，该要求已被$x ≠ 0$满足。
综上，x应满足的条件是$x ≠ 0$且$x ≠ \frac{1}{a}(a ≠ 0)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 逻辑联结词的区别
【点评】
本题是分式有意义判定的典型题目，易错点在于容易遗漏内层分式$\frac{1}{x}$的分母限制，或错误使用“或”联结两个条件，解题时要逐一排查所有分母的取值限制，所有限制条件需同时满足才能保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
7. 设关于$x$的分式方程$\dfrac{a-2}{2-x}=\dfrac{a-2}{x-2}$有无穷多个解，则$a$的值有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.无穷多个
B
）。A.0个
B.1个
C.2个
D.无穷多个
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先观察分式方程的分母特征，2-x与x-2互为相反数，先通过去分母将分式方程转化为整式方程。分式方程有无穷多解的核心是：去分母后的整式方程为恒等式，且在分母不为0的前提下有无数个x满足等式。先对整式方程进行化简，再分析a的取值情况即可。
【解析】
解：原方程为$\dfrac{a-2}{2-x}=\dfrac{a-2}{x-2}$，
由$2-x=-(x-2)$，方程两边同乘最简公分母$(x-2)$（隐含$x≠2$），可得：
$-(a-2)=a-2$
移项合并同类项得：$-2(a-2)=0$
解得：$a=2$。
当$a=2$时，原方程左右两边均为0，只要$x≠2$，等式恒成立，此时方程有无穷多个解；
若$a≠2$，则化简后得到$-1=1$，矛盾，方程无解。
综上，满足条件的a的值只有1个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解、解分式方程
【点评】
本题主要考查分式方程有无穷多解的判定，解题的关键是先将分式方程转化为整式方程，再结合整式方程恒成立的条件求解，注意不要忽略分式分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
解题时先观察分式方程的分母特征，2-x与x-2互为相反数，先通过去分母将分式方程转化为整式方程。分式方程有无穷多解的核心是：去分母后的整式方程为恒等式，且在分母不为0的前提下有无数个x满足等式。先对整式方程进行化简，再分析a的取值情况即可。
【解析】
解：原方程为$\dfrac{a-2}{2-x}=\dfrac{a-2}{x-2}$，
由$2-x=-(x-2)$，方程两边同乘最简公分母$(x-2)$（隐含$x≠2$），可得：
$-(a-2)=a-2$
移项合并同类项得：$-2(a-2)=0$
解得：$a=2$。
当$a=2$时，原方程左右两边均为0，只要$x≠2$，等式恒成立，此时方程有无穷多个解；
若$a≠2$，则化简后得到$-1=1$，矛盾，方程无解。
综上，满足条件的a的值只有1个。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解、解分式方程
【点评】
本题主要考查分式方程有无穷多解的判定，解题的关键是先将分式方程转化为整式方程，再结合整式方程恒成立的条件求解，注意不要忽略分式分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.6
8.（“希望杯”全国数学邀请赛）如果$(a+b)^2 - (a - b)^2 = 4$，那么一定成立的是（
A.a是b的相反数
B.a是$-b$的相反数
C.a是b的倒数
D.a是$-b$的倒数
C
）。A.a是b的相反数
B.a是$-b$的相反数
C.a是b的倒数
D.a是$-b$的倒数
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边是两个完全平方的差，我们可以先利用完全平方公式将两个式子展开，再合并同类项化简，最后得到a与b的数量关系，结合选项中相反数、倒数的定义判断即可。
【解析】
先利用完全平方公式展开等式左边：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - (a-b)^2&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2+2ab+b^2 - a^2 + 2ab - b^2\\&=4ab\end{aligned}$
已知原式等于4，因此有$4ab=4$，两边同时除以4得：$ab=1$。根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，可知a是b的倒数。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，代数式化简，倒数的定义
