三、解答题
11.已知点$A(3m-10,m-5)$在第四象限内，且$m$为整数，求过点$A$的反比例函数的表达式.

11. 根据题意,得$\begin{cases}3m-10＞0,\\m-5＜0,\end{cases}$解得$\frac{10}{3}＜m＜5$.
又m为整数,$\therefore m=4$.$\therefore$点A的坐标为$(2,-1)$.
故反比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{x}$.

【分析】
解题思路分三步展开：第一步，回忆第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0、纵坐标小于0，据此列出关于m的一元一次不等式组；第二步，解不等式组得到m的取值范围，结合m为整数的条件确定m的具体值，进而求出点A的坐标；第三步，设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将点A坐标代入求出k的值，即可得到反比例函数的表达式。
【解析】
根据第四象限点的坐标特征，列不等式组：
$\begin{cases}3m-10＞0 \\m-5＜0\end{cases}$
解第一个不等式得：$m＞\frac{10}{3}$，
解第二个不等式得：$m＜5$，
因此不等式组的解集为$\frac{10}{3}＜m＜5$。
∵m为整数，
∴m=4，
将m=4代入点A坐标得：横坐标为$3×4-10=2$，纵坐标为$4-5=-1$，即$A(2,-1)$。
设过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，把$A(2,-1)$代入得：
$-1=\frac{k}{2}$，解得$k=-2$。
【答案】
$y=-\frac{2}{x}$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征；2. 一元一次不等式组的解法；3. 待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于基础综合类题型，将平面直角坐标系性质、不等式组求解、反比例函数解析式求法三个考点结合，解题核心是先利用点所在象限的坐标特征确定参数m的取值，再代入计算即可，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.75

12.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(4,\frac{1}{2})$，若一次函数$y=x+1$的图象平移后经过该反比例函数图象上的点$B(2,m)$，求平移后的一次函数图象与$x$轴的交点坐标。

12. 将点$(4,\frac{1}{2})$代入$y=\frac{k}{x}$中,得$k=4×\frac{1}{2}=2$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$.
$\because$点$B(2,m)$在$y=\frac{2}{x}$的图象上,
$\therefore m=\frac{2}{2}=1$,$\therefore B(2,1)$.
设由$y=x+1$的图象平移后得到的函数表达式为$y=x+b$,
将$B(2,1)$代入$y=x+b$,得$1=2+b$,解得$b=-1$.
$\therefore$平移后的一次函数表达式为$y=x-1$.
令$y=0$,得$x=1$.
故平移后的一次函数图象与x轴交点坐标为$(1,0)$.

【分析】
解题可按四步思路推进：第一步，先利用反比例函数经过的已知点$(4,\frac{1}{2})$，代入反比例函数表达式求出未知参数$k$，确定反比例函数的完整解析式；第二步，点$B$在反比例函数图象上，将$B$的横坐标代入已求出的反比例函数，即可得到纵坐标$m$，确定$B$点的完整坐标；第三步，一次函数平移时一次项系数保持不变，因此可设平移后的一次函数为$y=x+b$，将$B$点坐标代入即可求出参数$b$，得到平移后的一次函数解析式；第四步，求函数图象与$x$轴的交点时，令解析式中$y=0$，解出对应的$x$值即为交点横坐标，交点纵坐标固定为0。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：将点$(4,\frac{1}{2})$代入$y=\frac{k}{x}$中，得$k=4×\frac{1}{2}=2$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
2. 求点$B$的坐标：因为点$B(2,m)$在$y=\frac{2}{x}$的图象上，代入得$m=\frac{2}{2}=1$，即$B$点坐标为$(2,1)$。
3. 求平移后的一次函数解析式：一次函数$y=x+1$平移后一次项系数不变，设平移后得到的函数表达式为$y=x+b$，将$B(2,1)$代入$y=x+b$，得$1=2+b$，解得$b=-1$，因此平移后的一次函数表达式为$y=x-1$。
4. 求与x轴的交点坐标：令$y=0$，代入$y=x-1$得$0=x-1$，解得$x=1$。
【答案】
$(1,0)$
【知识点】
反比例函数解析式求解；一次函数平移性质；函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题核心是先通过已知点确定反比例函数解析式，再利用一次函数平移的性质求出平移后的函数表达式，最后结合坐标轴交点的计算规则得到结果，能有效考察学生对函数基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

13.如图,一次函数$y=ax+1(a≠0)$的图象与$x$轴交于点$A$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限交于点$B(1,3)$,过点$B$作$BC⊥x$轴于点$C$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求$△ ABC$的面积.

13.(1)$\because$一次函数$y=ax+1(a≠0)$的图象经过点$B(1,3)$,
$\therefore a+1=3$,$\therefore a=2$.
$\therefore$一次函数的表达式为$y=2x+1$.
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$B(1,3)$,
$\therefore k=1×3=3$.$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$.
(2)令$y=0$,则$2x+1=0$,解得$x=-\frac{1}{2}$.
$\therefore A(-\frac{1}{2},0)$.$\therefore OA=\frac{1}{2}$.
$\because BC⊥ x$轴于点C,$\therefore OC=1$,$BC=3$.
$\therefore AC=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$.$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{9}{4}$.

