20. A,B两地相距15 km,甲、乙两人同时从A出发去B.甲先乘汽车到达A,B之间的C地,然后下车步行,乙全程骑自行车,结果两人同时到达.已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半,乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半,求C地与A地间的距离.

20.C地与A地间的距离为10 km.

【分析】
本题为行程类应用题，解题核心是抓住甲、乙两人同时出发同时到达，总用时相等这一等量关系。首先根据题目给出的三者速度的比例关系设定速度参数，再设A到C的距离为未知数，分别用“路程÷速度”表示出甲的总用时（乘车用时+步行用时）和乙的总用时（全程骑行用时），列方程求解即可，设定的速度参数会在计算中消去，不会影响最终结果。
【解析】
解：设甲步行的速度为$ v \, \mathrm{km/h} $，根据题意可知：乙骑自行车的速度为$ 2v \, \mathrm{km/h} $，甲乘汽车的速度为$ 4v \, \mathrm{km/h} $。
设C地与A地间的距离为$ x \, \mathrm{km} $，则C地与B地的距离为$ (15-x) \, \mathrm{km} $。
由两人总用时相等可列方程：
$\frac{x}{4v} + \frac{15-x}{v} = \frac{15}{2v}$
由于$ v ≠ 0 $，方程两边同时乘以$ 4v $消去分母得：
$x + 4(15-x) = 30$
展开并整理：
$x + 60 - 4x = 30 \\-3x = -30 \x = 10$
【答案】
C地与A地间的距离为10 km.
【知识点】
行程问题、一元一次方程应用
【点评】
本题是行程问题的典型考法，解题关键是找准时间相等的等量关系，通过合理设定速度参数简化计算，消参的技巧在这类含比例关系的应用题中非常实用，熟练掌握后能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.65

21. 已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}$，求$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}$的值。

21.$\because \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2},\therefore \frac{x+y+z}{x(y+z)}=\frac{1}{2}.$
$\therefore \frac{x(y+z)}{x+y+z}=2.\therefore \frac{xy+xz}{x+y+z}=2.$
同理$\frac{yz+yx}{x+y+z}=3,\frac{zx+zy}{x+y+z}=4$,
$\therefore \frac{xy+xz+yz}{x+y+z}=\frac{9}{2}.$
$\therefore \frac{yz}{x+y+z}=\frac{5}{2},\frac{xz}{x+y+z}=\frac{3}{2},\frac{xy}{x+y+z}=\frac{1}{2}.$
$\therefore \frac{yz}{x+y+z}·\frac{x+y+z}{xz}=\frac{5}{3}.\therefore \frac{y}{x}=\frac{5}{3}.$
同理可得$\frac{z}{x}=5,\frac{z}{y}=3$,
$\therefore z=5x,y=\frac{5}{3}x$.代入$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}$,得$\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{20}{3}x}=\frac{1}{2}$,解得$x=\frac{23}{10}$,$\therefore \frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=\frac{23}{5x}=2.$
一题多解:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}①,\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}②,\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}③.$
①两边同乘x,得$1+\frac{x}{y+z}=\frac{x}{2},\therefore \frac{2}{x}=\frac{y+z}{x+y+z}④.$
②两边同乘y,得$1+\frac{y}{z+x}=\frac{y}{3},\therefore \frac{3}{y}=\frac{z+x}{x+y+z}⑤.$
③两边同乘z,得$1+\frac{z}{x+y}=\frac{z}{4},\therefore \frac{4}{z}=\frac{x+y}{x+y+z}⑥.$
④+⑤+⑥,得$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2.$