【点评】
本题是整式运算与概念判断的结合题，核心是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过化简得到两数的乘积关系后就能快速判断，解题时注意去括号的符号规则，避免计算出错。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察等式左边是两个完全平方的差，我们可以先利用完全平方公式将两个式子展开，再合并同类项化简，最后得到a与b的数量关系，结合选项中相反数、倒数的定义判断即可。
【解析】
先利用完全平方公式展开等式左边：
$\begin{aligned}(a+b)^2 - (a-b)^2&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=a^2+2ab+b^2 - a^2 + 2ab - b^2\\&=4ab\end{aligned}$
已知原式等于4，因此有$4ab=4$，两边同时除以4得：$ab=1$。根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，可知a是b的倒数。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，代数式化简，倒数的定义
【点评】
本题是整式运算与概念判断的结合题，核心是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过化简得到两数的乘积关系后就能快速判断，解题时注意去括号的符号规则，避免计算出错。
【难度系数】
0.75
9. 已知$3x - 4y - z = 0$，$2x + y - 8z = 0$，则代数式$\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + 2zx} =$
1
.答案
9.1
解析
【分析】
题目给出两个含三个未知数的三元一次方程，无法直接求出x、y、z的具体数值，可将其中一个未知数（如z）看作常数，通过消元法解关于x、y的二元一次方程组，得到x、y与z的数量关系，再代入所求代数式，约分后即可得到结果。
【解析】
将z看作常数，联立两个已知方程得：
$\begin{cases}3x - 4y = z&①\\2x + y = 8z&②\end{cases}$
用加减消元法消去y：②×4得 $8x + 4y = 32z$ ③
①+③得：$11x = 33z$，解得 $x = 3z$
把$x=3z$代入②得：$2×3z + y = 8z$，解得 $y = 2z$
将$x=3z$、$y=2z$代入代数式$\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + 2zx}$：
分子$= (3z)^2 + (2z)^2 + z^2 = 9z^2 + 4z^2 + z^2 = 14z^2$
分母$= 3z·2z + 2z· z + 2· z·3z = 6z^2 + 2z^2 + 6z^2 = 14z^2$
由分式有意义可知$z≠0$，约分后得$\dfrac{14z^2}{14z^2}=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 三元一次方程组消元解法
2. 代数式代入求值
3. 分式化简
【点评】
本题是不定方程组求值的典型题型，核心思路是引入参数表示各未知数的关系，代入代数式后参数会自行约去得到定值，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组，避免消元时计算出错。
【难度系数】
0.6
题目给出两个含三个未知数的三元一次方程，无法直接求出x、y、z的具体数值，可将其中一个未知数（如z）看作常数，通过消元法解关于x、y的二元一次方程组，得到x、y与z的数量关系，再代入所求代数式，约分后即可得到结果。
【解析】
将z看作常数，联立两个已知方程得：
$\begin{cases}3x - 4y = z&①\\2x + y = 8z&②\end{cases}$
用加减消元法消去y：②×4得 $8x + 4y = 32z$ ③
①+③得：$11x = 33z$，解得 $x = 3z$
把$x=3z$代入②得：$2×3z + y = 8z$，解得 $y = 2z$
将$x=3z$、$y=2z$代入代数式$\dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + 2zx}$：
分子$= (3z)^2 + (2z)^2 + z^2 = 9z^2 + 4z^2 + z^2 = 14z^2$
