一、选择题
1. 下列反比例函数的图象位于第二、四象限的是（）.

A.$y=\dfrac{3}{x}$
B.$y=\dfrac{1}{2x}$
C.$y=-\dfrac{2}{x}$
D.$y=\dfrac{\sqrt{2}}{x}$

1.C [解析]
∵函数的图象位于第二、四象限,
∴反比例函数中,k＜0.故选C.

【分析】
要判断反比例函数图象所在的象限，首先回忆反比例函数的性质：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象是双曲线，图象所在象限由$k$的符号决定：若$k＞0$，图象位于第一、三象限；若$k＜0$，图象位于第二、四象限。因此本题只需找到四个选项中$k$值小于0的选项即可。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）：
当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限；
当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限。
对各选项逐一判断：
A选项：$y=\dfrac{3}{x}$中$k=3＞0$，图象位于第一、三象限，不符合要求；
B选项：$y=\dfrac{1}{2x}$即$y=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x}$，$k=\dfrac{1}{2}＞0$，图象位于第一、三象限，不符合要求；
C选项：$y=-\dfrac{2}{x}$中$k=-2＜0$，图象位于第二、四象限，符合要求；
D选项：$y=\dfrac{\sqrt{2}}{x}$中$k=\sqrt{2}＞0$，图象位于第一、三象限，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，直接考查反比例函数图象所在象限与系数$k$的符号的对应关系，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 已知$A(x_1,3),B(x_2,a),C(x_3,-2)$三个点都在同一个反比例函数的图象上，若$-2＜a＜0$，则$x_1,x_2,x_3$的大小关系可以是().

A.$x_1＜x_3＜x_2$
B.$x_2＜x_1＜x_3$
C.$x_1＜x_2＜x_3$
D.$x_3＜x_2＜x_1$

2.A [解析]设$y=\frac{k}{x}$,当$k＞0$时,图象在第一和第三象限,每个象限内y随x的增大而减小.$\because 3＞0＞a＞-2,\therefore x_2＜x_3＜x_1$;当$k＜0$时,图象在第二和第四象限,每个象限内y随x的增大而增大.$\because 3＞0＞a＞-2,\therefore x_1＜x_3＜x_2$.故选A.
方法诠释 本题考查的是反比例函数的性质,即反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象是双曲线,当$k＞0$时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每一象限内y随x的增大而减小.当$k＜0$时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大.

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：反比例函数的图象位置、增减性都和比例系数k的正负有关，因此需要分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论。首先设出反比例函数解析式，再根据三个点的纵坐标判断各点所在的象限，结合对应象限内函数的增减性分别比较横坐标的大小，最终匹配选项即可得到答案。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知$3＞0$，所以点$A(x_1,3)$在第一象限，因此$x_1＞0$；
又$-2＜a＜0$，$-2＜0$，所以点$B(x_2,a)$、$C(x_3,-2)$在第三象限，第三象限内$y$越大对应的$x$越大，因为$a＞-2$，所以$x_2＜x_3＜0$，此时$x_2＜x_3＜x_1$，该结果不在选项中。
2. 当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
已知$3＞0$，所以点$A(x_1,3)$在第二象限，因此$x_1＜0$；
又$-2＜a＜0$，$-2＜0$，所以点$B(x_2,a)$、$C(x_3,-2)$在第四象限，第四象限内$y$越大对应的$x$越大，因为$a＞-2$，所以$x_2＞x_3＞0$，此时$x_1＜x_3＜x_2$，对应选项A。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是明确反比例函数的增减性受比例系数k符号的影响，需分类讨论k的正负情况，结合点所在象限的坐标特征判断横坐标的大小关系，避免因忽略分类讨论出现错误。
【难度系数】
0.6

3. 如图是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象，则一次函数$y=kx - 2$的图象大致是().

3.B [解析]
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的两个分支分别位于第二、四象限,$\therefore k＜0$,$\therefore$一次函数$y=kx-2$的图象经过第二、三、四象限.故选B.