【分析】
已知条件为三个关于x、y、z的分式方程，若直接去分母求解会得到三元二次方程组，计算量较大。观察所求代数式$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}$，其系数2、3、4恰好对应已知三个等式右侧的分母，因此可对每个已知等式做针对性变形，将$\frac{2}{x}$、$\frac{3}{y}$、$\frac{4}{z}$用含x、y、z的整体式子表示，再相加化简即可，无需单独求出x、y、z的取值。
【解析】
记已知三个等式分别为：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}①$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{z+x}=\frac{1}{3}②$
$\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}③$
对①式两边同乘x，得：$1+\frac{x}{y+z}=\frac{x}{2}$
左边通分得：$\frac{x+y+z}{y+z}=\frac{x}{2}$
交叉相乘整理得：$\frac{2}{x}=\frac{y+z}{x+y+z}④$
同理，对②式两边同乘y，整理可得：$\frac{3}{y}=\frac{z+x}{x+y+z}⑤$
对③式两边同乘z，整理可得：$\frac{4}{z}=\frac{x+y}{x+y+z}⑥$
将④+⑤+⑥，得：
$\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{4}{z}=\frac{(y+z)+(z+x)+(x+y)}{x+y+z}=\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}$
由已知条件可知$x+y+z≠0$，约分得结果为2。
【答案】
2
【知识点】
分式恒等变形；整体代入思想；分式化简
【点评】
本题是分式运算的典型培优题，解题核心是挖掘已知条件和所求代数式的结构关联，避开直接求解未知数的繁琐步骤，运用整体思想可快速得出答案，能有效锻炼学生的逻辑思维和灵活运用分式性质的能力。
【难度系数】
0.3

22. (江苏省第十六届初中数学竞赛)如图,已知等边三角形ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使得$AD=AE$,作等边三角形PCD,QAE和RAB,求证:P,Q,R是等边三角形的三个顶点.

22.连接BP.
∵△ABC和△PCD都为等边三角形,
∴AC=BC,DC=PC,∠ACB=∠DCP=60°.
∴∠ACB-∠DCB=∠DCP-∠DCB,
即∠ACD=∠BCP.
∴△ACD≌△BCP(SAS).
∴AD=BP.又∠RAB+∠BAC+∠QAE=180°,
∴R,A,Q三点共线.
又∠CBP=∠CAD=60°,
∴∠RBA+∠ABC+∠CBP=180°,
∴R,B,P三点共线.
又AQ=AE=AD=BP,
∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP.
又∠R=60°,
∴△PQR是等边三角形.
故P,Q,R是等边三角形的三个顶点.

【分析】
要证明P、Q、R是等边三角形的三个顶点，本质是证明△PQR为等边三角形。首先观察已知条件中有多个等边三角形，可先通过全等三角形得到线段相等关系，再结合平角的定义判断相关点共线，最后利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”完成证明。具体思路：首先连接BP，利用等边三角形边相等、内角为60°的性质，证明△ACD≌△BCP，得到AD=BP；接着通过角度计算证明R、A、Q三点共线，R、B、P三点共线；再结合等边三角形的边相等关系，推出RQ=RP，结合∠R=60°即可得证。
【解析】
连接BP.
∵△ABC和△PCD都为等边三角形,
∴AC=BC,DC=PC,∠ACB=∠DCP=60°.
∴∠ACB-∠DCB=∠DCP-∠DCB,
即∠ACD=∠BCP.
∴△ACD≌△BCP(SAS).
∴AD=BP.
又∠RAB+∠BAC+∠QAE=60°+60°+60°=180°,
∴R,A,Q三点共线.
又∠CBP=∠CAD=60°,
∴∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°,
∴R,B,P三点共线.
又
∵△QAE、△RAB都是等边三角形，且AD=AE，
∴AQ=AE=AD=BP，RA=RB,
∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP.
又
∵△RAB是等边三角形，
∴∠R=60°,
∴△PQR是等边三角形，即P、Q、R是等边三角形的三个顶点。
【答案】
P、Q、R是等边三角形的三个顶点，证明如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质与判定
3. 平角的定义
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，结合等边三角形的性质推导线段、角度的等量关系，再通过平角判定三点共线，最终完成等边三角形的证明，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3