【分析】
(1)要求一次函数和反比例函数的表达式，可使用待定系数法：函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知点B(1,3)同时在两个函数图象上，将B点坐标分别代入两个函数解析式，即可求出未知参数a和k，进而得到函数表达式。
(2)要求△ABC的面积，首先确定三角形的底和高：BC垂直x轴，BC的长度等于B点的纵坐标，是三角形的高；底为AC的长度，需先求出一次函数与x轴交点A的坐标，结合C点坐标（B向x轴作垂线的垂足）计算AC长度，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=ax+1(a≠0)$的图象经过点$B(1,3)$，
∴将$x=1,y=3$代入得$a+1=3$，解得$a=2$，
∴一次函数的表达式为$y=2x+1$。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$B(1,3)$，
∴将$x=1,y=3$代入得$k=1×3=3$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
(2)对于一次函数$y=2x+1$，令$y=0$，则$2x+1=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$，
∴点A的坐标为$(-\frac{1}{2},0)$，即$OA=\frac{1}{2}$。
∵$BC⊥x$轴于点C，$B(1,3)$，
∴$C(1,0)$，即$OC=1$，$BC=3$，
∴$AC=OA+OC=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×3=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1)一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+1}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$；
(2)$△ABC$的面积为$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$。
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.一次函数与坐标轴交点
3.三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，考查了待定系数法的应用和平面直角坐标系中图形面积的计算，解题核心是准确获取对应点的坐标，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

14. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+b(a＜0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$交于$A(-m,3m),B(4,-3)$两点,与$y$轴交于点$C$,连接$OA,OB$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)求$△ AOB$的面积;
(3)请根据图象直接写出不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的解集.

14.(1)$\because$点$B(4,-3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,
$\therefore -3=\frac{k}{4}$,$\therefore k=-12$.
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$.
$\because A(-m,3m)$在反比例函数$y=-\frac{12}{x}$的图象上,
$\therefore 3m=-\frac{12}{-m}$,解得$m=2$或$m=-2$(舍去).
$\therefore$点A的坐标为$(-2,6)$.
$\because$点A,B在一次函数$y=ax+b$的图象上,把点$A(-2,6)$,$B(4,-3)$分别代入,
得$\begin{cases}-2a+b=6,\\4a+b=-3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x+3$.
(2)$\because$点C为直线AB与y轴的交点,$\therefore OC=3$.
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OC·|x_A|+\frac{1}{2}OC·|x_B|=\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×3×4=9$.
(3)由题意,得不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜4$.

【分析】
(1) 求解函数表达式采用待定系数法：先将已知的点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，得到反比例函数表达式；再将点A坐标代入反比例函数求解m，结合点A所在象限舍去不符合的解，得到点A的坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组得到a、b的值，即可得到一次函数表达式。
(2) 计算斜三角形面积采用割补法：先找到一次函数与y轴的交点C，得到OC的长度，将△AOB拆分为△AOC和△BOC，两个三角形均以OC为底，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算面积后求和即可。
(3) 不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的几何意义是反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围，结合A、B两点横坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图象即可得到解集，注意反比例函数自变量x≠0的限制。
【解析】
(1)
∵点$B(4,-3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴将$x=4,y=-3$代入得：$-3=\frac{k}{4}$，解得$k=-12$，
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$。
∵点$A(-m,3m)$在反比例函数$y=-\frac{12}{x}$的图象上，
∴将$x=-m,y=3m$代入得：$3m=-\frac{12}{-m}$，即$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$，
结合图象点A在第二象限，故$m=-2$舍去，即$m=2$，点A的坐标为$(-2,6)$。
将$A(-2,6)$、$B(4,-3)$代入一次函数$y=ax+b$，得：
$\begin{cases}-2a+b=6\\4a+b=-3\end{cases}$
两式相减消去b得$6a=-9$，解得$a=-\frac{3}{2}$，代入第一个方程得$b=3$，
∴一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x+3$。
(2) 令一次函数$y=-\frac{3}{2}x+3$中$x=0$，得$y=3$，即点C坐标为$(0,3)$，故$OC=3$。
$S_{△AOB}=S_{△AOC}+S_{△BOC}$
$=\frac{1}{2}·OC·|x_A|+\frac{1}{2}·OC·|x_B|$
$=\frac{1}{2}×3×2+\frac{1}{2}×3×4$
$=3+6=9$。
(3) 观察图象可得，当$x＜-2$或$0＜x＜4$时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即满足$\frac{k}{x}＜ax+b$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x+3}$；
(2) $△ AOB$的面积为$\boldsymbol{9}$；
(3) 不等式的解集为$\boldsymbol{x＜-2或0＜x＜4}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 一次函数与反比例函数综合
3. 函数不等式图象解法
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常规综合题，侧重考查数形结合思想的运用，解题时要注意结合图象性质舍去不符合条件的参数解，计算坐标系中三角形面积时灵活选用割补法简化运算，求解函数不等式时不要忽略反比例函数自变量不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7