【分析】
解题时首先结合反比例函数的图象位置特征判断出系数k的正负，再根据一次函数的系数与图象的对应关系，分别由k的符号判断直线的倾斜方向，由常数项判断直线与y轴的交点位置，最终确定一次函数的大致图象。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的两个分支分别位于第二、四象限，
∴$k＜0$。
对于一次函数$y=kx-2$，$k＜0$说明直线从左上向右下倾斜；常数项为$-2$，说明直线与y轴交于负半轴的$(0,-2)$点，因此一次函数$y=kx-2$的图象经过第二、三、四象限，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象类基础题型，核心是掌握不同函数中系数符号和图象位置的对应关系，先由已知函数的图象推导未知系数的取值范围，再判断目标函数的图象即可。
【难度系数】
0.8

4. 若点$A(x_1, -2)$，$B(x_2, 1)$，$C(x_3, 2)$都在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象上，则$x_1, x_2, x_3$的大小关系是().

A.$x_3 ＜ x_2 ＜ x_1$
B.$x_2 ＜ x_1 ＜ x_3$
C.$x_1 ＜ x_3 ＜ x_2$
D.$x_2 ＜ x_3 ＜ x_1$

4.D [解析]将$A(x_1,-2)$代入$y=-\frac{2}{x}$,得$-2=-\frac{2}{x_1}$,解得$x_1=1$.
将$B(x_2,1)$代入$y=-\frac{2}{x}$,得$1=-\frac{2}{x_2}$,解得$x_2=-2$.
将$C(x_3,2)$代入$y=-\frac{2}{x}$,得$2=-\frac{2}{x_3}$,解得$x_3=-1$.
$\therefore x_2＜x_3＜x_1$.故选D.

【分析】
要比较$x_1,x_2,x_3$的大小，首先明确：若点在函数图象上，则点的横纵坐标满足函数的解析式。因此我们可以将三个点的纵坐标分别代入反比例函数$y=-\frac{2}{x}$，分别求出对应的横坐标$x_1,x_2,x_3$的值，再比较三个值的大小即可得到结果。
【解析】
因为点$A(x_1, -2)$在$y=-\dfrac{2}{x}$的图象上，将点代入解析式得：
$-2=-\dfrac{2}{x_1}$，解得$x_1=1$；
同理，将点$B(x_2, 1)$代入解析式得：
$1=-\dfrac{2}{x_2}$，解得$x_2=-2$；
将点$C(x_3, 2)$代入解析式得：
$2=-\dfrac{2}{x_3}$，解得$x_3=-1$；
比较三个值的大小：$-2 ＜ -1 ＜ 1$，即$x_2 ＜ x_3 ＜ x_1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，核心考查函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，通过代入法求解横坐标再比较大小即可，掌握“点在函数图象上，则坐标满足函数解析式”这一性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

5.如图，点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上一点，过点A作$AH⊥ x$轴，垂足为H，连接OA，已知$△ AOH$的面积是6，则k的值是（）。

A.3
B.$-3$
C.12
D.$-12$

5.D [解析]设点A坐标为$A(x,y)$,
由题图可知,点A在第二象限,$\therefore x＜0,y＞0$.
又$AH⊥ x$轴,$\therefore AH=y,OH=|x|$.
$\therefore S_{△ AOH}=\frac{1}{2}AH· OH=\frac{1}{2}y·|x|=6$.
$\therefore -xy=12.\therefore k=-12$.故选D.

【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先根据$△ AOH$的面积求出$|k|$的值，第二步结合图象判断反比例函数所在象限，确定k的符号，最终得到k的取值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，由题图可知点A在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$。
因为$AH⊥ x$轴，所以$AH=y$，$OH=|x|=-x$。
根据三角形面积公式可得：$S_{△ AOH}=\frac{1}{2}× OH × AH = \frac{1}{2}× |x| × y = 6$，代入$|x|=-x$得$\frac{1}{2}× (-xy)=6$，整理得$-xy=12$。
又因为点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以$xy=k$，因此$k=xy=-12$。
【答案】D
【知识点】
反比例函数k的几何意义；坐标与图形性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心考查k的几何意义的应用，解题时要注意结合图象所在象限判断k的符号，避免只计算绝对值忽略符号导致失分。
【难度系数】
0.7

6. 如图，直线 $ y = kx (k ＞ 0) $ 与双曲线 $ y = \frac{1}{x} $ 交于A，B两点，$ BC ⊥ x $ 轴于点C，连接AC交y轴于点D，下列结论：①点A，B关于原点对称；②$ △ ABC $ 的面积为定值；③D是AC的中点；④$ S_{△ AOD} = \frac{1}{2} $。其中正确结论的个数为().