分母$= 3z·2z + 2z· z + 2· z·3z = 6z^2 + 2z^2 + 6z^2 = 14z^2$
由分式有意义可知$z≠0$，约分后得$\dfrac{14z^2}{14z^2}=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 三元一次方程组消元解法
2. 代数式代入求值
3. 分式化简
【点评】
本题是不定方程组求值的典型题型，核心思路是引入参数表示各未知数的关系，代入代数式后参数会自行约去得到定值，解题的关键是熟练掌握加减消元法解方程组，避免消元时计算出错。
【难度系数】
0.6
10.设$a=\sqrt[3]{3}$，$b$是$a^2$的小数部分，则$(b+2)^3$的值为
9
答案
10.9
解析
【分析】
解题需分三步思考：第一步先算出$a^2$的表达式，已知$a=\sqrt[3]{3}$，根据幂的运算规则可推出$a^2=\sqrt[3]{9}$；第二步确定$\sqrt[3]{9}$的范围，通过对比相邻整数的立方，就能得到$\sqrt[3]{9}$的整数部分，而小数部分等于原数减去整数部分，即可得到$b$的表达式；第三步将$b$代入$(b+2)^3$，利用立方根的运算性质计算出结果即可。
【解析】
已知$a=\sqrt[3]{3}$，因此：
$a^2=(\sqrt[3]{3})^2=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}$
因为$2^3=8$，$3^3=27$，且$8＜9＜27$，所以$2＜\sqrt[3]{9}＜3$，即$a^2$的整数部分为2。
又因为$b$是$a^2$的小数部分，所以$b=a^2 - 2=\sqrt[3]{9}-2$。
将$b=\sqrt[3]{9}-2$代入式子得：
$b+2=\sqrt[3]{9}$
因此$(b+2)^3=(\sqrt[3]{9})^3=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 立方根的估算
2. 实数小数部分的定义
3. 立方根运算
【点评】
本题是根式运算的典型题型，核心考点是无理数的范围估算，只要掌握“小数部分=原数-整数部分”的规律，再结合立方根的基本运算就能顺利求解，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题需分三步思考：第一步先算出$a^2$的表达式，已知$a=\sqrt[3]{3}$，根据幂的运算规则可推出$a^2=\sqrt[3]{9}$；第二步确定$\sqrt[3]{9}$的范围，通过对比相邻整数的立方，就能得到$\sqrt[3]{9}$的整数部分，而小数部分等于原数减去整数部分，即可得到$b$的表达式；第三步将$b$代入$(b+2)^3$，利用立方根的运算性质计算出结果即可。
【解析】
已知$a=\sqrt[3]{3}$，因此：
$a^2=(\sqrt[3]{3})^2=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9}$
因为$2^3=8$，$3^3=27$，且$8＜9＜27$，所以$2＜\sqrt[3]{9}＜3$，即$a^2$的整数部分为2。
又因为$b$是$a^2$的小数部分，所以$b=a^2 - 2=\sqrt[3]{9}-2$。
将$b=\sqrt[3]{9}-2$代入式子得：
$b+2=\sqrt[3]{9}$
因此$(b+2)^3=(\sqrt[3]{9})^3=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 立方根的估算
2. 实数小数部分的定义
3. 立方根运算
【点评】
本题是根式运算的典型题型，核心考点是无理数的范围估算，只要掌握“小数部分=原数-整数部分”的规律，再结合立方根的基本运算就能顺利求解，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
11.（第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛第1试）有两个函数$y=ax+b$和$y=cx+5$，学生甲求出它们图象的交点的正确坐标为$(-3,2)$，学生乙因抄错$c$而得出交点坐标为$(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4})$，则函数$y=ax+b$的解析式是________。
答案
11.$y=-\frac{21}{40}x+\frac{17}{40}$
解析
【分析】
要确定一次函数$y=ax+b$的解析式，需用待定系数法找到两个在该函数图象上的点坐标，代入列方程组求解即可。首先，正确交点$(-3,2)$是两个函数图象的公共点，必然在$y=ax+b$上；其次学生乙仅抄错了$c$，并未改动$a$和$b$，因此他求出的交点$(\frac{1}{3},\frac{1}{4})$仍然满足正确的$y=ax+b$，即该点也在$y=ax+b$的图象上。将两个点坐标代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解出$a$、$b$即可得到解析式。
【解析】
∵ 两个函数图象的正确交点为$(-3,2)$
∴ 该点在$y=ax+b$上，代入得：
$-3a + b = 2$ ①
∵ 学生乙仅抄错$c$，$a$、$b$未出错，因此交点$(\frac{1}{3},\frac{1}{4})$在$y=ax+b$上，代入得：
$\frac{1}{3}a + b = \frac{1}{4}$ ②
用②-①消去$b$：
$\frac{1}{3}a + b - (-3a + b) = \frac{1}{4} - 2$
化简得：$\frac{10}{3}a = -\frac{7}{4}$
解得：$a = -\frac{21}{40}$
将$a = -\frac{21}{40}$代入①：
$-3×(-\frac{21}{40}) + b = 2$
计算得：$\frac{63}{40} + b = \frac{80}{40}$
解得：$b = \frac{17}{40}$
因此函数$y=ax+b$的解析式为$y=-\frac{21}{40}x+\frac{17}{40}$
【答案】
$y=-\frac{21}{40}x+\frac{17}{40}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二元一次方程组的解法
【点评】
本题解题核心是理解抄错系数$c$不会影响另一个一次函数的系数，从而快速得到两个可用于求解的点坐标，结合待定系数法即可完成求解，是一次函数与方程组结合的典型题型，需注意计算过程中分数运算的准确性。
【难度系数】
0.6
要确定一次函数$y=ax+b$的解析式，需用待定系数法找到两个在该函数图象上的点坐标，代入列方程组求解即可。首先，正确交点$(-3,2)$是两个函数图象的公共点，必然在$y=ax+b$上；其次学生乙仅抄错了$c$，并未改动$a$和$b$，因此他求出的交点$(\frac{1}{3},\frac{1}{4})$仍然满足正确的$y=ax+b$，即该点也在$y=ax+b$的图象上。将两个点坐标代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解出$a$、$b$即可得到解析式。
【解析】
∵ 两个函数图象的正确交点为$(-3,2)$
∴ 该点在$y=ax+b$上，代入得：
$-3a + b = 2$ ①
∵ 学生乙仅抄错$c$，$a$、$b$未出错，因此交点$(\frac{1}{3},\frac{1}{4})$在$y=ax+b$上，代入得：
$\frac{1}{3}a + b = \frac{1}{4}$ ②
用②-①消去$b$：
$\frac{1}{3}a + b - (-3a + b) = \frac{1}{4} - 2$
化简得：$\frac{10}{3}a = -\frac{7}{4}$
解得：$a = -\frac{21}{40}$
将$a = -\frac{21}{40}$代入①：
$-3×(-\frac{21}{40}) + b = 2$
计算得：$\frac{63}{40} + b = \frac{80}{40}$
解得：$b = \frac{17}{40}$
因此函数$y=ax+b$的解析式为$y=-\frac{21}{40}x+\frac{17}{40}$
【答案】
$y=-\frac{21}{40}x+\frac{17}{40}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；二元一次方程组的解法
【点评】
本题解题核心是理解抄错系数$c$不会影响另一个一次函数的系数，从而快速得到两个可用于求解的点坐标，结合待定系数法即可完成求解，是一次函数与方程组结合的典型题型，需注意计算过程中分数运算的准确性。
【难度系数】
0.6
12.（“祖冲之杯”数学竞赛）已知四条直线：$y = kx - 3$，$y = -1$，$y = 3$，$x = 1$所围成的四边形面积是12，则$k$的值是
-2或1
。答案
12.-2或1
解析
【分析】
首先明确四条直线的特征：y=-1、y=3是互相平行的水平线，x=1是竖直线，y=kx-3是斜率为k的动直线。解题思路如下：1. 先求y=kx-3与另外三条直线的交点，得到四边形的四个顶点；2. 由y=-1和y=3平行，可判断围成的四边形是梯形，梯形的高为两条平行线的距离3-(-1)=4；3. 梯形的上下底为另外两个顶点到x=1的水平距离，由于k的正负会影响交点的位置，需要分k＞0和k＜0两种情况分类讨论；4. 结合梯形面积公式列方程求解k，舍去不符合的解即可。
【解析】