A.1
B.2
C.3
D.4

6.C

【分析】首先结合正比例函数与反比例函数的中心对称性判断结论①；再通过设点坐标，结合三角形面积公式计算△ABC的面积验证结论②；通过求直线AC的解析式得到点D坐标，结合中点坐标公式验证结论③；最后计算△AOD的面积判断结论④，统计正确结论的个数即可。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{1}{a})$（$a＞0$）：
1. 验证结论①：
正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\frac{1}{x}$均关于原点中心对称，因此它们的交点A、B关于原点对称，故点B坐标为$(-a,-\frac{1}{a})$，结论①正确。
2. 验证结论②：
$\because BC⊥ x$轴，$\therefore$点C坐标为$(-a,0)$，$BC=\left|-\frac{1}{a}\right|=\frac{1}{a}$，点A到直线BC的水平距离为$a - (-a)=2a$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × 2a=\frac{1}{2}× \frac{1}{a}× 2a=1$，是定值，结论②正确。
3. 验证结论③：
设直线AC的解析式为$y=mx+n$，将$A(a,\frac{1}{a})$、$C(-a,0)$代入得：
$\begin{cases} ma + n=\frac{1}{a} \\ -ma + n=0 \end{cases}$
两式相加得$2n=\frac{1}{a}$，解得$n=\frac{1}{2a}$，即直线AC与y轴交点D的坐标为$(0,\frac{1}{2a})$。
AC的中点坐标为$(\frac{a + (-a)}{2},\frac{\frac{1}{a}+0}{2})=(0,\frac{1}{2a})$，和点D坐标一致，故D是AC的中点，结论③正确。
4. 验证结论④：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OD × |x_A|=\frac{1}{2}× \frac{1}{2a}× a=\frac{1}{4}≠\frac{1}{2}$，结论④错误。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质，函数交点问题，三角形面积计算
【点评】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点相关结论判断，采用设参数表示点坐标的方法可以通用化验证各个结论，避免特殊值验证的偶然性，解题时结合几何性质可简化计算步骤。
【难度系数】0.65

7. 已知在反比例函数 $y=\frac{2k-1}{x}$ 的图象在每个象限内，$y$ 随 $x$ 增大而增大，则常数 $k$ 的取值范围是 。

7.$k＜\frac{1}{2}$ [解析]
∵反比例函数$y=\frac{2k-1}{x}$的图象在每个象限内,y随x增大而增大,$\therefore 2k-1＜0$,解得$k＜\frac{1}{2}$.

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，函数图象在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。本题中给出了函数的增减性，因此可以先确定比例系数$2k-1$的符号，列出对应的不等式，再解一元一次不等式即可求出$k$的取值范围。
【解析】
已知反比例函数$y=\frac{2k-1}{x}$的图象在每个象限内，$y$随$x$增大而增大，根据反比例函数的性质可得：
$2k-1＜0$
移项得：$2k＜1$
两边同时除以2得：$k＜\frac{1}{2}$
【答案】
$k＜\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系，解题时需注意“在每个象限内”这个前提条件，熟记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8. 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ P(a,b) $，且 $ a,b $ 满足$ \begin{cases}4a + 3b = 2, \\ 2a - 3b = 4,\end{cases}$ 那么 $ k = $ ______ ，点 $ P $ 的坐标是 ______ 。

8.$-\frac{2}{3}\ \ (1,-\frac{2}{3})$ [解析]由$\begin{cases}4a+3b=2,\\2a-3b=4,\end{cases}$得$\begin{cases}a=1,\\b=-\frac{2}{3},\end{cases}$
$\therefore k=-\frac{2}{3},P(1,-\frac{2}{3})$.

【分析】
要确定k的值和点P的坐标，首先需要解关于a、b的二元一次方程组，得到a、b的取值，即为点P的横、纵坐标；再根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，可知k等于点P横、纵坐标的乘积，代入计算即可得到k的值。解方程组时可利用加减消元法，两个方程相加消去b，先求出a，再代入求b。
【解析】
首先解二元一次方程组$\begin{cases}4a + 3b = 2&① \\ 2a - 3b = 4&②\end{cases}$
将①+②，可得：$4a+3b+2a-3b=2+4$，化简得$6a=6$，解得$a=1$。
把$a=1$代入①式，得$4×1 + 3b=2$，即$3b=2-4=-2$，解得$b=-\frac{2}{3}$。
所以点P的坐标为$(1,-\frac{2}{3})$。
因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点P，将P的坐标代入解析式，得$k=a· b=1×(-\frac{2}{3})=-\frac{2}{3}$。
【答案】
$-\frac{2}{3}$；$(1,-\frac{2}{3})$
【知识点】
二元一次方程组的解法；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，将二元一次方程组的求解和反比例函数的性质结合考察，解题关键是熟练掌握加减消元法解方程组，以及反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$的变形应用。
【难度系数】
0.85

9. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点，当$x_1＜0＜x_2$时，$y_1＞y_2$，写出符合条件的$k$的值（答案不唯一，写出一个即可）。

9.-1(答案不唯一) [解析]
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点,当$x_1＜0＜x_2$时,$y_1＞y_2$,
$\therefore$此反比例函数的图象位于第二、四象限,
$\therefore k＜0$,$\therefore k$可为小于0的任意实数,例如$k=-1$.

【分析】
解题时先回忆反比例函数的性质：k的符号决定函数图象所在的象限，以及不同象限内函数值的正负特征。首先根据已知条件$x_1＜0＜x_2$时$y_1＞y_2$，分析两个点所在的象限对应的函数值正负：若x为负时y值大于x为正时的y值，说明x负时y为正，x正时y为负，由此可判断反比例函数图象所在的象限，进而确定k的取值范围，最后在范围内任取一个值即可。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点，且当$x_1＜0＜x_2$时，$y_1＞y_2$，
∴当自变量取负数时对应的函数值为正数，自变量取正数时对应的函数值为负数，
∴该反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴$k＜0$，
因此取任意小于0的实数都满足条件，例如$k=-1$。
【答案】
-1（答案不唯一）
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.反比例函数图象与k的关系
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，解题关键是根据自变量和对应函数值的大小关系判断k的符号，只要熟练掌握k的正负与反比例函数图象所在象限的对应关系就能轻松作答。
【难度系数】
0.85

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，4)，B(3，4)，将△ABO向右平移到△CDE位置，点A的对应点是C，点O的对应点是E，函数$y=\frac{k}{x}$(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是。

10.6 [解析]过点F作$FG⊥ x$轴于点G,$FH⊥ y$轴于点H,过点D作$DQ⊥ x$轴于点Q,如图所示.根据题意可知,$AC=OE=BD$.设$AC=OE=BD=a$,
$\therefore$四边形ACEO的面积为4a.
$\because F$为DE的中点,$FG⊥ x$轴,$DQ⊥ x$轴,
$\therefore FG$为$△ EDQ$的中位线,
$\therefore FG=\frac{1}{2}DQ=2$,$EG=\frac{1}{2}EQ=\frac{3}{2}$,
$\therefore$四边形HFGO的面积为$2(a+\frac{3}{2})$,
$\therefore k=4a=2(a+\frac{3}{2})$,解得$a=\frac{3}{2}$,$\therefore k=6$.

解后反思 本题主要考查了反比例函数中k的几何意义,正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键.

【分析】
解决本题首先要利用平移的性质，明确平移前后对应点的平移距离相等，同时回忆反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于|k|。我们先设平移的距离为a，利用k的几何意义分别表示出点C和点F对应的矩形面积，两者都等于k，据此列方程求解得到a的值后，即可计算出k的值。
【解析】
过点F作$FG⊥ x$轴于点G，$FH⊥ y$轴于点H，过点D作$DQ⊥ x$轴于点Q，如图所示。
设平移距离$AC=OE=BD=a$，
点C纵坐标与点A相同为4，过C作x轴垂线所得矩形面积为$4a$，即$k=4a$。
∵F为DE的中点，$FG⊥x$轴，$DQ⊥x$轴，
∴FG是$△ EDQ$的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}DQ=\frac{1}{2}×4=2$，$EG=\frac{1}{2}EQ=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，
则点F的横坐标为$OE+EG=a+\frac{3}{2}$，过F作两轴垂线所得矩形面积为$2×(a+\frac{3}{2})$，即$k=2(a+\frac{3}{2})$。
联立得$4a=2(a+\frac{3}{2})$，
解得$a=\frac{3}{2}$，
∴$k=4×\frac{3}{2}=6$。

【答案】
6
【知识点】
平移的性质，反比例函数k的几何意义，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查了平移、三角形中位线和反比例函数的相关知识，解题的关键是利用反比例函数k的几何意义建立等量关系，能有效锻炼学生数形结合、代数几何知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.6