步骤1：求四边形的四个顶点坐标
① 直线y=kx-3与y=-1的交点：令kx-3=-1，解得x=2/k，交点为$A(\frac{2}{k},-1)$
② 直线y=kx-3与y=3的交点：令kx-3=3，解得x=6/k，交点为$B(\frac{6}{k},3)$
③ 直线x=1与y=-1的交点为$C(1,-1)$，与y=3的交点为$D(1,3)$
四边形即为由A、B、C、D四点围成的梯形，上下底为AC、BD的长度，高为CD的长度=3-(-1)=4。
步骤2：根据梯形面积公式列方程
梯形面积$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}=12$，代入高=4，得：
$\frac{(\left|1-\frac{2}{k}\right|+\left|1-\frac{6}{k}\right|)×4}{2}=12$，化简得$\left|1-\frac{2}{k}\right|+\left|1-\frac{6}{k}\right|=6$
步骤3：分情况解方程
情况1：k＞0时，$\frac{2}{k}$和$\frac{6}{k}$均为正数，且$\frac{2}{k}＜\frac{6}{k}$
若$0＜k＜2$，则$\frac{2}{k}＞1$，$\frac{6}{k}＞1$，去绝对值得：$(\frac{2}{k}-1)+(\frac{6}{k}-1)=6$，即$\frac{8}{k}=8$，解得k=1，符合取值范围。
若$k≥2$，解得的结果均不符合k＞0的前提，舍去。
情况2：k＜0时，$\frac{2}{k}$和$\frac{6}{k}$均为负数，均小于1，去绝对值得：$(1-\frac{2}{k})+(1-\frac{6}{k})=6$，即$2-\frac{8}{k}=6$，解得k=-2，符合取值范围。
综上，k的值为-2或1。
【答案】
-2或1
【知识点】
一次函数交点求法，梯形面积公式，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的典型题型，解题的关键是先确定四边形的形状，再结合交点坐标表示出边长，需要注意斜率k的正负会导致交点位置变化，避免漏解，熟练掌握一次函数性质和面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.4
首先明确四条直线的特征：y=-1、y=3是互相平行的水平线，x=1是竖直线，y=kx-3是斜率为k的动直线。解题思路如下：1. 先求y=kx-3与另外三条直线的交点，得到四边形的四个顶点；2. 由y=-1和y=3平行，可判断围成的四边形是梯形，梯形的高为两条平行线的距离3-(-1)=4；3. 梯形的上下底为另外两个顶点到x=1的水平距离，由于k的正负会影响交点的位置，需要分k＞0和k＜0两种情况分类讨论；4. 结合梯形面积公式列方程求解k，舍去不符合的解即可。
【解析】
步骤1：求四边形的四个顶点坐标
① 直线y=kx-3与y=-1的交点：令kx-3=-1，解得x=2/k，交点为$A(\frac{2}{k},-1)$
② 直线y=kx-3与y=3的交点：令kx-3=3，解得x=6/k，交点为$B(\frac{6}{k},3)$
③ 直线x=1与y=-1的交点为$C(1,-1)$，与y=3的交点为$D(1,3)$
四边形即为由A、B、C、D四点围成的梯形，上下底为AC、BD的长度，高为CD的长度=3-(-1)=4。
步骤2：根据梯形面积公式列方程
梯形面积$S=\frac{(上底+下底)×高}{2}=12$，代入高=4，得：
$\frac{(\left|1-\frac{2}{k}\right|+\left|1-\frac{6}{k}\right|)×4}{2}=12$，化简得$\left|1-\frac{2}{k}\right|+\left|1-\frac{6}{k}\right|=6$
步骤3：分情况解方程
情况1：k＞0时，$\frac{2}{k}$和$\frac{6}{k}$均为正数，且$\frac{2}{k}＜\frac{6}{k}$
若$0＜k＜2$，则$\frac{2}{k}＞1$，$\frac{6}{k}＞1$，去绝对值得：$(\frac{2}{k}-1)+(\frac{6}{k}-1)=6$，即$\frac{8}{k}=8$，解得k=1，符合取值范围。
若$k≥2$，解得的结果均不符合k＞0的前提，舍去。
情况2：k＜0时，$\frac{2}{k}$和$\frac{6}{k}$均为负数，均小于1，去绝对值得：$(1-\frac{2}{k})+(1-\frac{6}{k})=6$，即$2-\frac{8}{k}=6$，解得k=-2，符合取值范围。
综上，k的值为-2或1。
【答案】
-2或1
【知识点】
一次函数交点求法，梯形面积公式，分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的典型题型，解题的关键是先确定四边形的形状，再结合交点坐标表示出边长，需要注意斜率k的正负会导致交点位置变化，避免漏解，熟练掌握一次函数性质和面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.4
13.（浙江宁波效实中学自主招生）已知实数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$，则$ab+bc+ca$的最小值为
$-\frac{1}{2}$
，此时$a^2+b^2+ab=$$\frac{1}{2}$
。答案
13.$-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先回忆完全平方和公式的展开形式，该公式同时包含已知的$a^2+b^2+c^2$和待求的$ab+bc+ca$，结合平方数的非负性，就能建立不等式求出$ab+bc+ca$的取值范围，得到最小值；再根据取最小值的条件，代入已知等式变形即可求出第二个空的结果。
【解析】
1. 求$ab+bc+ca$的最小值：
根据完全平方公式：$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$
因为平方数是非负数，所以$(a+b+c)^2 ≥ 0$
将$a^2+b^2+c^2=1$代入上式得：
$0 ≤ 1 + 2(ab+bc+ca)$
移项整理得：$2(ab+bc+ca) ≥ -1$，即$ab+bc+ca ≥ -\frac{1}{2}$
当且仅当$a+b+c=0$时，等号成立，因此$ab+bc+ca$的最小值为$-\frac{1}{2}$。
2. 求此时$a^2+b^2+ab$的值：
当$ab+bc+ca$取最小值时，$a+b+c=0$，即$c = -a -b$
将$c=-a-b$代入$a^2+b^2+c^2=1$得：
$a^2 + b^2 + (a+b)^2 = 1$
展开$(a+b)^2$得：$a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 1$
合并同类项得：$2a^2 + 2b^2 + 2ab = 1$
两边同时除以2得：$a^2 + b^2 + ab = \frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，通过公式建立已知条件与待求式的关联，结合非负性求代数式的最值，对代数变形能力有一定要求，是代数式运算类的典型题型。
【难度系数】
0.4
首先回忆完全平方和公式的展开形式，该公式同时包含已知的$a^2+b^2+c^2$和待求的$ab+bc+ca$，结合平方数的非负性，就能建立不等式求出$ab+bc+ca$的取值范围，得到最小值；再根据取最小值的条件，代入已知等式变形即可求出第二个空的结果。
【解析】
1. 求$ab+bc+ca$的最小值：
根据完全平方公式：$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$
因为平方数是非负数，所以$(a+b+c)^2 ≥ 0$
将$a^2+b^2+c^2=1$代入上式得：
$0 ≤ 1 + 2(ab+bc+ca)$
移项整理得：$2(ab+bc+ca) ≥ -1$，即$ab+bc+ca ≥ -\frac{1}{2}$
当且仅当$a+b+c=0$时，等号成立，因此$ab+bc+ca$的最小值为$-\frac{1}{2}$。
2. 求此时$a^2+b^2+ab$的值：
当$ab+bc+ca$取最小值时，$a+b+c=0$，即$c = -a -b$
将$c=-a-b$代入$a^2+b^2+c^2=1$得：
$a^2 + b^2 + (a+b)^2 = 1$
展开$(a+b)^2$得：$a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 1$
合并同类项得：$2a^2 + 2b^2 + 2ab = 1$
两边同时除以2得：$a^2 + b^2 + ab = \frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形应用，通过公式建立已知条件与待求式的关联，结合非负性求代数式的最值，对代数变形能力有一定要求，是代数式运算类的典型题型。
【难度系数】
0.4
14. 已知$xy=3$，那么$x\sqrt{\frac{y}{x}} + y\sqrt{\frac{x}{y}}$的值为
$\pm 2\sqrt{3}$
。答案
14.$\pm 2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先需结合二次根式有意义的条件判断x、y的符号关系：根号内的分式非负且分母不为0，结合已知xy=3＞0，可得出x、y同号，需分x＞0、y＞0和x＜0、y＜0两种情况讨论。再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$对原式进行化简，最后代入xy=3计算即可，注意不要遗漏负数情况导致漏解。
【解析】
要使$\sqrt{\frac{y}{x}}$和$\sqrt{\frac{x}{y}}$有意义，需满足$\frac{y}{x}≥0$，$\frac{x}{y}≥0$且$x≠0$，$y≠0$。
已知$xy=3＞0$，因此$x$和$y$同号，分两种情况计算：
1. 当$x＞0$，$y＞0$时：
$\begin{aligned}原式&=x·\frac{\sqrt{xy}}{x} + y·\frac{\sqrt{xy}}{y}\\&=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\\&=2\sqrt{xy}\end{aligned}$
代入$xy=3$，得$2\sqrt{3}$。
2. 当$x＜0$，$y＜0$时：
$\begin{aligned}原式&=x·\frac{\sqrt{xy}}{|x|} + y·\frac{\sqrt{xy}}{|y|}\\&=x·\frac{\sqrt{xy}}{-x} + y·\frac{\sqrt{xy}}{-y}\\&=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}\\&=-2\sqrt{xy}\end{aligned}$
代入$xy=3$，得$-2\sqrt{3}$。
综上，原式的值为$\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm 2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质与化简
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略x、y同为负数的情况，只算出正的结果。解题时要先根据二次根式的定义确定字母的符号范围，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$正确化简，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先需结合二次根式有意义的条件判断x、y的符号关系：根号内的分式非负且分母不为0，结合已知xy=3＞0，可得出x、y同号，需分x＞0、y＞0和x＜0、y＜0两种情况讨论。再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$对原式进行化简，最后代入xy=3计算即可，注意不要遗漏负数情况导致漏解。
【解析】
要使$\sqrt{\frac{y}{x}}$和$\sqrt{\frac{x}{y}}$有意义，需满足$\frac{y}{x}≥0$，$\frac{x}{y}≥0$且$x≠0$，$y≠0$。
已知$xy=3＞0$，因此$x$和$y$同号，分两种情况计算：
1. 当$x＞0$，$y＞0$时：
$\begin{aligned}原式&=x·\frac{\sqrt{xy}}{x} + y·\frac{\sqrt{xy}}{y}\\&=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}\\&=2\sqrt{xy}\end{aligned}$
代入$xy=3$，得$2\sqrt{3}$。
2. 当$x＜0$，$y＜0$时：
$\begin{aligned}原式&=x·\frac{\sqrt{xy}}{|x|} + y·\frac{\sqrt{xy}}{|y|}\\&=x·\frac{\sqrt{xy}}{-x} + y·\frac{\sqrt{xy}}{-y}\\&=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}\\&=-2\sqrt{xy}\end{aligned}$
代入$xy=3$，得$-2\sqrt{3}$。
综上，原式的值为$\pm2\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm 2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质与化简
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略x、y同为负数的情况，只算出正的结果。解题时要先根据二次根式的定义确定字母的符号范围，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$正确化简，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
